Mudança de Variável na Integral Dupla | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos

A mudança de variável na integral dupla, podemos utilizar um procedimento análogo, por meio das mudanças de variáveis $$x = x(u,v)\;\;\;e\;\;\;y=y(u,v),$$ uma integral dupla sobre uma região R do plano xy pode ser transformada em uma integral dupla sobre uma região R' do plano uv.

Desta forma, temos que $$\int \int_{R}{f(x,y)}dxdy = \int \int_{R’}{f(x(u,v),y(u,v)}\left| \frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)} \right| dudv$$ onde \left| \frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)} \right| é o determinante jacobiano de x e y em relação a u e v, dado por $$\left| \frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)} \right| = \left| \begin{array}{ll}
\frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v}\\
\\
\frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v}
\end{array}
\right|$$

A mudança de variável mais comum para integrais duplas são as coordenadas polares. As equações $$x=r\cos{\theta}\;\;\;\;y=r\sin{\theta}$$ que nos dão as coordenadas cartesianas de um dado ponto em termos de suas coordenadas polares. desta forma, $$\int \int_{R}{f(x,y)}dxdy = \int \int_{R’}{f(r\cos{\theta}, r\sin{\theta})r}drd\theta$$

Mudança de Variável nas Integrais Duplas | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos

1)  Calcule \int\limits_{R} \int{f(x,y)dxdy} onde:

(a) f(x,y) = (x^2 + y^2)^2 e R é o semi-círculo de raio 2.

Usando coordenadas polares, a região R pode ser escrita como $$0 \leq r \leq 2$$ $$0 \leq \theta \leq \pi,$$ assim, fazendo x = rcos( \theta ) e y = rsen( \theta ): $$\int\limits_{R} \int{f(x,y)dxdy} = \int\limits_{R} \int{(x^2 + y^2)^2dxdy} = \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{2}{(r^2)}rdrd \theta = \pi \int_{0}^{2}{(r^2)}rdr = \frac{32 \pi}{3}$$

(b) f(x,y) = \sin{\left(x^2 + y^2\right)} e R é o semi-círculo de raio 2.

Novamente, usando coordenadas polares, a região R pode ser escrita como $$0 \leq r \leq 2$$ $$0 \leq \theta \leq \pi,$$ assim, fazendo x = rcos( \theta ) e y = rsen( \theta ): $$\int\limits_{R} \int{f(x,y)dxdy} = \int\limits_{R} \int{\sin{\left(x^2 + y^2\right)}dxdy} = \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{2}{sen(r^2)}rdrd \theta = $$ $$=  \pi \int_{0}^{2}{sen(r^2)}rdr = \frac{ \pi}{2} (cos(4) – 1)$$

(c) f(x,y) = \sqrt{\left(x^2 + y^2\right)} e R é o a região delimitada por x^2+y^2 = 1 e x^2+y^2 = 9.

Pelo esboço da região R abaixo, podemos ver que ela pode ser secrita em coordenadas polares como $$1 \leq r \leq 3$$ $$0 \leq \theta \leq 2 \pi:$$

Desta forma, $$\int\limits_{R} \int{f(x,y)dxdy} = \int\limits_{R} \int{\sqrt{\left(x^2 + y^2\right)}}dxdy = \int_{0}^{2 \pi} \int_{1}^{3}{\sqrt{r^2}}rdrd \theta = $$ $$ 2 \pi \int_{1}^{3}{r^2}dr = \frac{52 \pi}{3}$$

2) Use a Mudança de Variável adequada para resolver as integrais \int\limits_{R} \int{f(x,y)dxdy} abaixo:

(a) f(x,y) = \sqrt{x^2 + y^2} e R é o círculo genérico centrado na origem x^2 + y^2 \leq R^2 , sendo R>0.

SOLUÇÃO: Fazendo x = rcos( \theta ) e y = r sen( \theta ) , observamos que r = \sqrt{x^2 + y^2} , e como nossa região R é um círculo, em coordenadas polares obtemos $$R: \left\{ \begin{array}{l}
0 \leq r \leq R\\
0 \leq \theta \leq 2 \pi
\end{array} \right.  $$

Desta forma, $$ \int\limits_{R} \int{\sqrt{x^2 + y^2}dxdy} = \int\limits_{0}^{2 \pi} \int\limits_{0}^{R}{r^2 dr d \theta} = 2 \pi \int\limits_{0}^{R}{r^2 dr d \theta} = \frac{2 \pi R^3}{3} .$$

(b) f(x,y) = \left( \dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{9} \right) e R é o conjunto \left( \dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{9} \right) \leq 1.

SOLUÇÃO: Vamos observar o caso geral, onde queremos integrar f(x,y) = \left( \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} \right) e R é o conjunto \left( \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} \right) \leq 1.

Primeiro façamos a mudança de coordenadas x = a u e y = b v . Desta forma, calculando observando que o jacobiano é dado por J = \dfrac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)} = ab,  $$ \int\limits_{R} \int{\left( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \right)dxdy} = \int\limits_{R_1} \int{\left(u^2 + v^2 \right) abdudv}= ab\int\limits_{R_1} \int{\left(u^2 + v^2 \right) dudv} ,$$ onde facilmente verificamos que a região R_1 é dada pela circunferência com centro na origem e raio igual a 1.

Logo, usando coordenadas polares $$ \int\limits_{R} \int{\left( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \right)dxdy} = ab\int\limits_{R_1} \int{\left(u^2 + v^2 \right) dudv} = \int\limits_{0}^{2 \pi} \int\limits_{0}^{1}{r^3 dr d \theta} = \frac{ \pi a b}{2}.$$

Portanto, como nosso caso particular do exercício tem a = 2 e b = 3, então $$ \int\limits_{R} \int{\left( \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} \right)dxdy} = \frac{ \pi \times 2 \times 3 }{2} = 3 \pi$$

(c) f(x,y) = |(x+y)(x-y)| e R é o conjunto |x| + |y| \leq 1 . Note que este domínio é o quadrado delimitado pelas retas x+y = 1, x+y = -1, x-y = 1 e x-y = -1 .

SOLUÇÃO: Como observado no enunciado, nossa região R é é o quadrado delimitado pelas retas x+y = 1, x+y = -1, x-y = 1 e x-y = -1 , esboçado na figura abaixo:

Fazendo a mudança de variável x+y = u e x-y = v , obtemos $$x = \frac{u + v}{2}, \qquad y = \frac{u i v}{2} e J = \frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)} = – \frac{1}{2}.$$

Logo, nossa região R será reescrita como R' : |u| \leq 1, |v| \leq 1, , que é um quadrado no plano u0v dado por -1 \leq u \leq 1 e -1 \leq v \leq 1 . Daí, $$ \int\limits_{R} \int{|(x+y)(x-y)| dxdy} = \int\limits_{R’} \int{|uv| \frac{1}{2}dudv}= \frac{1}{2} \int\limits_{R’} \int{|uv| dudv} = $$ $$ = \frac{1}{2} \int\limits_{-1} ^{1}{|u|du} \int\limits_{-1} ^{1}{|v|dv} = \frac{1}{2}.$$

(d) f(x,y) = xy e R é o semi-círculo centrado na origem x^2 + y^2 \leq 1 e 0 \leq x \leq y .

SOLUÇÃO: A nossa região de integração é a dada abaixo:

Observe que esta região pode ser escrita em coordenadas polares como $$R: \left\{ \begin{array}{l}
0 \leq r \leq 1\\
\pi /4  \leq y \pi /2
\end{array} \right.  $$

Assim, $$ \int\limits_{R} \int{xy dxdy} = \int\limits_{-\pi/4} ^{\pi /2} \int\limits_{0} ^{1}{r^3 sen( \theta ) cos ( \theta ) } dr d\theta = $$  $$ = \int\limits_{-\pi/4} ^{\pi /2}{ sen( \theta ) cos ( \theta ) } d\theta \int\limits_{0} ^{1}{r^3 } dr = \frac{1}{4} \left( – \frac{cos^2 ( \theta )}{2} \right)_{ \pi /4}^{ \pi / 2} = 1$$

(e) f(x,y) = \dfrac{1}{x^2 + y^2 +1} e R é o círculo centrado na origem x^2 + y^2 \leq 1 .

SOLUÇÃO: Agora, usando as coordenadas polares, como estamos em um círculo completo, temos que  $$ \int\limits_{R} \int{xy dxdy} = \int\limits_{0} ^{2 \pi } \int\limits_{0} ^{1}{\frac{r}{r^2 +1} dr d \theta} = 2 \pi \int\limits_{0} ^{1}{\frac{r}{r^2 +1} dr} = \pi \ln{\left( r^2 + 1 \right)} = \pi \ln{2}$$.

(f) Calcule $$\iint\limits_{R}{sen(x^2 + y^2)dxdy}, $$ onde R é o semi-círculo x^2 + y^2 \leq 1, \; y \geq 0.

SOLUÇÃO: Usando coordenadas polares encontramos $$ \iint\limits_{R}{sen(x^2 + y^2)dxdy} = \int\limits_{0}^{\pi} \int\limits_{0}^{1}{sen(r^2)rdrd \theta} = \pi \left[ \frac{1}{2}cos(r^2) \right]_{0}^{1} = \frac{\pi}{2} \left[1 – cos(1) \right].$$

(g) \int \int_{R}{\sqrt{x^2+y^2}}dxdy sendo R o círculo de centro na origem e raio 2.

SOLUÇÃO: $$\int \int_{R}{\sqrt{x^2+y^2}}dxdy = \int\limits_{0}^{2 \pi} \int\limits_{0}^{2}{r^2 dr d \theta} = \frac{16 \pi}{3} .$$

3) Usando integração dupla calcule a área da região delimitada abaixo:

SOLUÇÃO: Esta região pode ser escrita analiticamente usando as coordenadas polares como $$ 0 \leq r \leq \sqrt{ \theta } \\ 0 \leq \theta \leq 2 \pi .$$ Assim, a área desta região plana é dada pela integral dupla $$ A = \iint\limits_{R}{r dr d \theta } = \int\limits_{0}^{2 \pi} \int\limits_{0}^{\sqrt{ \theta }}{rdrd \theta} = \\  = 2 \pi \int\limits_{0}^{\sqrt{ \theta }}{rdr} = 2 \pi \left[ \frac{r^2}{2} \right]_{0}^{\sqrt{ \theta }} = \pi ^2 $$

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