Máximos e Mínimos de Funções de Várias Variáveis

Um ponto máximo relativo é um ponto onde a função muda sua direção de crescente para decrescente (fazendo desse ponto um “pico” no gráfico). De modo similar, um ponto mínimo relativo é um ponto onde a função muda sua direção de decrescente para crescente (fazendo desse ponto um “vale” no gráfico).

Nesse artigo queremos estabelecer o conceito de Máximos e Mínimos para Campos Escalares, ou Funções de Várias Variáveis a Valores Reais, que, em geral, são funções na forma f: A \subset \mathbb{R} ^n\rightarrow \mathbb{R}, associando a cada n-upla de \mathbb{R} ^n um escalar.

Vamos apresentar esse conceito através de funções com domínio no \mathbb{R} ^2 simplesmente pela facilidade em estabelecer gráficos e representações do domínio, e também por serem as funções que mais aparecem em aplicações de engenharia, por exemplo.

Máximos e Mínimos

As definições de ponto de máximo e mínimo para funções de várias variáveis são as mesmas que no caso das funções de uma variável. Vamos tomar as nossas definições no \mathbb{R}^2, mas todas elas podem ser generalizadas para um espaço com dimensão n.

DEFINIÇÃO

Diz-se que (x_0, y_0) é ponto de máximo de uma função f(x,y) se $$f(x,y) \leq f(x_0, y_0)$$ para todo (x,y) \in D_f. Analogamente, (x_0, y_0) é ponto de mínimo de uma função f(x,y) se $$f(x,y) \geq f(x_0, y_0)$$ para todo (x,y) \in D_f.

EXEMPLO (Uma função que não admite ponto de máximo)

A função $$z=\frac{\sqrt{1-x^2-y^2}}{x^2+y^2}$$ definida no domínio D=\{(x,y): x^2+y^2\leq 1, (x,y) \neq (0,0)\}, não tem máximo.

De fato,

$$\lim_{\begin{array}{l} x\rightarrow 0\\ y\rightarrow 0 \end{array}}\frac{\sqrt{1-x^2-y^2}}{x^2+y^2} = \frac{1}{0} = \infty .$$

A função f ainda não admite valor negativo e para qualquer ponto (x,y) tal que x^2+y^2 = 1 temos que f(x,y) = 0.

TEOREMA

Seja (x_0, y_0) um ponto interior de D_f e suponhamos que \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0) e \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0) existam. Nestas condições, uma condiçao necessária para que (x_0, y_0) seja um extremante local de f é que \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0) = \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0) = 0.

EXEMPLO

Seja f(x,y) = x^2+y^2. Temos que

$$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = 2x$$ $$\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = 2y$$

Assim, \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = 0 \Leftrightarrow x=y=0. Portanto, (0,0) é um extremante local, e como $$0 = f(0,0) \leq f(x,y)$$ portanto, (0,0) é ponto de máximo local.

DEFINIÇÃO

Dizemos quem (x_0,y_0) é um ponto crítico ou ponto estacionário de f se (x_0,y_0) se for interior a D_f e se \nabla f(x_0, y_0) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0) , \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0) \right) = (0,0). Os pontos críticos são os únicos candidatos a extremantes locais de f. Os pontos críticos que não sçao extremantes locais, são denominados pontos de sela.

OBSERVAÇÃO

Se f é diferenciável em (x_0, y_0) que é um ponto extremante local de f, então o plano tangente ao gráfico de f no ponto (x_0, y_0) é paralelo ao plano xy. De fato, $$z-f(x_0, y_0) = \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)(x-x_0) + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)(y-y_0) \Leftrightarrow z = f(x_0, y_0)$$

DEFINIÇÃO

Seja f(x,y) duas vezes diferenciável, a função H(x,y) dada por $$H(x,y) = \left| \begin{array}{lr}
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}\\
\\
\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \\
\end{array}
\right| = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} (x,y) \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} (x,y) – \left[ \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(x,y) \right]^2$$ denomina-se hessiano de f.

TEOREMA

Seja f duas vezes diferenciável e seja (x_0, y_0) um ponto interior do domínio de f. Então:

1. Se \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} (x_0,y_0) > 0 e H(x_0,y_0) >0, então (x_0,y_0) será um ponto de mínimo local de f
2. Se \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} (x_0,y_0) < 0 e H(x_0,y_0) >0, então (x_0,y_0) será um ponto de máximo local de f
3. Se H(x_0,y_0) < 0, então (x_0,y_0) não será um extremante local, neste caso será um ponto de sela de f.
4. Se H(x_0,y_0) = 0 nada podemos afirmar quanto ao ponto (x_0,y_0)

EXEMPLO

Seja f(x,y) = x^3+y^3-3x-3y +4. Temos que

$$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = 3x^2-3 = 0 \Leftrightarrow x= \pm 1.$$

$$\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = 3y^2-3 = 0 \Leftrightarrow x= \pm 1.$$

Desta forma, temos quatro pontos candidatos a pontos estacionários: (-1,-1), (-1, 1), (1,-1) e (1,1).

O hessianao de f é:
$$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} (x,y) \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} (x,y) – \left[ \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(x,y) \right]^2 = \frac{\partial}{\partial x}(3x^2-3) \frac{\partial}{\partial y}(3y^2-3) – (0) = (6x)(6y)$$ e $$ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x,y) = 6x$$ daí,

Para (-1,-1): \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(-1,-1) = -6 < 0 e H(-1,-1) = 36 > 0, logo (-1,-1) é ponto de máximo local.

Para (-1, 1): \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(-1, 1) = -6 < 0 e H(-1,1) = - 36 < 0, logo (-1,1) é ponto de sela.

Para (1,-1): \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(1,-1) = 6 < 0 e H(1,-1) = - 36 < 0, logo (1,-1) é ponto de sela.

Para (1,1): \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(1,1) = 6 > 0 e H(1,1) = 36 > 0, logo (1,1) é ponto de mínimo local.

Este fato pode ser percebido na figura abaixo:

EXEMPLO

Seja f(x,y) = 3xy^2+x^3-3x. Temos que

$$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = 3y^2+3x^2-3 $$

$$\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = 6xy $$

Da derivada parcial de f em relação a x temos que $$\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = 6xy = 0 \Leftrightarrow x=0\;\;\;ou\;\;\;y=0.$$

Agora:

1. Para x=0: $$\frac{\partial f}{\partial x}(0,y) = 3y^2-3=0 \Leftrightarrow y=\pm 1. $$ Assim, obtemos dois pontos críticos: (0,-1) e (0,1).
2. Para y=0: $$\frac{\partial f}{\partial x}(x,0) = 3x^2-3=0 \Leftrightarrow x=\pm 1. $$ Assim, obtemos dois pontos críticos: (-1,0) e (1,0).

Desta forma, temos quatro pontos candidatos a pontos estacionários: (0,-1) e (0,1), (-1,0) e (1,0).

O hessianao de f é:

$$H(x,y) = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} (x,y) \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} (x,y) – \left[ \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(x,y) \right]^2 = (6x)(6x) – (6y)^2 = 36x^2-36y^2$$ e $$ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x,y) = 6x$$ daí,

1. Para (-1,0): H(-1,0) = 36 > 0, e \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(-1,0) = -6 < 0, logo (-1,0) é ponto de máximo local.
2. Para (1,0): H(1,0) = 36 > 0, e \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(1,0) = 6 > 0, logo (1,0) é ponto de mínimo local.
3. Para (0,-1): H(0,-1) = -36 < 0, logo (0,-1) é ponto de sela.
4. Para (0,1): H(0,1) = -36 < 0, logo (0,1) é ponto de sela.

EXEMPLO

Seja f(x,y) = xy(3-x-y). Temos que f(x,y) = 3xy-x^2y-xy^2. Assim,

$$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = 3y-2xy-y^2 $$

$$\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = 3x-x^2-2xy $$

Da derivada parcial de f em relação a x temos que $$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = 3y-2xy-y^2 = y(3-2x-y) = 0 \Leftrightarrow y=0\;\;\;ou\;\;\;(3-2x-y)=0,$$ ou seja, $$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = 0 \Leftrightarrow y=0\;\;\;ou\;\;\;3-2x=y,$$

Agora:

1. Para y=0: $$\frac{\partial f}{\partial y}(x,0) = 0 \Leftrightarrow 3x-x^2=0m \Leftrightarrow x(3-x)=0 \Leftrightarrow x=0 ou x=3 $$ Assim, obtemos dois pontos críticos: (0,0) e (3,0).
2. Para y=3-2x: $$\frac{\partial f}{\partial x}(x,3-2x) = 3x-x^2-2x(3-2x) =0 \Leftrightarrow x(-3+3x) =0 \Leftrightarrow x=0\;\;\;ou\;\;\;x=1. $$ Assim, obtemos dois pontos críticos: (0,3) e (1,1).

Desta forma, temos quatro pontos candidatos a pontos estacionários: (0,0) e (3,0), (0,3) e (1,1).

O hessianao de f é:

$$H(x,y) = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} (x,y) \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} (x,y) – \left[ \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(x,y) \right]^2 = (-2x)(-2y) – (3-2x-2y)^2= $$ e $$ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x,y) = -2x$$ daí,

1. Para (0,0): H(0,0) = -9 < 0, logo (0,0) é ponto de sela.
2. Para (3,0): H(3,0) = -9 < 0, logo (0,0) é ponto de sela.
3. Para (0,3): H(0,3) = -9 < 0, logo (0,0) é ponto de sela.
4. Para (1,1): H(1,1) = 1 > 0 e \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(1,1) = -2 < 0, logo (1,1) é ponto de máximo local.

Máximos e Mínimos em Conjuntos Compactos

Se A um subconjunto do \mathbb{R} ^2 ; dizemos que A é um conjunto limitado se A estiver contido em uma bola bola aberta com centro na origem.

Por outro lado, dizemos que A é um conjunto fechado se o seu completar \{ (x,y) \in \mathbb{R} ^2 ; (x,y) \notin A \} for um conjunto aberto.

Finalmente, dizemos que A é um conjunto compacto se A for fechado e limitado. 

Um exemplo de conjunto compacto no \mathbb{R} ^2 é um círculo centrado num ponto (a,b) com raio igual a r, dado por $$ \{ (x,y) \in \mathbb{R} ^2 ; (x-a)^2 + (y-b)^2 \leq r \} .$$

Por outro lado, o conjunto $$ A = \{ (x,y) \in \mathbb{R} ^2 ; y \geq x^2 \}$$ é um conjunto fechado, mas não limitado, logo não será compacto.

TEOREMA (DE WEIERSTRASS)

Se f(x,y) for contínua no conjunto compacto A, então existirão pontos (x_1 , y_1 ) e (x_2 , y_2 ) em A tais que, para todo (x , y ) em A, $$f(x_1,y_1) \leq f(x,y) \leq f(x_2,y_2) .$$

Em suma, o Teorema de Weierstrass nos diz que se f(x,y) for contínua num conjunto compacto então esta função assumirá um valor de máximo e de mínimo neste conjunto.

EXEMPLO

Determine os extremantes de f(x,y) = x^3 + y^3 -3x -3y em A = \{ (x,y) \in \mathbb{R} ^2 | 0 \leq x \leq 2 \;\;e \;\; |y| \leq 2 \}.

Observe que esta função é contínua em todo o plano, logo é contínua no conjunto compacto A, que está ilustrado abaixo:

Vamos encontrar os pontos críticos da função no interior do conjunto A:

$$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = 3x^2 – 3 $$

$$\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = 3y^2-3 $$

As soluções deste sistema são dados por (1,1), (1,-1), (-1,1) e (-1,-1). Observe que (1,1) e (1, -1) são os únicos pontos críticos no interior de A. Temos que $$f(1,1) = -4; \;\;\; f(1, -1) = 0 .$$

Neste caso, basta verificar a imagem dos pontos de fronteira para cada os quatro segmentos de reta, analisando os pontos de máximo e mínimo das funções abaixo:

$$g(y) = f(2,y) = y^3 – 3y +2, \;\;\; -2 \leq y \leq 2 ;$$

$$h(y) = f(0,y) = y^3 – 3y , \;\;\; -2 \leq y \leq 2 ;$$

$$m(x) = f(x, -2) = x^3 -3x -2 , \;\;\; 0 \leq y \leq 2 ;$$

$$n(x) = f(x, 2) = x^3 -3x + 2 , \;\;\; 0 \leq y \leq 2 ;$$

que são todas funções de uma variável real.

Usando as técnicas para encontrar máximos e mínimos para funções de uma variável encontramos como pontos extremantes de g(y) = f(2,y) = y^3 - 3y +2, sobre o segmento CD são dados por: (2,-1), (2,2), (2, -2), (2,1),

Observe que neste caso as imagens são dadas por $$f(2,-1) = f(2,2) = 4 $$ $$f(2,-2) = f(2,1) = 0 $$

Raciocinando de forma análoga sobre os segmentos PQ, MQ, MN, concluímos que o valor de máximo de f sobre a fronteira é 4, no pontos (2,-1) e (2,2), e atinge o valor de mínimo de f sobre a fronteira de A, no ponto (1,-2), é -4.

Comparando os valores que f assume nos pontos críticos com os valores máximo e mínimo de f  na fronteira resulta:

• Pontos de máximo: (2,-1) e (2,2);
• Pontos de mínimo (1,1) e (1,-2).

Abaixo, um esboço do gráfico desta função restrita ao conjunto A:

Listas de Exercícios Resolvidos Sobre Máximos e Mínimos

• Máximos e Mínimos de Campos Escalares | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Máximos e Mínimos de Campos Escalares | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Máximos e Mínimos de Campos Escalares | 3ª Lista de Exercícios Resolvidos

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