Derivadas Parciais

As derivadas parciais são funções de várias variáveis geradas à partir das derivadas das funções de várias variáveis efetuadas respectivamente a uma das variáveis, e que apresentam também uma interpretação geométrica bastante aplicável.

Neste artigo, você aprenderá a calcular as derivadas parciais, em pontos definidos ou não pela função. Além disso, entenderá um pouco mais sobre as derivadas de segunda ordem e como podem ser calculadas.

Funções de Várias Variáveis a Valores Vetoriais, em geral são funções na forma $f: A \subset \mathbb{R} ^n\rightarrow \mathbb{R}$ , que associa a cada n-upla de $\mathbb{R} ^n$ um escalar. Ou seja, nesse artigo queremos estabelecer o conceito de Derivadas Parciais para esse tipo de função.

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Mais abaixo, neste artigo, temos uma vídeo-aula e uma lista com vários exercícios resolvidos sobre Derivadas Parciais.

Seja $z=f(x,y)$ uma função real de duas variáveis definida numa vizinhança do ponto $(x_0, y_0)$ .

Denominamos derivada parcial de $f$ em relação a $x$ no ponto $(x_0, y_0)$ o limite $$\lim_{h \rightarrow 0}{\frac{f(x_0 +h, y_0) – f(x_0, y_0)}{h}}$$, quando este limite existe.

Esta derivada parcial é indicada por $\frac{\partial f}{\partial x} (x_0, y_0)$ , $f_x (x_0, y_0)$ , ou $\frac{\partial z}{\partial x}$ .

Analogamente, a derivada parcial de $f$ em relação a $y$ no ponto $(x_0, y_0)$ é dada pelo limite $$\lim_{h \rightarrow 0}{\frac{f(x_0 , y_0 +h) – f(x_0, y_0)}{h}}$$, quando este existe e é indicada por $\frac{\partial f}{\partial y} (x_0, y_0)$ , $f_y (x_0, y_0)$ , ou $\frac{\partial z}{\partial y}$ .

É importante observar que $\frac{\partial f}{\partial x}$ é a derivada da função $f(x,y)$ em relação à variável $x$ .

O mesmo acontecendo com $\frac{\partial f}{\partial y}$ , que é a derivada de $f$ em relação à variável y.

Este conceito de derivada parcial pode ser estendido para uma função de $n$ variáveis reais.

Dada uma função $f(x_1, x_2, ..., x_n)$ a derivada parcial de $f$ no ponto $P_0 = (p_1,p_2,...,p_n)$ com relação à variável $x_i$ é dada por $$\frac{\partial f}{\partial x_i} (p_1,p_2,…,p_n) \lim_{h \rightarrow 0}{\frac{f(p_1 ,…, p_i +h, … , p_n) – f(p_1,…,p_i,…,p_n)}{h}}.$$

EXEMPLO Considere a função de duas variáveis $$f(x,y) = x^2 + y^2.$$

Assim, $$\frac{\partial f}{\partial x} = 2x$$ e $$\frac{\partial f}{\partial y} = 2y$$

EXEMPLO As derivadas parciais de $f(x,y) = 3xy^2+4x^2y+2xy$ são dadas por

$$\frac{\partial f}{\partial x} = 3y^2 + 8xy+2y $$
$$ \frac{\partial f}{\partial x} = 6xy+ 4x^2+2x .$$

EXEMPLO Considere a função de três variáveis $$f(x,y,z)=x^3y\sqrt{1+z^2+y^2}.$$ Logo,

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial f}{\partial x} & = & 3x^2y\sqrt{1+z^2+y^2}\\
\\
\frac{\partial f}{\partial y} & = & \frac{-x^3y^2}{\sqrt{1+z^2+y^2}} + x^3 \sqrt{1+z^2+y^2}\\
\\
\frac{\partial f}{\partial z} & = & \frac{-x^3yz}{\sqrt{1+z^2+y^2}}\\
\end{eqnarray*}

OBSERVAÇÃO

Devemos ter cuidado com as notações de derivada:

$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)$ , como vimos, indica a derivada parcial de $f(x,y)$ em relação a $x$ , onde $y$ é olhado como constante, ou seja, é independente de $x$ .
$\frac{d}{dx}f(x,y)$ é a derivada de $f$ em relação a $x$ , onde $y$ deve ser enxergado como uma função de $x$ .

Portanto, não confunda $\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)$ com $\frac{d}{dx}f(x,y)$ .

EXEMPLO

$$\frac{\partial }{\partial x}(x^2+y^2) = 2x$$, enquanto $$\frac{d}{d x}(x^2+y^2)=2x+2y\frac{dy}{dx}.$$

EXEMPLO Suponha que $z=f(x,y)$ seja dada de forma implícita por $$e^{xyz} = x^2+y^2+z^2.$$ Suponha que $f$ admita derivada parcial em relação a $x$ , e expresse $\frac{\partial z}{\partial x}$ em termos de $x,y$ e $z$ .

Para todo $(x,y) \in D_f$ , $\frac{\partial }{\partial x}(e^{xzy}) = \frac{\partial }{\partial x}(x^2+y^2+z^2).$

Temos que,

$$\frac{\partial }{\partial x}(e^{xzy}) = e^{xzy}\frac{\partial }{\partial x}(xzy) =e^{xyz}.\left( yz +xy\frac{\partial z}{\partial x} \right).$$
e
$$\frac{\partial }{\partial x}(x^2+y^2+z^2)=2x+2z\frac{\partial z}{\partial x}.$$
Daí,

$$e^{xyz}.\left( yz +xy\frac{\partial z}{\partial x} \right) = 2x+2z\frac{\partial z}{\partial x}$$
ou seja,
$$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{2x-yze^{xyz}}{xye^{xyz} – 2z}$$

EXEMPLO

Seja $$f(x,y) = \left\{ \begin{array}{lll}
(x^2+y^2)\sin{\dfrac{1}{x^2+y^2}} ; (x,y) & \neq & (0,0)\\
\\
0; (x,y) & = & (0,0) \end{array} \right.$$

Observe que para pontos $(x,y) \neq (x_0, y_0)$ , as derivadas parciais são dadas por:

$$ \dfrac{\partial f}{\partial x} (x,y) = 2x \sin{\dfrac{1}{x^2+y^2}} -\dfrac{2x}{(x^2+y^2)}\cos{\dfrac{1}{x^2+y^2}}$$
$$ \dfrac{\partial f}{\partial y} (x,y) = 2y \sin{\dfrac{1}{x^2+y^2}} -\dfrac{2y}{(x^2+y^2)}\cos{\dfrac{1}{x^2+y^2}}$$

Por outro lado, para $(x,y) = (x_0, y_0)$ :

$$\dfrac{\partial f}{\partial x} (x,y) = \lim_{h \rightarrow 0}{\dfrac{f(h, 0) – f(0, 0)}{h}} = \lim_{h \rightarrow 0}{\dfrac{h^2\sin{\dfrac{1}{h^2}}}{h}} = \lim_{h \rightarrow 0}{h\sin{\dfrac{1}{h^2}}} = 0$$
$$
\dfrac{\partial f}{\partial y} (x,y) = \lim_{h \rightarrow 0}{\dfrac{f(0, h) – f(0, 0)}{h}} = \lim_{h \rightarrow 0}{\dfrac{h^2\sin{\dfrac{1}{h^2}}}{h}} = \lim_{h \rightarrow 0}{h\sin{\dfrac{1}{h^2}}} = 0$$

Portanto,
\begin{eqnarray*}
\dfrac{\partial f}{\partial x} (x,y) & = & \left\{ \begin{array}{ll}
2x \sin{\dfrac{1}{x^2+y^2}} -\dfrac{2x}{(x^2+y^2)}\cos{\dfrac{1}{x^2+y^2}} ; & (x,y) \neq (0,0)\\
\\
0; & (x,y) = (0,0) \end{array} \right. \\
\\
\dfrac{\partial f}{\partial y} (x,y) & = & \left\{ \begin{array}{ll}
2y \sin{\dfrac{1}{x^2+y^2}} -\dfrac{2y}{(x^2+y^2)}\cos{\dfrac{1}{x^2+y^2}} ; & (x,y) \neq (0,0)\\
\\
0; & (x,y) = (0,0) \end{array} \right. \\
\end{eqnarray*}

EXEMPLO

EXEMPLO: Seja $$f(x,y) = \left\{ \begin{array}{rl} \frac{xy^3}{x^2 + y^2}; & (x,y)\neq (0,0)\\ 0: & (x,y)= (0,0)\\ \end{array} \right. $$

Temos que:

$$\frac{\partial f}{\partial x} (0,0) =\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(h,0) – f(0,0)}{h} = 0$$

$$\frac{\partial f}{\partial y} (0,0) =\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(0,h) – f(0,0)}{h} = 0$$

Logo,

$$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = \left\{ \begin{array}{rl}
\frac{y^3(x^2+y^2) – 2x^2y^3}{(x^2 + y^2)^2}; & (x,y)\neq (0,0)\\
\\
0; & (x,y)= (0,0)\\
\end{array} \right.$$

$\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y) = \left\{ \begin{array}{rl}\dfrac{3xy^2(x^2+y^2) - 2xy^4}{(x^2 + y^2)^2}; & (x,y)\neq (0,0)\\\\0; & (x,y)= (0,0)\\\end{array} \right.$

Derivadas Parciais de Segunda Ordem

As derivadas parciais são funções de várias variáveis como a função original que as gerou. Nesse sentido estrito não existe nada de mais com elas, e o mesmo acontece com as derivadas parciais segundas, terceiras, etc.

DEFINIÇÃO:

Seja a função $z=f(x,y)$ . As derivadas parciais de segunda ordem de $f$ são as funções $\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \dfrac{\partial}{\partial x}\left(\dfrac{\partial f}{\partial x}\right),$ $\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \dfrac{\partial}{\partial x}\left(\dfrac{\partial f}{\partial y}\right),$ $\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \dfrac{\partial}{\partial y}\left(\dfrac{\partial f}{\partial x}\right),$ $\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \dfrac{\partial}{\partial y}\left(\dfrac{\partial f}{\partial y}\right).$

Estas derivadas parciais serão muito importantes nos problemas de otimização de funções de várias variáveis e, obviamente, todos os conceitos podem ser generalizados para uma função com n variáveis.

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EXEMPLO: Seja $f(x,y) = 4x^5y^4-6x^2y+3$ . Daí,

$\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \dfrac{\partial}{\partial x}\left(20x^4y^4 - 12xy\right) = 80x^3y^4 - 12y$

$\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \dfrac{\partial}{\partial x}\left(16x^5y^3-6x^2\right) = 80 x^4y^3-12x$

$\dfrac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \dfrac{\partial}{\partial y}\left(20x^4y^4 - 12xy\right) = 80 x^4y^3-12x$

$\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \dfrac{\partial}{\partial y}\left(20x^4y^4 - 12xy\right) = 48x^5y^2$

O Vetor Gradiente

Seja $z=f(x,y)$ uma função que admite derivadas parciais. Se estamos trabalhando com um ponto genérico $(x,y)$ , usualmente representamos o vetor gradiente de $f$ por $$\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right).$$

EXEMPLO

O vetor gradiente da função $f(x,y) = x^2 + y^2$ é dado por $\nabla f (x,y) = (2x, 2y).$

EXEMPLO De maneira análoga, podemos definir o vetor gradiente para uma função com três variáveis.

Vamos determinar o vetor gradiente da função $w=xyz^2.$

Calculando as derivadas parciais obtemos:

$$\nabla f(x, y,z) = \left(yz^2 ,xz^2 ,2xyz \right)$$

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