As Integrais Triplas | Definição, Exemplos e Exercícios Resolvidos

As integrais triplas podem ser calculadas de maneira análoga às integrais duplas,estendendo o conceito de integrações sucessivas. Podemos utilizar as idéias aplicadas para o cálculo da integral dupla como será apresentado nos diversas situações a seguir.

Ou seja, as integrais triplas são o análogo de integrais duplas em três dimensões. Elas são uma ferramenta para somar infinitamente grandezas infinitesimais associadas a pontos em uma região tridimensional.

Vamos restringir nossas considerações a funções definidas em certos domínios simples, cujas fronteiras sejam regulares. Ou seja, de modo simplificado vamos considerar no espaço \mathbb{R} ^3 conjuntos de pontos que admitam representações dadas por funções contínuas, com derivadas contínuas, nas formas z = z(x,y) , y = y(x,z) e x = x(y,z) , ou por sólidos formados pela união de superfícies dadas por funções que satisfaçam estas condições como fronteira.

Primeiramente, vamos entender, formalmente, a ideia da integral tripla.

A Integral Tripla

Considere w=f(x,yz) um função contínua em uma região T fechada e limitada do espaço. A região T será subdividida por planos paralelos aos três planos coordenados. Então, numeramos os paralelepípedos dentro da região T de 1 a n.

Em cada paralelepípedo escolhemos um ponto arbitrário (x_k,y_k,z_k) no k -ésimo paralelepípedo e calculamos a soma $$J_n = \sum\limits_{k=1}^{n}f(x_k,y_k,z_k)\Delta V_k,$$ onde \Delta V_k é o volume do k -ésimo paralelepípedo. Quando mais aumentamos o valor de n, ou seja, quanto maior o número de paralelepípedos, menor fica o volume dos paralelepípedos.

Desta forma, se existir $$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\sum\limits_{k=1}^{n}f(x_k,y_k,z_k)\Delta V_k}, $$ o denominamos de integral tripla da função f(x,y,z) sobre a região T e escrevemos $$\int \int_{T} \int{f(x,y,z)dxdydz}.$$

CONDIÇÃO SUFICIENTE PARA INTEGRABIILIDADE DE UM FUNÇÃO SOBRE UM CONJUNTO LIMITADO

Seja B \subset \mathbb{R}^3 um conjunto limitado e seja f: B \rightarrow \mathbb{R} uma função contínua e limitada. Nestas condições, se a fronteira de B puser ser coberta por um número finito de paralelepípedos cuja soma dos valores seja tão pequena o quanto se queira, então f será integrável em B .

Propriedades da Integral Tripla:

Vamos relacionar aqui várias propriedades das integrais triplas. A linearidade da integral dupla se expressa através das equações:

$$\int \int_{T} \int {c f(x,y,z)}dxdydz = c \int \int_{T} \int { f(x,y,z)}dxdydz$$

$$\int \int_{T} \int{f(x,y,z)+g(x,y,z)}dxdydz. = \int \int_{T} \int{f(x,y,z)}dxdydz + \int \int_{T}\int{g(x,y,z)}dxdydz,$$

onde c é uma constante e f e g são contínuas no dóminio fechado e limitado T. Se T = T_1 \cup T_2, então

$$\int \int_{T} \int { f(x,y,z)}dxdydz= \int \int_{T_1} \int { f(x,y,z)}dxdydz +\int \int_{T_2} \int { f(x,y,z)}dxdydz.$$ Se f(x,y,z) \geq g(x,y,z), \forall (x,y,z) \in T, então $$\int \int_{T} \int { f(x,y,z)}dxdydz \geq \int \int_{T} \int { g(x,y,z)}dxdydz,$$ por consequência, se f(x,y,z) \geq 0 teremos $$\int \int_{T} \int { f(x,y,z)}dxdydz\geq 0.$$

Cálculo da Integral Tripla

A técnica utilizada para efetuarmos o cálculo da integral tripla é reduzi-la a uma integral dupla. Este procedimento será mostrados nos exemplos abaixo.

EXEMPLO

Vamos calcular a integral tripla $$\int \int_{T} \int { x dxdydz}$$ onde T é o conjunto de todos os pontos (x,y,z) tais que $$0 \leq x \leq 1, 0\leq y \leq x\;\;\;e\;\;\;0\leq z \leq x+y.$$

Temos que
$$\int \int_{T} \int { x dxdydz} = \int\limits_{0}^{1} \int\limits_{0}^{x} \int\limits_{0}^{x+y} { x dzdydx}=$$ $$= \int\limits_{0}^{1} \int\limits_{0}^{x}\left[ xz \right]_{0}^{x+y}dydx=$$ $$= \int\limits_{0}^{1} \int\limits_{0}^{x}{x(x+y)}dydx=$$ $$= \int\limits_{0}^{1} \int\limits_{0}^{x}{x^2 + yx)}dydx=$$ $$= \int\limits_{0}^{1} \left[ {x^2y + \frac{y^2}{2}x)} \right] _{0}^{x}dx=$$ $$= \int\limits_{0}^{1} \left[ {\frac{3 x^3}{2}} \right]dx=$$ $$= \left[\frac{3 x^4}{8} \right ] _{0}^{1}=$$ $$= \frac{3}{8}$$

EXEMPLO

Calcule a integral tripla $$\int \int_{T} \int { (x-1) dxdydz}$$ sendo T é o conjunto delimitado pelos planos y=0, z=0, y+z=5 e pelo cilindro parabólico z=4-x^2.

Podemos limitar nossa região T é o conjunto delimitado por -2 \leq x \leq 2, 0 \leq y \leq 5-z e 0\leq z \leq 4-x^2.

Desta forma $$ \int \int_{T} \int { (x-1) dxdydz} = \int\limits_{-2}^{2} \int\limits_{0}^{4-x^2} \int\limits_{0}^{5-z} { (x-1) dydzdx}=$$ $$= \int\limits_{-2}^{2} \int\limits_{0}^{4-x^2}\left[ xy -y \right] _{0}^{5-z}dzdx=$$ $$= \int\limits_{-2}^{2} \int\limits_{0}^{4-x^2}{(5-z)(x-1)}dzdx=$$ $$= \int\limits_{-2}^{2} \left[\left(5z-\frac{z^2}{2} \right)(x-1)\right] _{0}^{4-x^2}dx=$$ $$= \int\limits_{-2}^{2} \left(5(4-x^2)-\frac{(4-x^2)^2}{2} \right)(x-1)dx=$$ $$= \int\limits_{-2}^{2} \left( \frac{x^5}{2}-\frac{x^4}{2} – x^3 +x^2 +12x -12 \right) dx=$$ $$= \frac{-544}{15}$$

Observação (Integrais Triplas Impróprias)

O conceito de integral imprópria se estende, de modo óbvio, ao caso de integrais triplas.

Exercícios Resolvidos sobre Integrais Triplas

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