Campos Vetoriais | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos

Neste artigo queremos trazer uma primeira lista de exercícios resolvidos sobre campos vetoriais. Seja A um subconjunto do \mathbb{R}^n e \vec{F} uma transformação de A em \mathbb{R}^n. Se para cada ponto de A o associarmos ao vetor \vec{F} iremos nos referir a \vec{F} como um campo vetorial.

No espaço \mathbb{R}^3, considere P(x,y,z) um ponto de um conjunto de pontos do espaço. Se para cada ponto P deste conjunto associarmos um vetor \vec{F}(P) = \vec{F}(x,y,z), então obtemos um campo vetorial para estes pontos e \vec{F}(x,y,z) é denominada função vetorial. Em coordenadas cartesianas, $$\vec{F}(x,y,z) = F_1(x,y,z) i + F_2(x,y,z)j + F_3(x,y,z)k$$ onde i = (1,0,0), j = (0,1,0) e k = (0,0,1) e F_i : \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}

As curvas que formam o fluxo do campo são também chamadas de curvas integrais do campo, pois se \vec{F}(x,y,z) = F_1(x,y,z) \vec{ i } + F_2(x,y,z) \vec{ j } + F_3(x,y,z) \vec{ k } representa a velocidade das partículas num fluido, o movimento do fluido é completamente determinado pelo sistema $$\frac{dx}{dt} = F_1 \left( x(t), y(t), z(t) \right) $$ $$\frac{dy}{dt} = F_2 \left( x(t), y(t), z(t) \right) $$ $$\frac{dz}{dt} = F_3 \left( x(t), y(t), z(t) \right) ;$$ o que nos leva a associar o campo \vec{F} a um sistema de equações diferenciais ordinárias, cuja solução é o fluxo \gamma (t) = \left( x(t), y(t), z(t) \right) de \vec{F}.

O rotacional de \vec{F}, que se denota por rot\vec{F}, é o campo vetorial definido em A e dado por $$rot \vec{F} = \left|
\begin{array}{ccc}
i & j & k \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\
F_1 & F_2 & F_3
\end{array}
\right| = \nabla \wedge \vec{F}$$ onde \nabla é o vetor gradiente.

O divergente de \vec{F}, que se denota por div(\vec{F}), é o campo vetorial definido em A e dado por $$div\left( \vec{F} \right) = \frac{\partial F_1}{\partial x} + \frac{\partial F_2}{\partial y} + \frac{\partial F_3}{\partial z} = \nabla . \vec{F}$$ onde \nabla é o vetor gradiente.

Campos Vetoriais | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos

1) Para os campos vetoriais \vec{f}(x,y,z) abaixo, responda:

• • Calcule rot \vec{f} ;
  • Este campo é conservativo?
  • Se o campo for conservativo encontre o potencial

a) \vec{f}(x,y,z) = (6x, 2y, 2z)

SOLUÇÃO: Neste caso, rot\left( \vec{F} \right) = \nabla \wedge \vec{F} = \vec{0}, logo, o campo é conservativo e $$M(x,y,z) = \int 6x dx = 3x^2,$$ $$N(x,y,z) = \int2zdy = 2yz;$$ por outro lado, $$F_3 – \frac{\partial (M+N)}{\partial z} = 0 \Rightarrow L(x,y,z) = 0 . $$

Então o potencial do campo é: $$f(x,y,z) = 3x^2+2yz +c . $$

b) \vec{f}(x,y,z) = (y^2 cos(x), 2y sen(x) + e^{2z}, 2y e^{2z})

SOLUÇÃO: Neste caso, rot\left( \vec{F} \right) = \nabla \wedge \vec{F} = \vec{0}, logo o campo é conservativo e usando as fórmulas para encontrar o potencial de campos conservativos no espaço tridimensional é dado por $$M(x,y,z) = y^2 sen(x) $$ $$ N(x,y,z) = y e^{2z},$$ por outro lado, como $$F_3 – \frac{\partial (M+N)}{\partial z} = 0 \Rightarrow L(x,y,z) = 0 . $$ Portanto o potencial do campo é $$f(x,y,z) = y (e^{2z} + y sen(x)) +c.$$

2) Para a função \vec{F}(x,y) = (y+x^2\cos{x}, 2x-y^2\sin{y}) determine:

a) O rotacional de \vec{F}(x,y).

SOLUÇÃO:  rot\left( \vec{F} \right) = \nabla \wedge \vec{F} = \vec{k}.

b) O campo \vec{F}(x,y) é irrotacional?

SOLUÇÃO: Não, pois rot\left( \vec{F} \right) \neq \vec{0} .

c) O divergente de \vec{F}(x,y).

SOLUÇÃO:  div \left( \vec{F} \right) = \nabla \cdot \vec{F} = 2x cos(x) = x^2sen(x)-2y sen(y) - y^2 cos(y).

d) O campo \vec{F}(x,y) é incompressível?

SOLUÇÃO: Não, pois div\left( \vec{F} \right) \neq 0 .

3) Determine se o campo vetorial $$ \vec{f}(x,y,z) = (e^x sen(z) +2xy) \vec{i} + (2xz + 2y) \vec{j} + (e^x cos(z) +2xy +3z^2) \vec{k}$$ é conservativo. Em caso afirmativo, determine o potencial.

SOLUÇÃO: Se este campo for conservativo, então existirá uma função g(x,y,z) tal que \vec{f}(x,y,z) = \nabla g(x,y,z). Ou seja, podemos afirmar que o potencial g(x,y,z) deste campo, se existir, satisfaz as equações abaixo: $$\frac{\partial g}{\partial x} = e^x sen(z) +2xy; \frac{\partial g}{\partial y} = 2xz + 2y; \frac{\partial g}{\partial z} = e^x cos(z) +2xy +3z^2 .$$ Integrando a primeira destas derivadas parciais com respeito a x, obtemos $$g(x,y,z) = e^x sen(z) +2xyz + a(y,z)$$ e derivando novamente para y podemos encontrar $$a(,y,z) = y^2 + b(z),$$ ou seja, g(x,y,z) = e^x sen(z) +2xyz + y^2 + b(z) e, enfim, usando a derivada parcial com respeito a z, encontramos $$b(z) = z^3 + k$$, o que nos leva ao potencial  $$g(x,y,z) = e^x sen(z) +2xyz + y^2 + z^3 + k $$ e a garantia de que este campo é conservativo.

4) Quando uma função escalar f(x,y,z) tem derivadas de segunda ordem contínuas e o divergente do seu campo gradiente é nulo em domínio, ela é chamada harmônica nesse domínio. Verifique se as seguintes funções são harmônicas:

a) f(x,y,z) = x^2y +e^y -z;

SOLUÇÃO: Observe que $$div\left( \vec{\nabla} f \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{\partial ^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 f}{\partial y^2}+\frac{\partial ^2 f}{\partial z^2} = 0,$$ ou seja, uma função é harmônica se, e somente se, satisfaz a equação de Laplace.

No caso de f(x,y,z) = x^2y +e^y -z $$ \frac{\partial ^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 f}{\partial y^2}+\frac{\partial ^2 f}{\partial z^2} = 2y + e^y + 0 \neq 0$$ logo, a função não é harmônica.

b) f(x,y,z) = 2xy + yz.

SOLUÇÃO: No caso de f(x,y,z) = 2xy + yz $$ \frac{\partial ^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 f}{\partial y^2}+\frac{\partial ^2 f}{\partial z^2} = 0 + 0 + 0 = 0$$ logo, a função é harmônica.

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Video-Aula Sobre Campos Vetoriais: