Derivada Direcional de Funções de Várias Variáveis

Campos Escalares, ou Funções de Várias Variáveis a Valores Vetoriais, em geral são funções na forma f: A \subset \mathbb{R} ^n\rightarrow \mathbb{R}, que associa a cada n-upla de \mathbb{R} ^n um escalar. Nesse artigo queremos estabelecer o conceito de Derivada Direcional para esse tipo de função.

Vamos apresentar esse conceito através de funções com domínio no \mathbb{R} ^2 simplesmente pela facilidade em estabelecer gráficos e representações do domínio, e também por serem as funções que mais aparecem em aplicações de engenharia, por exemplo.

A Derivada Direcional

Sejam z = f(x,y) uma função, ( x_0 , y_0 ) em ponto do domínio desta função e \vec{u} = (a,b) um vetor unitário.

DEFINIÇÃO (Derivada Direcional):

O limite $$ \frac{ \partial f}{ \partial \vec{u}} (x_0 , y_0 ) = \lim_{t \rightarrow 0}{\frac{f(x_0 + at , y_0 + bt) – f(x_0 , y_0 )}{t}}$$ quando existe e é finito, denomina-se derivada direcional de f no ponto  ( x_0 , y_0 )  e na direção do vetor  \vec{u} = (a,b) , sendo este um vetor unitário.

A derivada direcional \dfrac{ \partial f}{ \partial \vec{u}}(x_0 , y_0) denomina-se, também, taxa de variação de f no ponto  (x_0 , y_0)  e na direção do vetor  \vec{u} .

EXEMPLO

Seja f(x,y) = x^2 + y^2 . Calcule \dfrac{ \partial f}{ \partial \vec{u}}(1,1) , onde \vec{u} = (a,b) é um vetor unitário qualquer.

Neste caso, $$ \frac{ \partial f}{ \partial \vec{u}} (1 ,1 ) = \lim_{t \rightarrow 0}{\frac{f(1 + at , 1 + bt) – f(1 , 1 )}{t}} = $$ $$ = \lim_{t \rightarrow 0}{\frac{(1 + at)^2 + (1 + bt)^2 -2}{t}} = 2 a + 2b.$$

Portanto, $$ \frac{ \partial f}{ \partial \vec{u}} (1 ,1 ) = 2 a + 2b.$$

EXEMPLO

Seja \vec{u} = (a,b) um vetor unitário dado. Vamos calcular \dfrac{ \partial f}{ \partial \vec{u}} (0,0 ) onde \begin{equation} f(x,y) = \left\{ \begin{array}{rll}
\frac{x^3}{x^2+y^2} ; (x,y) & \neq & (0,0)\\
\\
0; (x,y) & = & (0,0) \end{array} \right. .\end{equation}

Note que $$ \frac{f(0+at, 0 + bt) – f(0,0)}{t} = \frac{a^3 t^3}{t (a^2 t^2 + b^2 t^2)} = \frac{a^3}{a^2 + b^2} ; \;\;\; t \neq 0.$$

Como \vec{u} = (a,b) é um vetor unitário, então \| \vec{u} \| = a^2 + b^2  =1. Logo $$ \frac{f(0+at, 0 + bt) – f(0,0)}{t} = \frac{a^3}{a^2 + b^2} = a^3; \;\;\; t \neq 0.$$

Assim, $$ \frac{ \partial f}{ \partial \vec{u}} (0,0 ) = \lim_{t \rightarrow 0}{\frac{f(0+at, 0 + bt) – f(0,0)}{t} } = \lim_{t \rightarrow 0}{a^3} = a^3 . $$

Portanto, para todo vetor unitário \vec{u} = (a,b) $$ \frac{ \partial f}{ \partial \vec{u}} (0,0 ) = a^3 . $$

OBSERVAÇÕES:

1) Podemos observar que as derivadas parciais de f no ponto (x_0 , y_0) , são particulares derivadas direcionais:

$$ \frac{ \partial f}{ \partial \vec{i}} (x_0 , y_0 ) = \lim_{t \rightarrow 0}{\frac{f(x_0 + t , y_0) – f(x_0 , y_0 )}{t}} = \frac{ \partial f}{ \partial x} (x_0 , y_0 )$$

$$ \frac{ \partial f}{ \partial \vec{j}} (x_0 , y_0 ) = \lim_{t \rightarrow 0}{\frac{f(x_0 , y_0 + t) – f(x_0 , y_0 )}{t}} = \frac{ \partial f}{ \partial y} (x_0 , y_0 )$$

2) Uma função pode ser contínua num ponto, ter derivada direcional em todas as direções neste ponto, e mesmo assim não ser diferenciável neste ponto.

Interpretação Geométrica da Derivada Direcional

Observe que a derivada direcional de uma função f(x,y) numa direção do vetor unitário \vec{u} = (a,b) num ponto (x_0, y_0) , é o declive da curva interseção da superfície z = f(x,y) com o plano que passa por (x_0, y_0) e é paralelo ao eixo Oz e à direção \vec{u} = (a,b) , cuja equação é $$(x-x_0) a – (y – y_0 ) b = 0 .$$

Sendo \psi   o ângulo dessa interseção com o plano horizontal x0y , isso significa que $$ \frac{ \partial f}{ \partial \vec{u}} (x_0 , y_0) = tg ( \psi) . $$

Como \vec{u} = (a,b) é unitário, se \nabla f (x_0 , y_0) \neq \vec{0} , podemos escrever a fórmula $$ D_{\vec{u}} f = \nabla f . \vec{u} = \| \nabla f \| cos \theta ,  $$ onde \theta é o ângulo entre os vetores \nabla f e \vec{u}.

O Gradiente e a Derivada Direcional

Se f for diferenciável em (x_0, y_0) , então f admitirá derivada direcional em todas as direções, no ponto (x_0, y_0) , e cada derivada direcional se exprime de modo bastante simples em termos do gradiente de f em (x_0, y_0) .

Pode-se mostrar que se \vec{u} = (a,b) é um vetor unitário e f for diferenciável em (x_0, y_0) , então  $$ \frac{ \partial f}{ \partial \vec{u}} (x_0 , y_0) = \nabla f (x_0 , y_0) . \vec{u} = a \frac{ \partial f}{ \partial x} (x_0 , y_0 ) + b \frac{ \partial f}{ \partial y} (x_0 , y_0 ) .$$

Além disso, sob essas condições, se \nabla f (x_0 , y_0) \neq \vec{0} então podemos afirmar que o valor máximo de \dfrac{ \partial f}{ \partial \vec{u}} (x_0 , y_0)  ocorre quando \vec{u} = \dfrac{\nabla f (x_0 , y_0)}{\| \nabla f (x_0 , y_0) \|} e esse valor de máximo é exatamente \| \nabla f (x_0 , y_0) \| .

Ou seja, estando em (x_0, y_0) , a direção e sentido que se deve tomar para que f cresça mais rapidamente é a do vetor \nabla f (x_0 , y_0) .

Ainda podemos afirmar que a derivada direcional é zero quando a direção \vec{u} é perpendicular à direção do gradiente.

EXEMPLO

Vamos calcular \frac{ \partial f}{ \partial \vec{u}} (1,2) , onde f(x,y) = x^2 + xy e \vec{u} = (a,b)

Neste caso, como f é diferenciável, $$ \frac{ \partial f}{ \partial \vec{u}} (1,2) = \nabla f (1,2) . \vec{u} = a \frac{ \partial f}{ \partial x} (1 , 2 ) + b \frac{ \partial f}{ \partial y} (1 , 2 ) .$$

Como $$ \frac{ \partial f}{ \partial x} (x,y ) = 2x +y $$ $$\frac{ \partial f}{ \partial y} (x,y ) = x, $$ então $$\nabla f (1,2) = (4,1).$$

Portanto, $$ \frac{ \partial f}{ \partial \vec{u}} (1,2) = 4a +b .$$

EXEMPLO

Seja f(x,y) = x^2 y .

Desta forma, facilmente encontramos \nabla f (1,1) = (2,1).

Como essa função é diferenciável no ponto (1,1) e \nabla f (1,1) \neq (0,0) , segue que \frac{ \partial f}{ \partial \vec{u}} (1,1) é máximo para $$ \vec{u} = \frac{\nabla f (1,1)}{\| \nabla f (1,1) \|} = \left( \frac{2}{\sqrt{5}} , \frac{1}{\sqrt{5}}  \right) . $$

Além disso, o valor de máximo que \frac{ \partial f}{ \partial \vec{u}} (1,1) assume é $$ \| \nabla f (1,1) \| = \sqrt{5}. $$

Além disso é importante lembrar que \nabla f (1,1) = (2,1). aponta a direção e sentido em que f cresce mais rapidamente (1,1).

A Derivada Direcional Para Funções de Três Variáveis

É claro que as mesmas ideias abordadas se aplicam no caso de funções de três ou mais variáveis independentes.

Sendo \vec{u} = (a,b,c) um vetor unitário no \mathbb{R} ^3 , a derivada de uma função diferenciável w = f(x,y,z) na direção de \vec{u} é dada por $$\frac{\partial f}{\partial \vec{u}} = \nabla f . \vec{u}. $$

A fórmula $$ D_{\vec{u}} f = \nabla f . \vec{u} = \| \nabla f \| cos \theta, $$ onde \theta é o ângulo entre os vetores \nabla f e \vec{u}, permanece válida neste caso.

Exercícios Resolvidos

• Derivada Direcional | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos

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