Volume com Integrais Triplas | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos

Nesse artigo queremos apresentar uma lista de exercícios sobre cálculo de volume de sólidos utilizando a Integral Tripla. Seja T um subconjunto do \mathbb{R}^3, limitado fechado. Definimos o volume de T por $$V_{T} = \int \int\limits_{T} \int{dxdydz}.$$ Esta seria uma interpretação geométrica da integral tripla na terceira dimensão.

Cálculo de Volume com Integrais Triplas | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos

1) Utilizando Integrais Triplas estabeleça uma fórmula para o volume do cilindro com raio da base igual a a>0 e altura igual a h>0.

SOLUÇÃO: Usando coordenadas cilíndricas encontramos $$V = \int\limits_{0}^{h} \int\limits_{0}^{a} \int\limits_{0}^{2 \pi}{r d\theta dr dz} = 2 \pi h \int\limits_{0}^{a}{rdr} = \pi a^2 h.$$

2) Use a integração tripla para calcular o volume dos sólidos T abaixo:

(a) T é delimitado pelos paraboloides x^2 + y^2 = z e z = 12 - x^2 - 3 y^2 .

SOLUÇÃO: Note, pela figura abaixo (ou igualando as duas equações dos sólidos) que essas superfícies se intersectam no cilindro de equação x^2 + 2 y^2 = 6 , o qual, por sua vez, intersepta o plano x0y na elipse de semi-eixos a = \sqrt{6} e b = \sqrt{3} .

Logo, o volume procurado é dado por $$V = \iiint\limits_{T}{dxdydz} = \iint\limits_{x^2+2y^2=6}{dxdy}\int\limits_{x^2+2y^2}^{12-x^2-3y^2}{dz} = $$ $$ =  \iint\limits_{x^2+2y^2=6}{(12-2x^2-4y^2)dxdy} .$$

Note que $$ \iint\limits_{x^2+2y^2=6}{(12-2x^2-4y^2)dxdy} $$ é a integral dupla sobre a a elipse de semi-eixos a = \sqrt{6} e b = \sqrt{3} .

Logo, $$V = \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} \int\limits_{-\sqrt{6-2y^2}}^{\sqrt{6-2y^2}}{(12-2x^2-4y^2)dxdy} = 36 \pi \sqrt{2}.$$

(b) T é o elipsoide  \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} + \dfrac{z^2}{c^2} = 1

SOLUÇÃO: Observe que neste caso, o volume do parabolóide é duas vezes o volume da parte do parabolóide que esteja toda acima do plano x0y, assim. Para considerar apenas esta porção do parabolóide temos que $$ 0 \leq z \leq \sqrt{c^2 – \frac{c^2 x^2}{a^2} – \frac{c^2 x^2}{b^2}}.$$

Desta forma, o volume do elipsóide será dado pela integral $$ V = 2 \iint\limits_{R}{dxdy}\int_{0}^{\sqrt{c^2 – \frac{c^2 x^2}{a^2} – \frac{c^2 x^2}{b^2}}}{dz} = 2 \iint\limits_{R}{\sqrt{c^2 – \frac{c^2 x^2}{a^2} – \frac{c^2 x^2}{b^2}}dxdy}= 2 c \iint\limits_{R}{\sqrt{1 – \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2}}dxdy}$$ onde R é a elipse \dfrac{x^2}{a^2}+ \dfrac{y^2}{b^2}=1 .

Agora façamos a mudança de coordenadas x = a u e y = b v . Desta forma, observando que o jacobiano é dado por J = \dfrac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)} = ab,

$$ V = 2c \iint\limits_{R’}{\sqrt{1 – u^2 – v^2}abdudv} = 2 abc \iint\limits_{R’}{\sqrt{1 – u^2 – v^2}dudv}$$ onde facilmente verificamos que a região R' é dado pelo círculo com centro na origem e raio igual a 1.

Observe que $$ \iint\limits_{R’}{\sqrt{1 – u^2 – v^2}dudv} = \frac{2}{3}\pi $$ pois é o volume de metade da esfera com centro na origem e raio igual a 1. Este resultado é facilmente verificável utilizando ainda coordenadas polares nesta mesma integral.

Assim, $$ V = 2 abc \iint\limits_{R’}{\sqrt{1 – u^2 – v^2}dudv} = \frac{4}{3} abc \pi.$$

(c) T é a interseção da esfera x^2 + y^2 + z^2 \leq R^2 com o paraboloide 0 \leq z \leq x^2 + y^2 .

SOLUÇÃO: Observe que nós queremos o sólido delimitado pela parte externa do paraboloide acima do plano x0y ( 0 \leq z \leq x^2 + y^2 ) e pela parte interior da esfera de raio R>0.

A figura abaixo ilustra este sólido:

A curva interseção entre as duas superfícies x^2 + y^2 + z^2 = R^2 e z = x^2 + y^2 é dada pela circunferência x^2 + y^2 = \dfrac{R^2}{2}.

Desta forma, precisaremos dividir o nosso sólido T em duas partes:

1) A primeira, construída sobre a região R’ do plano que é o anel com raio r>0 variando entre \dfrac{R}{\sqrt{2}} \leq r \leq R e com $$ 0 \leq z \leq \sqrt{R^2 – x^2 – y^2}.$$

2) A segunda, construída sobre a região R” do plano que é o círculo com raio variando entre 0 \leq r \leq \dfrac{R}{\sqrt{2}} com $$ 0 \leq z \leq  x^2 + y^2.$$

Desta forma, $$V_{T} = \iint\limits_{R’}\int\limits_{0}^{\sqrt{R^2 – x^2 – y^2}}{dxdydz} + \iint\limits_{R”}\int\limits_{0}^{x^2 + y^2}{dxdydz} = $$ $$= \iint\limits_{R’}{\sqrt{R^2 – x^2 – y^2}dxdy}+\iint\limits_{R”}{(x^2 + y^2)dxdy}.$$

Usando coordenadas polares encontramos $$V_{T} = \int\limits_{0}^{2 \pi} \int\limits_{\frac{R}{\sqrt{2}}}^{R}{\sqrt{R^2 – r^2}rdrd \theta} + \int\limits_{0}^{2 \pi} \int\limits_{0}^{\frac{R}{\sqrt{2}}}{r^3drd \theta} = $$ $$= 2 \pi \int\limits_{\frac{R}{\sqrt{2}}}^{R}{\sqrt{R^2 – r^2}rdr} + 2 \pi \int\limits_{0}^{\frac{R}{\sqrt{2}}}{r^3dr} = \pi \left( \frac{R^4}{8}+ \frac{\sqrt{2} R^3}{6} \right).$$

(d) T é o cone circular reto, de raio R e altura h.

SOLUÇÃO: Um cone circular reto colocado acima do plano x0y, com seu vértice sobre a origem tem equação dada por z = \frac{h}{R} \sqrt{x^2 + y^2} . Para que ele tenha raio igual a R > 0 e altura igual a h > 0, fixaremos o cone, usando coordenadas cilíndricas, como o sólido T dado por: $$T_{cone}: \left\{ \begin{array}{l} 0 \leq r \leq R\\ 0 \leq \theta \leq 2 \pi \\ \frac{h}{R} r \leq z \leq h\end{array} \right.$$

Observe que na coordenada z teríamos \frac{h}{R} \sqrt{x^2 + y^2}  \leq z \leq h , porém, como \sqrt{x^2 + y^2}  = r então temos o resultado acima.

Assim $$V_{cone} = \iiint\limits_{T}{rdrd \theta dz} = \int\limits_{0}^{2 \pi}\int\limits_{0}^{R}\int\limits_{\frac{h}{R} r}^{h}{rdzdrd \theta} = $$ $$= \int\limits_{0}^{2 \pi}\int\limits_{0}^{R}{r \left( h – \frac{h}{R}r \right)drd \theta} = 2 \pi h\int\limits_{0}^{R}{r \left( 1 – \frac{1}{R}r \right)dr} =\frac{\pi R^2 h}{3}.$$

3) Calcule o volume do paralelepípedo dado por  $$1 \leq x +2y+z \leq 2$$ $$0 \leq x+y -z \leq \pi /4$$ $$0 \leq z \leq 1 .$$

SOLUÇÃO: Utilizando a mudança de variáveis u = x+y-z , v = x + 2y+z   e w = z, podemos encontrar o jacobiano igual a 1 e com isso dxdydz = dudvdw . Daí, $$ V = \int\limits_{0}^{\pi 4}\int\limits_{1}^{2}\int\limits_{0}^{1}{dudvdw} = \frac{\pi}{4}.$$

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