Transformada de Laplace | Das Definições Básicas à Função Delta

O método da Transformada de Laplace é uma ferramenta muito poderosa na solução de EDO’s lineares e PVI’s correspondentes que pode ser resumido em três passos: 1) a EDO dada é transformada em uma equação algébrica; 2) esta equação é solucionada por manipulações algébricas; e 3) a solução obtida no item 2 é transformada de volta obtendo a solução do problema original dado. Esta comutação do cálculo para a álgebra é chamada de Cálculo Operacional.

 A DEFINIÇÃO DA TRANSFORMADA DE LAPLACE

Se f(t) é uma função definida para todo t \geq 0, sua Transformada de Laplace é uma função na variável s, chamada de F(s) e denotada por \mathscr{L} (f) é dada pela integral F(s) = \mathscr{L} (f) = \int_{0}^{\infty}{e^{-st}f(t)dt} = \lim_{T \rightarrow \infty}{\int_{0}^{T}{e^{-st}f(t)dt}}. A função dada f(t) é denominada de transformada inversa de F(s) e é denotada por \mathscr{L}^{-1} (F), ou seja, f(t) = \mathscr{L}^{-1} (F(s)).

OBSERVAÇÃO: Por consequência da teoria da inversão de funções, temos que \mathscr{L} (\mathscr{L}^{-1} (F))=F \mathscr{L} ^{-1} (\mathscr{L} (f))=f.

EXEMPLO: Seja f(t)=1 quando t \geq 0. Encontre F(s).

Pela definição F(s) = \mathscr{L} (f) = \int_{0}^{\infty}{e^{-st}dt}= \left[ \dfrac{1}{s}e^{-st} \right] _{0}^{\infty} = \dfrac{1}{s}.

EXEMPLO: Seja f(t)=e^{at} quando t \geq 0, onde a é uma constante. Encontre F(s)= \mathscr{L} (f).

Novamente, pela definição F(s) = \mathscr{L} (f) = \int_{0}^{\infty}{e^{at} e^{-st}dt}=\int_{0}^{\infty}{e^{(a-s)t}dt}= \left[ \dfrac{1}{a-s}e^{(a-s)t}\right] _{0}^{\infty} = \dfrac{1}{s-a}.

EXEMPLO: Calcule \mathscr{L} \left( f(t)  \right) sendo $$f(t) = \left\{ \begin{array}{lll}
0 & ; & 0<t<3\\
2& ; & t \geq 3\\
\end{array} \right. $$

Pela definição da Transformada de Laplace encontramos:

$$ \mathscr{L} \left( f(t)  \right) = \int_{0}^{ \infty}{e^{-st} f(t) dt} = $$ $$ = \int_{0}^{ 3}{e^{-st} 0 dt} + \int_{3}^{ \infty}{e^{-st} 2 dt}  = \int_{3}^{ \infty}{e^{-st} 2 dt} = $$ $$ =  \left[ – \frac{2 e^{-st}}{s} \right]_{3}^{\infty} = \frac{2 e^{3s}}{s}, \;\;\; s>0 .$$

EXEMPLO: Encontre a Transformada de Laplace da função f(t) = t^{ \alpha} , tal que \alpha > -1

A definição da Função Gama é dada por $$ \Gamma (x) = \int_{0}^{ \infty}{t^{x-1}e^{-t} dt}.$$ A convergência desta integral requer x-1 > -1 , ou seja, x >0 .

Logo F(s) = \mathscr{L} (t^{ \alpha}) = \int_{0}^{\infty}{e^{-st}t^{ \alpha}dt}. Fazendo u = st , encontramos \dfrac{u}{s} = t \Rightarrow dt = \dfrac{du}{s}. Substituindo na integral, encontramos $$\mathscr{L} (t^{ \alpha}) = \int_{0}^{\infty}{e^{-st}t^{ \alpha}dt} = \frac{1}{s^{ \alpha +1}} \int_{0}^{\infty}{e^{-u}u^{ \alpha}du} = \frac{1}{s^{ \alpha +1}} \int_{0}^{\infty}{e^{-u}u^{ (\alpha +1 ) -1}du} = \frac{1}{s^{ \alpha +1}} \Gamma ( \alpha + 1 ).$$

Portanto, $$ \mathscr{L} (t^{ \alpha}) = \frac{1}{s^{ \alpha +1}} \Gamma ( \alpha + 1 ), \;\;\; \alpha > -1.$$

EXEMPLO: Usando o exemplo anterior e sabendo que $$ \Gamma \left( \frac{1}{2} \right) = \sqrt{ \pi}, \;\;\; e \;\;\; \Gamma (n) = n!,$$ calcule as Transformadas de Laplace das funções: i) f(t) = t^{ n} , tal que n = 1,2,3,... ; ii) f(t) = t^{ 1/2} ; e iii) f(t) = t^{ -1/2} .

i) f(t) = t^{ n} , tal que n = 1,2,3,...

Usando o resultado anterior, fazendo \alpha = n = 1,2,3,... $$ \mathscr{L} (t^{ n}) = \frac{1}{s^{ n +1}} \Gamma ( n + 1 ) = \frac{1}{s^{ n +1}} (n+1)! = \frac{(n+1)!}{s^{ n +1}} .$$

ii) f(t) = t^{ 1/2} ;

Usando o resultado anterior e os primeiros exercícios, $$ \mathscr{L} (t^{ 1/2}) = \frac{1}{s^{ 1/2 +1}} \Gamma ( 1/2 + 1 ) = \frac{1}{s^{ 3/2}} \frac{1}{2} \Gamma (1/2) = \frac{1}{2s^{ 3/2}} \sqrt{ \pi} =  \frac{\sqrt{ \pi}}{2s^{ 3/2}}.$$

iii) f(t) = t^{ -1/2}

Novamente usando os exercícios anteriores, $$ \mathscr{L} (t^{ -1/2}) = \frac{1}{s^{ -1/2 +1}} \Gamma ( -1/2 + 1 ) = \frac{1}{s^{ 1/2}} \Gamma ( 1/2) = \frac{\sqrt{ \pi}}{s^{ 1/2}}.$$

Linearidade da Transformada de Laplace

A transformada de Laplace é um operador linear, ou seja, para quaisquer duas funções f(t) e g(t) cujas transformadas existem e quaisquer constantes a e b a transformada de af(t) + bg(t) existe e \mathscr{L}[af(t) + bg(t)]= a \mathscr{L}[f(t)] + b \mathscr{L}[g(t)].

EXEMPLO (Funções Hiperbólicas): Vamos usar a linearidade para encontrar as transformadas das funções hiperbólicas cosh(at) e senh(at).

Lembre-se que cosh(at) = \dfrac{1}{2}\left( e^{at} + e^{-at} \right) e senh(at) = \dfrac{1}{2}\left( e^{at} - e^{-at} \right).

Pelo teorema anterior \mathscr{L} (cosh(at)) = \dfrac{1}{2}\left( \mathscr{L} \left( e^{at} \right) + \mathscr{L} \left(e^{-at} \right) \right)

\mathscr{L} (senh(at)) = \dfrac{1}{2}\left( \mathscr{L} \left( e^{at} \right) - \mathscr{L} \left(e^{-at} \right) \right)

Já sabemos que \mathscr{L} \left( e^{at} \right) = \dfrac{1}{s-a}.

Por outro lado, \mathscr{L} \left( e^{-at} \right) = \int_{0}^{\infty}{e^{-at} e^{-st}dt}=\int_{0}^{\infty}{e^{(-a-s)t}dt}= \left[ -\dfrac{1}{a+s}e^{(a-s)t} \right] _{0}^{\infty} = \dfrac{1}{s+a}.

Portanto,

\mathscr{L} (cosh(at)) = \dfrac{1}{2}\left( \dfrac{1}{s-a} + \dfrac{1}{s+a} \right)=\dfrac{s}{s^2 - a^2}

\mathscr{L} (senh(at)) = \dfrac{1}{2}\left( \dfrac{1}{s-a} - \dfrac{1}{s+a} \right) = \dfrac{a}{s^2 - a^2}

Condições de Existência da Transformada de Laplace

Se f(t) é definida e seccionalmente contínua em cada intervalo limitado do semi-eixo t\geq 0 e satisfaz \left| f(t) \right| \leq M e^{kt}, para todo t \geq 0, onde M e k são constantes reais, então a transformada de Laplace \mathscr{L} (f) existe para todo s>k.

A condição \left| f(t) \right| \leq M e^{kt}, para todo t \geq 0, onde M e k são constantes reais é denominada restrição de crescimento.

Algumas Transformadas de Laplace básicas

Iremos listar algumas transformadas mais básicas. Para conferir uma tabela completa, basta conferir esse nosso artigo.

Em sua maioria, estas transformadas podem ser obtidas através das propriedades que já foram descritas acima.

Na fórmula 5, \Gamma(a+1) é conhecida como função gama que é definida por \Gamma(a+1) = \int_{0}^{\infty}{e^{-t}t^{a}dt}.

Deslocamento na frequência

Seja f(t) uma função cuja transformada de Laplace seja F(s) (onde s>k para algum k), então e^{at} f(t) possui transformada igual a F(s-a) (sendo s-a>k).

Ou seja,

1. \mathscr{L} (e^{at} f(t)) = F(s-a);
2. e^{at} f(t) = \mathscr{L} ^{-1} \left(F(s-a)\right).

EXEMPLO: Para exemplificar o uso do teorema acima vamos calcular as transformadas das funções f(t) = e^{at} \cos{(\omega t)} e g(t) = e^{at} \sin{(\omega t)}.

\mathscr{L} (e^{at} \cos{(\omega t)}) = \dfrac{s-a}{(s-a)^2 + \omega ^2}

\mathscr{L} (e^{at} \sin{(\omega t)}) = \dfrac{\omega}{(s-a)^2 + \omega ^2}

EXEMPLO: Calcule \mathscr{L} \left( 3t - 5sen(2t)  \right) usando:

a) A definição;

SOLUÇÃO: Pela definição da Transformada de Laplace encontramos:

$$\int_{0}^{ \infty}{\left( 3t – 5sen(2t)  \right) e^{-st} dt} = \int_{0}^{ \infty}{\left( 3t \right) e^{-st} dt} – \int_{0}^{ \infty}{\left(5sen(2t)  \right) e^{-st} dt} = $$ $$ = 3 \int_{0}^{ \infty}{t e^{-st} dt} – 5 \int_{0}^{ \infty}{sen(2t)) e^{-st} dt} = $$ $$ =3  \left[-\frac{\left( s\,t+1\right) \,{e}^{-s\,t}}{{s}^{2}} \right]_{0}^{ \infty} – 5  \left[ -\frac{{e}^{-s\,t}\,\left( s\,sen\left( 2\,t\right) +2\,\mathrm{cos}\left( 2\,t\right) \right) }{{s}^{2}+4}   \right]_{0}^{ \infty} =$$ $$ = 3 \frac{1}{s^2} \; – \; 5 \frac{2}{s^2 +4} = \frac{-7 s^2 + 12}{s^2 (s^2 +4)} ; \;\;\; s>0$$

b) A tabela de Transformadas de Laplace.

SOLUÇÃO: Pela propriedade da linearidade da Transformada de Laplace, podemos escrever $$ \mathscr{L} \left( 3t – 5sen(2t)  \right) = \mathscr{L} \left( 3t \right)  – \mathscr{L} \left( 5sen(2t)  \right) = \frac{3}{s^2} – \frac{2}{s^2+4} = \frac{-7 s^2 + 12}{s^2 (s^2 +4)} ; \;\;\; s>0 $$

EXEMPLO: Calcule \mathscr{L} \left( t e^{-2t} \right) usando:

a) A definição;

SOLUÇÃO: Pela definição da Transformada de Laplace encontramos:

$$\int_{0}^{ \infty}{\left( t e^{-2t} \right) e^{-st} dt} = \int_{0}^{ \infty}{ t  e^{-st-2t} dt} = $$ $$ = \left[ \frac{-te^{-(s+2)t}}{s+2} \right]_{0}^{ \infty} + \frac{1}{s+2} \int_{0}^{ \infty}{ e^{-st-2t} dt} = $$ $$ = \left[ \frac{-te^{-(s+2)t}}{s+2} \right]_{0}^{ \infty} = \frac{1}{(s+2)^2} ; \;\;\; s> -2.$$

b) A tabela de Transformadas de Laplace e a propriedade adequada.

SOLUÇÃO: Usando o deslocamento na frequência, como \mathscr{L} \left( t \right) = F(s) = \dfrac{1}{s^2} , então $$\mathscr{L} \left( t e^{-2t} \right) = F(s+2) = \frac{1}{(s+2)^2} .$$

Calculando a Transformada de Laplace Inversa

1) Vamos usar a fórmula da inversão dada no teorema acima e as fórmulas deduzidas no último exemplo para encontrar a inversa da transformada
\mathscr{L} (f) = \dfrac{3s-137}{s^2+2s+401}.

Primeiramente, olhamos para o denominador:

s^2 + 2s +401 = (s+1)^2 + 400 = (s+1)^2 + 20^2

Com essa estrutra de denominador, encaixamos nossa transformada nos itens 11 e 12 da nossa tabela de Transformadas de Laplace, com a=-1 e ω = 20.

Agora, olhamos para o numerador:

3s-137 = 3s+3 - 140 = 3(s+1) - 140.

Daí,

f(t) =  \mathscr{L}^{-1} \left( \dfrac{3s-137}{s^2+2s+401} \right)

f(t) =  \mathscr{L}^{-1} \left( \dfrac{3(s+1) - 140}{(s+1)^2 + 20^2}  \right)

f(t) =  \mathscr{L}^{-1} \left( \dfrac{3(s+1)}{(s+1)^2 + 20^2} \right) - \mathscr{L}^{-1} \left( \dfrac{140}{(s+1)^2 + 20^2} \right)  

f(t) =  3 \mathscr{L}^{-1} \left( \dfrac{(s+1)}{(s+1)^2 + 20^2} \right) - 7 \mathscr{L}^{-1} \left( \dfrac{20}{(s+1)^2 + 20^2}  \right) 

f(t) =  3 e^{-t}\cos{(20t)} - 7 e^{-t}\sin{(20t)}  

Mais: Confira uma video-aula com o conteúdo do artigo até aqui

A TRANSFORMADA DE LAPLACE DA DERIVADA

As transformadas das derivadas de primeira e segunda ordens de f(t) satisfazem
\mathscr{L}(f')  =  s \mathscr{L} (f)-f(0)
se f(t) é contínua para todo t \geq 0 , satisfaz a restrição de crescimento e se f'(t) é seccionalmente contínua em cada intervalo limitado do semi-eixo t \geq 0 . Analogamente,
\mathscr{L} (f'')  =  s^2 \mathscr{L} (f) - sf(0) - f'(0)
se f(t), f'(t) são contínuas para todo t \geq 0 , satisfazem a restrição de crescimento e se f''(t) é seccionalmente contínua em cada intervalo limitado do semi-eixo t \geq 0

EXEMPLO: Considere f(t) = \sin{(\omega t)}

Pelo afirmado acima,

  \mathscr{L}(f')  = s \mathscr{L} (f)-f(0)   

  \mathscr{L}(f')  =  s \dfrac{\omega}{s^2 + \omega ^2} - 0 

  \mathscr{L}(f')  =  \dfrac{s \omega}{s^2 + \omega ^2}

e ainda,

  \mathscr{L}(f')   = s^2 \mathscr{L} (f)-sf(0) - f'(0)  

  \mathscr{L}(f')   = s^2 \dfrac{\omega}{s^2 + \omega ^2} - 0 - \omega  

  \mathscr{L}(f')   =  \dfrac{s^2\omega}{s^2 + \omega ^2} - \omega 

A TRANSFORMADA DE LAPLACE DA INTEGRAL

Seja F(s) a transformada da função f(t), sendo f(t) seccionalmente contínua para t \geq 0 e que satisfaça a restrição de crescimento.

Então, para s>0, s>k e t>0,

1. \mathscr{L} \left\{ \int_{0}^{t}{f(\tau)d\tau} \right\}  =  \dfrac{1}{s} F(s)
2. \int_{0}^{t}{f(\tau)d\tau}  =  \mathscr{L}^{-1} \left\{ \dfrac{1}{s} F(s) \right\}

EXEMPLO: Encontre a transformada  de Laplace inversa de \dfrac{1}{s(s^2+\omega ^2)}.

Temos que

\mathscr{L}^{-1} \left( \dfrac{1}{s(s^2+\omega ^2)} \right) = \mathscr{L}^{-1} \left( \dfrac{1}{s}.\dfrac{1}{(s^2+\omega ^2)} \right)

Desta forma, F(s) = \dfrac{1}{s^2 + \omega ^2} = \dfrac{1}{w} \dfrac{\omega}{s^2 + \omega ^2}

Daí,

\mathscr{L}^{-1}(F(s)) = \dfrac{1}{w} \mathscr{L}^{-1}\left( \dfrac{\omega}{s^2 + \omega ^2} \right)= \dfrac{1}{w} \sin{(\omega t)}

Por fim,

\mathscr{L}^{-1} \left( \dfrac{1}{s(s^2+\omega ^2)} \right) = \mathscr{L}^{-1} \left( \dfrac{1}{s}.\dfrac{1}{(s^2+\omega ^2)} \right) = \mathscr{L}^{-1} \left( \dfrac{1}{s}.F(s) \right) = \int_{0}^{t}{\dfrac{1}{w} \sin{(\omega \tau)}d\tau}=

=\left( \dfrac{-1}{\omega} \dfrac{\cos{\tau \omega}}{\omega} \right)_{0}^{t} = \dfrac{1}{\omega ^2} - \dfrac{\cos{\omega t}}{\omega^2}

A TRANSFORMADA DE LAPLACE DA FUNÇÃO DEGRAU

A transformada de u(t-a) é dada por \mathscr{L}\{ u(t-a) \} = \int_{0}^{\infty}{e^{-st}u(t-a)dt} = \int_{0}^{a}{e^{-st}u(t-a)dt} +\int_{a}^{\infty}{e^{-st}u(t-a)dt} = =\int_{0}^{a}{e^{-st}.0dt} +\int_{a}^{\infty}{e^{-st}.1dt} = \int_{a}^{\infty}{e^{-st}dt}= \left( - \dfrac{e^{-st}}{s} \right) _{a}^{\infty}=\dfrac{e^{-sa}}{s}

Para uma função f definida para t\geq 0, considere a função g dada por

que representa a translação de f a uma distância a. Nos termos da função degrau unitáriopodemos escrever g(t) como g(t) = u(t-a)f(t-a).

A função degrau unitário é particularmente importante no uso das transformadas de Laplace por causa da relação entre f(t) e sua translação g(t) = u(t-a)f(t-a):

se \mathscr{L}\{ f(t) \} = F(s), então \mathscr{L}\{ f(t-a)u(t-a) \} = e^{-as} F(s). Consequentemente,  f(t-a)u(t-a) = \mathscr{L}^{-1} \{e^{-as} F(s) \}.

A TRANSFORMADA DE LAPLACE DA FUNÇÃO DELTA DE DIRAC

Fenomenos de natureza impulsiva aparecem em diversas aplicações da engenharia. Estes problemas podem ser modelados pela função conhecida como delta de Dirac.

Definimos a função Delta de Dirac, denotada por \delta (t-a), pelo limite \delta (t-a) = \lim_{k \rightarrow 0} f_k(t-a), ou seja, a função \delta (t-a) satisfaz as propriedades enunciadas acima.

Nos problemas é conveniente tratar a função delta de Dirac como se fosse uma função usual.

Para uma função contínua g(t) usamos a seguinte propriedade \int_{0}^{\infty}{g(t) \delta (t-a)dt} = g(a)

Para obter a transformada de \delta(t-a), escrevemos f_k(t-a) em temos da função degrau unitário:

f_k(t-a) = \dfrac{1}{k} \left[ u(t-a) - u(t-(a+k)) \right]

Daí, a transformada da função delta de Dirac será dada por

\mathscr{L} \left( \delta(t-a) \right) = \lim_{k \rightarrow 0 } \mathscr{L} \left({f_k (t-a)} \right) = e^{-as}

Por consequência, se a=0 então \mathscr{L} \left( \delta(t) \right) = 1.

A CONVOLUÇÃO

A convolução refere-se a um produto generalizado para resolvermos o seguinte problema: Sejam f e g duas funções que admitam transformadas dadas por \mathscr{L}(f) e \mathscr{L}(g) então, salvo em casos particulares, \mathscr{L}(f) \neq \mathscr{L}(f).\mathscr{L}(g). Veremos que \mathscr{L}(f).\mathscr{L}(g) é a transformada da Concolução de f e g que ainda precisa ser definida.

Se duas funções f e g satisfazem as condições de existência da trasformada de Laplace, e F e G sejam, respectivamente, suas transformadas, então o produto H=FG é a transformada da convolução de f e g. Ou seja, \mathscr{L}(f).\mathscr{L}(g) = \mathscr{L}(f*g), por consequência, \mathscr{L}^{-1}(F.G) = f*g .

EXEMPLO: Seja H(s) = \dfrac{1}{(s-a) s }. Encontre h(t).

Sabemos que \mathscr{L}^{-1}\left( \dfrac{1}{(s-a)} \right) = f(t) = e^{at} e \mathscr{L}^{-1}\left( \dfrac{1}{s} \right) = g(t) = 1.

Assim, como f(\tau) = e^{a \tau} e g(\tau-t) =1, obtemos

h(t) = e^{at} * 1 = \int_{0}^{t}{e^{a \tau}.1 d\tau} = \dfrac{1}{a} \left( e^{a \tau} \right)_{0}^{t} = \dfrac{1}{a} \left( \e^{a t} - 1\right)

Listas de Exercícios sobre Transformada de Laplace

• Transformada de Laplace | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Transformada de Laplace | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Transformada de Laplace | 3ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Transformada de Laplace | 4ª Lista de Exercícios Resolvidos

Leia Mais:

• A Convolução e a Transformada de Laplace
• O Delta de Dirac | Da definição à solução de Equações Diferenciais
• Função de Heaviside ou Degrau Unitário
• Solucionando EDO’s por Transformada de Laplace | Exercícios Resolvidos

Video-Aulas Sobre Transformada de Laplace: