O Limite de uma Sequência de Números Reais

Uma sequência é uma função f: \mathbb{N}\rightarrow \mathbb{R} cujo domínio é o conjunto dos números inteiros positivos $$\mathbb{N}={1,2,3,4,5,…}.$$ Uma sequência numérica é dita finita se ela tiver um último número, caso contrário ele é denominada infinita.

O LIMITE DE UMA SEQUÊNCIA

DEFINIÇÃO [Limite de Uma Sequência]: Uma sequência \left(a_n\right)_{n \in \mathbb{N}} possui limite L se para qualquer \varepsilon >0 existem um número natural N>0 tal que se n>N é um natural então |a_n - L|< \varepsilon. E neste caso, escrevemos $$\lim_{n\rightarrow \infty}{a_n}=L,\lim{a_n}=Loua_n \rightarrow L.$$ Uma sequência que possui limite é dita convergente. Uma sequência que não é convergente é dita divergente.

É importante entender a diferença entre sequência convergente e sequência limitada. Uma sequência convergente é aquela possui um limite e a sequência limitada é aquela cujos elementos podem ser colocados dentro de um intervalo limitado da reta. É fácil provar que toda sequência convergente é limitada, entretanto, nem toda sequência limitada é convergente. Logicamente, toda sequência finita é limitada.

EXEMPLO: Considere \left(a_n\right)_{n \in \mathbb{N}} = \left((-1)^n\right)_{n \in \mathbb{N}}. Note que o conjunto de elementos dessa sequência é dado por \{ -1, 1 \}, ou seja, esta sequência é limitada, pois \{ -1, 1 \} \subset (0,2). Entretanto, é possível mostrar que esta sequência não possui limite.

TEOREMA: \lim{\frac{1}{n}} = 0.

DEMONSTRAÇÃO: Vamos demonstrar esse teorema exemplificando o uso da definição do limite de uma sequência. De fato. Tome \varepsilon >0. Considere N como o primeiro número natural maior que \varepsilon. Desta forma, $$n>N \Rightarrow n>\varepsilon \Rightarrow \frac{1}{n}<\varepsilon \Rightarrow \left| \frac{1}{n} \right| < \varepsilon \Rightarrow \left| \frac{1}{n} – 0\right| < \varepsilon .$$ Portanto, pela definição, $$a_n \rightarrow 0.$$

O próximo resultado diz que, se uma seqüência for convergente, então o limite será único.

PROPOSIÇÃO: Seja \{x_n\} uma seqüência convergente. Se $$ \lim_{n\to \infty} x_n =\ell_1\qquad\textrm{e}\qquad\lim_{n\to \infty} x_n =\ell_2, $$ então \ell_1=\ell_2.

PROPOSIÇÃO: Toda seqüência convergente é limitada.

PROPOSIÇÃO: Seja \{x_n\} uma seqüência. Então \{x_n\} será convergente com limite 0 se, e somente se, \{|x_n|\} for convergente com limite 0.

OBSERVAÇÕES:

1. Note que, apesar de toda seqüência convergente ser limitada, nem toda seqüência limitada é convergente. Por exemplo, \{(-1)^n\} é limitada, mas não é convergente.
2. É possível mostrar que se \{x_n\} é convergente com limite \ell então \{|x_n|\} é convergente com limite |\ell| mas não é verdade que se \{|x_n|\} é convergente então \{x_n\} é convergente (basta ver o que ocorre com a seqüência \{(-1)\}^n).

EXEMPLO: Considere a seqüência \{r^n\}. Temos que

1. \{r^n\} é convergente com limite 0, se |\,r|<1;
2.  \{r^n\} é convergente com limite 1, se r=1;
3. \{r^n\} é divergente, se r=-1 ou |\,r|>1.

Propriedades do Limite de uma Sequência

Sejam \left(a_n\right)_{n \in \mathbb{N}} e \left(b_n\right)_{n \in \mathbb{N}} sequências convergentes

1. Toda sequência constante \left(a_n\right)_{n \in \mathbb{N}} = \left(c\right)_{n \in \mathbb{N}} é convergente e $$\left(c\right)_{n \in \mathbb{N}} \rightarrow c.$$
2. \lim{a_n \pm b_n} = \lim{a_n} \pm \lim{b_n}
3. \lim{a_n b_n} = \lim{a_n}\lim{b_n}
4. \lim{\frac{a_n}{b_n}} = \frac{\lim{a_n}}{\lim{b_n}} se b_n \neq 0, \forall n e se \lim{b_n} \neq 0.

EXEMPLO: Calcule o limite da sequência $$\left( \frac{n}{2n+1} \right)_{n \in \mathbb{N}}$$ Temos que $$\frac{n}{2n+1} = \frac{\frac{n}{n}}{\frac{2n+1}{n}} = \frac{1}{2+\frac{1}{n}} \rightarrow \frac{1}{2}.$$

EXEMPLO:  Mostre que, para quaisquer constantes k_1 e k_2 positivas, a seqüencia \left\{\dfrac{n+k_1}{n+k_2}\right\} é convergente com limite 1.

De fato, Para encontrarmos N, tentaremos resolver a inequação $$1-\varepsilon<\frac{n+k_1}{n+k_2}<1+\varepsilon$$ que diz que o N-ésimo elemento está próximo de 1 por uma distância menor do que \varepsilon. Temos $$(1-\varepsilon)(n+k_2)<n+k_1<(1+\varepsilon)(n+k_2)$$
$$n(1-\varepsilon)+k_2(1-\varepsilon)<n+k_1<n(1+\varepsilon)+k_2(1+\varepsilon)$$ isto é,
\begin{equation}\tag{1} n(-\varepsilon)+k_2(1-\varepsilon)<k_1<n\varepsilon+k_2(1+\varepsilon). \end{equation} Desenvolvendo a parte esquerda de (1), obtemos $$n(-\varepsilon)<k_1-k_2(1-\varepsilon),$$ ou seja, \begin{equation}\tag{2} n>\frac{k_1-k_2(1-\varepsilon)}{-\varepsilon}. \end{equation}

Desenvolvendo a parte direita de (1), obtemos $$ n\varepsilon>k_1-k_2(1+\varepsilon)$$ e, portanto, \begin{equation}\tag{3} n>\frac{k_1-k_2(1+\varepsilon)}{\varepsilon}. \end{equation} Estes resultados (2) e (3) indicam que podemos satisfazer a definição de convergência pegando um N natural que seja maior que ambos \dfrac{k_1-k_2(1-\varepsilon)}{-\varepsilon} e \dfrac{k_1-k_2(1+\varepsilon)}{\varepsilon}.

PROPOSIÇÃO: Se \{x_n\} for convergente com limite 0 e \{y_n\} for limitada, então \{x_ny_n\} será convergente com limite 0.

EXEMPLO: A seqüência \left\{\dfrac{1}{n}\cos{n}\right\} é convergente com limite 0.

PROPOSIÇÃO: Toda seqüência \{x_n\} crescente (respectivamente decrescente) e limitada é convergente com limite \sup\{x_n:n\in \mathbb{N}\} (resp. \inf\{x_n:n\in \mathbb{N}\}).

TEOREMA DO CONFRONTO PARA SEQUÊNCIAS: Sejam \{x_n\} e \{y_n\} duas seqüências convergentes com mesmo limite \ell. Se \{z_n\} é um seqüência tal que $$ x_n\leq z_n\leq y_n,\quad\forall\;n\in N, $$ então \{z_n\} é convergente com limite \ell.

Limite de Subsequências

Se \{x_n\} for uma seqüência convergente com limite \ell, então toda subseqüência de \{x_n\} será convergente com limite \ell. Este resultado é importante pois implica no seguinte critério negativo de convergência que é bastante utilizado, pois se uma seqüência possuir duas subseqüências convergentes com limites distintos, então a seqüência será divergente.

EXEMPLO: A seqüência \{(-1)^n\} é divergente. Afinal a subseqüência dos pares (ímpares) da seqüência \{(-1)^n\} é a seqüência constante \{1\} (respectivamente \{-1\}).

Limites Infinitos

Vamos considerar três tipos de as seqüências divergentes:

1. aquelas que divergem para +\infty,
2. aquelas que divergem para -\infty,
3. aquelas que são limitadas mas não são convergentes.

DEFINIÇÃO:

1. Diremos que uma seqüência \{x_n\} diverge para +\infty se, dado R>0, existir N\in \mathbb{N} tal que x_n > R, para todo n\geq N. Neste caso, escrevemos \lim_{n\to \infty}x_n=+\infty.
2. Diremos que uma seqüência \{x_n\} diverge para -\infty se, dado R>0 existir N\in \mathbb{N} tal que x_n < -R, para todo n\geq N. Neste caso, escrevemos \lim_{n\to\infty}x_n=-\infty.
3. Diremos que uma seqüência \{x_n\} oscila, se ela não for convergente e não divergir para +\infty ou para -\infty.

EXEMPLO: 

1. \{2^n\} diverge para +\infty, ou seja, \lim_{n\to \infty} 2^n= +\infty.
2. \{-n\} diverge para -\infty, ou seja, \lim_{n\to \infty} -n= -\infty
3. \{1+\text{ sen}{(n)}\} e \{(-2)^n\} oscilam.

INTRODUZINDO O LIMITE DE FUNÇÕES

Note que a definição de limite de uma sequência é muito similar à definição do limite de uma função com domínio real. O próximo teorema traz uma associação formal entre o limite de uma função com domínio em todo o conjunto real e o limite de uma sequência.

TEOREMA: Se \lim_{x \rightarrow +\infty}{f(x)} =L, e f esta definida para todo inteiro positivo, então se existe uma sequência \left(a_n\right)_{n \in \mathbb{N}} tal que a_n = f(n), então a_n \rightarrow L.

EXEMPLO: Vamos calcular o limite de algumas sequências \left(a_n\right)_{n \in \mathbb{N}}, tais que:

1) a_n = \frac{4n^2}{2n^2+1}

Temos que a_n = f(n) onde f(x) = \frac{4x^2}{2x^2+1}. Como $$\lim_{x \rightarrow +\infty}{\frac{4x^2}{2x^2+1}} =2$$ podemos conlcuir que $$a_n = \frac{4n^2}{2n^2+1} \rightarrow 2.$$

2) a_n = n\sin{\frac{\pi}{n}}

Note que a_n = f(n) onde f(x) = x\sin{\frac{\pi}{x}} que pode ser reescrita como $$f(x) = \frac{\sin{\frac{\pi}{x}}}{\frac{1}{x}}$$ cujo limite gera uma indeterminação \frac{0}{0}. Aplicando a regra de L’Hospital, ficamos com $$\lim_{x \rightarrow \infty}{f(x)} = \lim_{x \rightarrow \infty}{\frac{-\frac{\pi}{x^2} \cos{\frac{\pi}{x}} }{-\frac{1}{x^2}}} = \lim_{x \rightarrow \infty}{\pi \cos{\frac{\pi}{x}}} = \pi$$ Portanto, a_n = n\sin{\frac{\pi}{n}} \rightarrow \pi.

3) a_n = \frac{4n^3}{2n^2+1}\sin{\frac{\pi}{n}}

Note que $$a_n = \frac{4n^3}{2n^2+1}\sin{\frac{\pi}{n}} = \frac{4n^2}{2n^2+1}n\sin{\frac{\pi}{n}}.$$ Portanto, pelos cálculos do ítens anteriores e pela propriedade de limite, $$a_n \rightarrow 2\pi$$.

4) a_n = \frac{4n^3}{2n^2+1}

Neste caso a_n = f(n), onde f(x) = \frac{4x^3}{2x^2+1} e $$\lim_{x \rightarrow \infty}{\frac{4x^3}{2x^2+1}} = +\infty.$$ Logo a_n é divergente.

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