Séries Numéricas | Definição, Teoremas e Testes de Convergência

Desvendando as teorias por trás das séries numéricas! Neste post, ensinamos-lhe como trabalhar com as séries numéricas – tudo resumido em um guia extremamente prático.

Entender os mecanismos por trás das sequências e séries numéricas pode sem dúvida ser um exercício desafiador. Neste artigo, apresentamos-lhe um guia prático para calcular somas infinitas de números reais usando sequências e séries numéricas. Sequências e séries numéricas são fundamentais para a matemática e podem ser encontradas em diversas áreas, desde a física até a economia. Neste guia completo, você aprenderá a identificar padrões em sequências e a calcular somas infinitas em séries numéricas.

Uma parte importantíssima do Cálculo trata sobre a representação de funções como somas infinitas. Este estudo requer extender a operação familiar de adição de um conjunto finito de números à adição de uma infinidade de números. Para realizar tal estudo é necessário desenvolver um processo de cálculo do limite de uma sequência que se relacione com a série infinita.

Séries numéricas são somas infinitas de termos de uma sequência. Por exemplo, considere a sequência $$\left( \frac{1}{n}\right)_{n \in \mathbb{R}} = \left( 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, … \right).$$ Somando o primeiro com o segundo termo encontramos $$1 + \frac{1}{2} ,$$ que se adicionados ao terceiro termo fica $$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}.$$ Se efetuarmos tal procedimento para todos os infinitos termos da sequência obteremos a soma infinita $$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + … + \frac{1}{n}+…$$

A partir daí, questões naturais aparecem: Esta soma infinita converge para algum número? Se converge, qual o valor desta soma infinita? É o que tentaremos responder. É importante entender como calcular a soma de uma série numérica para resolver problemas matemáticos mais complexos. Existem várias técnicas para calcular somas de séries numéricas, incluindo a técnica de soma parcial e a técnica de comparação.

Séries Numéricas

As séries numéricas (também conhecidas como séries infinitas) consistem numa soma infinita de termos numéricos separados. Estes números podem ser inteiros, reais ou complexos, e a soma de todos os números da série é conhecida como a ‘soma’. As sequências numéricas são usadas para descrever uma variedade de processos matemáticos, físicos e químicos através do seu comportamento à medida que tanto convergem para um limite quanto divergem para o infinito.

Considere a sequência $$\left( a_n \right)_{n \in \mathbb{N}} = \left( a_1, a_2, a_3, …, a_n,… \right).$$ Vamos criar uma nova sequência $$\left( s_n \right)_{n \in \mathbb{N}},$$ a partir desta, dada por
\begin{eqnarray*}
s_1 & = & a_1\\
s_2 & = & a_1+a_2\\
s_3 & = & a_1 + a_2 + a_3\\
s_4 & = & a_1+a_2+a_3+a_4\\
& . & \\
& . & \\
& . & \\
s_n & = & a_1+a_2+a_3+a_4+…+a_n
\end{eqnarray*}

Esta sequência \left( s_n \right)_{n \in \mathbb{N}} é uma sequência de somas parciais.

DEFINIÇÃO [Série Infinita]

Se \left( a_n \right)_{n \in \mathbb{N}} é uma sequência e $$s_n = a_1+a_2+a_3+a_4+…+a_n,$$ então \left( s_n \right)_{n \in \mathbb{N}} é uma sequência de somas parciais denominada \textbf{série infinita} e denotada por $$\sum \limits_{n=1}^{+ \infty}{a_n} = a_1+a_2+a_3+a_4+…+a_n+…$$ Os números a_1, a_2,…,a_n são os termos da série infinita

EXEMPLO

Considere a sequência $$\left( \frac{1}{2^{n-1}} \right)_{n \in \mathbb{N}} = \left( 1, 1/2, 1/4, 1/8, …, 1/2^{n-1}… \right).$$

A partir desta sequência obtemos a sequência de somas parciais
\begin{eqnarray*}
s_1 & = & 1\\
s_2 & = & 1+1/2 = 3/2\\
s_3 & = & 1+ 1/2+1/4 = 7/4\\
s_4 & = & 1+ 1/2+1/4 + 1/8 = 15/8 \\
& . & \\
& . & \\
& . & \\
s_n & = & 1+ 1/2+1/4 + 1/8+…+1/2^{n-1}
\end{eqnarray*}

Esta sequência de somas parcias $$\left( s_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$$ é a série infinita denotada por $$\sum \limits_{n=1}^{+ \infty}{1/2^{n+1}} = 1+ 1/2+1/4 + 1/8+…+1/2^{n+1}+…$$

OBSERVAÇÃO

Quando \left( s_n \right)_{n \in \mathbb{N}} é uma sequência de somas parciais, então $$s_{n-1} = a_1+a_2+…+a_{n-1}.$$ Assim, $$s_n = s_{n-1}+a_n.$$

EXEMPLO

Considere a série infinita \sum \limits_{n=1}^{+ \infty}{\frac{1}{n(n+1)}}.

Os primeiros termos da sequência de somas parciais são
$$s_1 = 1/2 $$ $$s_2 = 2/3$$ $$s_3 = 3/4$$

Vamos determinar uma fórmula para s_n, neste caso.

Note que a_n = \frac{1}{n(n+1)} que por frações parciais nos dá $$a_n = \frac{1}{n} – \frac{1}{n+1}$$ Portanto,

$$s_n = \left( 1- \frac{1}{2} \right) + \left(\frac{1}{2} – \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} – \frac{1}{4} \right)+ … + \left( \frac{1}{n-1} – \frac{1}{n}\right)+ \left( \frac{1}{n} – \frac{1}{n+1}\right)$$

Ao eliminar os parentesis e reduzir os termos com sinais opostos, obtemos $$s_n = 1 – \frac{1}{n+1}.$$

DEFINIÇÃO[Soma de uma Série Infinita]

Considere que \sum \limits_{n=1}^{+ \infty}{a_n} denota uma série infinita para a qual a sequência \left( s_n \right)_{n \in \mathbb{N}} é a sequência de somas parciais.

Se esta sequência de somas parciais converge para um número real S, então a série é convergente e S é o valor da soma infinita.

Caso contrário, a série é divergente, ou seja, não possui uma soma.

EXEMPLO

Considere novamente a sequência $$\left( \frac{1}{2^{n-1}} \right)_{n \in \mathbb{N}} = \left( 1, 1/2, 1/4, 1/8, …, 1/2^{n-1}… \right).$$

Temos que $$s_n = 1+ 1/2+1/4 + 1/8+…+1/2^{n+1}$$ e $$s_n – \frac{1}{2}s_n= (1+ 1/2+1/4 + 1/8+…+1/2^{n-1}) – ( 1/2+1/4 + 1/8+…+1/2^{n-1}+ 1/2^n) = 1- \frac{1}{2^n}$$ o que nos leva à forma $$s_n = \frac{1-\frac{1}{2^n}}{\frac{1}{2}}$$

Logo, como s_n \rightarrow 2, podemos afirmar que $$\sum \limits_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{2^{n-1}}}=2$$

EXEMPLO

Considere a série infinita \sum \limits_{n=1}^{+ \infty}{\frac{1}{n(n+1)}}.

Sabemos que $$s_n = 1 – \frac{1}{n+1}$$ e que $$s_n \rightarrow 1.$$ Portanto, $$\sum \limits_{n=1}^{+ \infty}{\frac{1}{n(n+1)}}=1$$

TEOREMA

Se a série infinita \sum \limits_{n=1}^{+ \infty}{a_n} é convergente, então a_n \rightarrow 0.

Observe que o teorema acima garante apenas que a_n \rightarrow 0 se a série \sum \limits_{n=1}^{+ \infty}{a_n} converge.

Entretanto a volta do teorema não é verdade. O fato de termos a_n \rightarrow 0 não implica na convergência da série \sum \limits_{n=1}^{+ \infty}{a_n}.

Um exemplo deste fato é que 1/n \rightarrow 0, mas a série \sum \limits_{n=1}^{+ \infty}{1/n}, como veremos mais para frente, é divergente.

Podemos utilizar a contra-positiva do teorema para verificar se uma série é divergente:

COROLÁRIO

Se a_n \rightarrow L e L\neq 0, então a série infinita \sum \limits_{n=1}^{+ \infty}{a_n} é divergente.

Mas cuidado!

O fato de a_n \rightarrow 0 não implica que a serie \sum \limits_{n=1}^{+ \infty}{a_n} irá convergir.

EXEMPLO

Vamos verificar a convergência das séries abaixo.

1) \sum \limits_{n=1}^{+ \infty}{\frac{n^2+1}{n^2}} = 2+\frac{5}{4}+\frac{10}{9}+...

Temos que $$\frac{n^2+1}{n^2} \rightarrow 1 \neq 0.$$ Portanto, a série é divergente.

2) \sum \limits_{n=1}^{+ \infty}{3(-1)^{n+1}} = 3-3+3-3+3-3+...

Temos que $$\left( 3(-1)^{n+1} \right)_{n \in \mathbb{N}}$$ é uma sequência divergente. Portanto, a série é divergente.

A série harmônica

A série $$\sum \limits_{n=1}^{+ \infty}{\frac{1}{n}} = 1 + 1/2 +1/3+ 1/4 + …$$ é conhecida como série harmônica e esta série é divergente.

A série geométrica

Uma série na forma $$\sum \limits_{n=1}^{+ \infty}{ar^{n-1}} = a+ ar+ ar^2+…+ar^{n-1} + …$$ é denominada série geométrica.

TEOREMA

A série geométrica converge e a soma é dada por $$\frac{a}{1-r}$$ se |r|<1, e diverge se |r|\geq 1.

EXEMPLO

Vamos expressar a dízima 0,3333333333... como uma fração.

Note que $$0,33333…= \frac{3}{10}+ \frac{3}{100} + \frac{3}{1000} + … + \frac{3}{10^n}+ … = \sum \limits_{n=1}^{\infty}{\frac{3}{10}\frac{1}{10^{n-1}}}.$$ Como \frac{1}{10}<1, então esta série geométrica converge para $$\frac{\frac{3}{10}}{1-\frac{1}{10}}= \frac{1}{3}$$

Teoremas Sobre Convergência de Séries de Números Reais

TEOREMA

Seja c uma constante diferente de zero.

1. Se a série \sum \limits_{n=1}^{+ \infty}{a_n} é convergente e sua soma é S, então a série \sum \limits_{n=1}^{+ \infty}{c a_n} é, também convergente e sua soma é c.S.
2. Se a série \sum \limits_{n=1}^{+ \infty}{a_n} é divergente, então a série \sum \limits_{n=1}^{+ \infty}{c a_n} é, também divergente.

EXEMPLO

Determine se a série \sum \limits_{n=1}^{+ \infty}{\frac{1}{4n}} é convergente ou divergente.

Note que $$\sum \limits_{n=1}^{+ \infty}{\frac{1}{4n}}=\sum \limits_{n=1}^{+ \infty}{\frac{1}{4} \frac{1}{n}}.$$

Como \sum \limits_{n=1}^{+ \infty}{\frac{1}{n}} diverge (série harmônica), então \sum \limits_{n=1}^{+ \infty}{\frac{1}{4n}} diverge.

O próximo teorema trata da convergência da soma de séries infinitas.

TEOREMA

1) Se \sum \limits_{n=1}^{+ \infty}{a_n} e \sum \limits_{n=1}^{+ \infty}{b_n} são séries infinitas convergentes cujas somas são respectivamente S e T, então:

1. 1. \sum \limits_{n=1}^{+ \infty}{\left( a_n + b_n \right)} é uma série convergente e sua soma é S+T.
   2. \sum \limits_{n=1}^{+ \infty}{\left( a_n - b_n \right)} é uma série convergente e sua soma é S-T.

2) Se \sum \limits_{n=1}^{+ \infty}{a_n} ou \sum \limits_{n=1}^{+ \infty}{b_n} é uma série infinita divergentes, então \sum \limits_{n=1}^{+ \infty}{\left( a_n + b_n \right)} é uma série divergente.

EXEMPLO

Determine se a série $$\sum \limits_{n=1}^{\infty}{\left( \frac{1}{4n} + \frac{1}{4^n} \right)}$$

Temos que

• \sum \limits_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{4n}} é divergente, e
• \sum \limits_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{4^n}} é a série geométrica com r<1, portanto esta série converge.

Pelo teorema enunciado previamente, a série $$\sum \limits_{n=1}^{\infty}{\left( \frac{1}{4n} + \frac{1}{4^n} \right)}$$ é divergente

TEOREMA

Se \sum \limits_{n=1}^{+ \infty}{a_n} e \sum \limits_{n=1}^{+ \infty}{b_n} são séries infinitas que diferem unicamente por um número finito de termos, então as duas séries são convergentes ou ambas são divergentes.

EXEMPLO

Determine se a série $$\sum \limits_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n+4}}$$ converge ou diverge.

Observe que esta série é dada por $$\sum \limits_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n+4}} = \frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+…+\frac{1}{n+4}+…$$ e que ela difere apenas em quatro termos na série geométrica $$1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+…+\frac{1}{n}+…$$ que é divergente. Portanto, a série $$\sum \limits_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n+4}}$$ é divergente.

TEOREMA

Se \sum_{n=1}^{\infty}{u_n} é uma série convergente de termos positivos, então seus termos podem ser agrupados de qualquer maneira, de modo que a série resultante também será convergente e terá a mesma soma da série original.

Uma demonstração deste teorema pode ser encontrada no livro “Cálculo com Geometria analítica”, de Louis Leithold.

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