Solução de Equações Diferenciais Ordinárias por Séries de Potência

Neste artigo quero introduzir a técnica de solução das equações diferenciais ordinárias (E.D.O.) de 2ª ordem homogêneas através de séries de potências em torno de um ponto ordinário.

Sendo assim, vamos retornar ao nosso problema da EDO linear de segunda ordem homogênea $$y”+p(t)y’+q(t) y = 0,$$ com p(t)\;\;e\;\;q(t) contínuas em um intervalo \alpha <t < \beta.

A questão que se apresenta agora é relativa ao fato da EDO ter ou não soluções com representação em série de potências sempre.

Se na equação $$y” + p(x)y’+q(x)y = r(x)$$ os coeficientes p(x),q(x) e r(x) possuem representação em série de potência, então a EDO de segunda ordem possui uma solução em série de potência.

O Que é Uma Série de Potência?

As Séries de Potências são um caso particularmente importante das séries de funções, com inúmeras aplicações tanto teóricas como práticas.

Uma série de potências é uma série de funções dada por $$\sum_{n=0}^{\infty}{a_n (x-x_0)^n},$$ onde (a_n) é uma sequência de números reais.

Esse série de potências converge em um ponto x se o limite $$\lim_{x \rightarrow \infty}{\sum_{n=0}^{m}{a_n (x-x_0)^n}}$$ existe para esse x.

Daí, podemos concluir que:

• A série converge em x = x_0;
• A série pode convergir para alguns valores de x ou para todo x;
• A série pode não convergir.

Existem vários testes para verificar a convergência de séries de potências.

Um dos mais úteis é o chamado Teste de D’Alembert ou Teste da Razão.

Nosso interesse é escrever funções em forma de séries.

Os exemplos mais comuns de séries de potências são

$$
\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty}{x^n} = 1+x+x^2+… \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(x \neq 1)$$
$$
e^x = \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{x^n}{n!}} = 1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+…. $$
$$
\cos{x} = \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}} = 1- \frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-…. $$
$$
\sin{x} = \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}} = x- \frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-…. $$

$$
\frac{1}{1+x} = \sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^n x^n} = 1-x+x^2-… \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(|x|\neq 1)$$
$$
\frac{1}{1+x^2} = \sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^n x^{2n}} = 1-x^2+x^3-x^4+… \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(|x|<1)$$
$$
\log{(1+x)} = \sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^{n+1} \frac{x^{n}}{n}} = x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-…. $$
$$
\arctan{x} = \sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1}} = x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-…. $$

Uma função real f(x) é chamada de analítica num ponto x=x_0 se ela pode ser representada por uma série de potências de (x-x_0) com raio de convergência \rho >0.

Um tipo de série de potências são as chamadas séries de Taylor em torno de x=x_0, cujo a_n é dado por $$a_n = \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}.$$

Resolvendo EDOs por Séries de Potências.

Dada uma EDO $$y”+p(x)y’+r(x)y=0,$$ tais que p,q e r são analíticas no ponto x_0 , então a solução geral da EDO é $$y=\sum_{n=0}^{\infty}{a_n (x-x_0)^n} = a_0 y_1(x)+a_1 y_2(x)$$ onde a_0 e a_1 são arbitrários e y_1 e y_2 são soluções analíticas em x_0 que formam um conjunto fundamental de soluções cujo raio de convergência é ao menos o raio de convergência das séries de p e q.

Vamos descrever o procedimento uma EDO cuja solução conhecemos com o objetivo de ilustrar o método.

Vamos resolver a EDO $$y” + y = 0$$ utilizando as séries de potências.

Considere uma solução $$y = \sum_{n=0}^{\infty}{a_n x^n}.$$

Daí, $$y’ = \sum_{n=1}^{\infty}{n a_n x^{n-1}}$$ e $$y” = \sum_{n=2}^{\infty}{n(n-1) a_n x^{n-2}}$$ e substituindo estas derivadas na EDO obtemos $$\sum_{n=2}^{\infty}{n(n-1) a_n x^{n-2}} + \sum_{n=0}^{\infty}{a_n x^n} = 0.$$

Fazendo n = s + 2 na primeira série e m = s na segunda série obtemos:
$$\sum_{s=0}^{\infty}{(s+2)(s+1) a_{s+2} x^{s}} + \sum_{s=0}^{\infty}{a_s x^s} = 0 \Rightarrow $$ $$\Rightarrow \sum_{s=0}^{\infty}{(s+2)(s+1) a_{s+2} x^{s}} = -\sum_{s=0}^{\infty}{a_s x^s}=\sum_{s=0}^{\infty}{-a_s x^s}.$$

Para que duas séries sejam iguais cada potência x^s tem que ser acompanhada do mesmo coeficiente em ambos os lados. Portanto, $$(s+2)(s+1) a_{s+2} = -a_s \Rightarrow a_{s+2} = -\frac{a_s}{(s+2)(s+1)},$$ ou seja, obtemos uma fórmula de recorrência para os termos a_s que nos fornece:

$$\begin{array}{ccc}
a_2 = -\frac{a_0}{2.1}= -\frac{a_0}{2!} &\;\;\;\;\;\;\;\; & a_3 = -\frac{a_1}{3.2}= -\frac{a_1}{3!}\\
\\
a_4 = -\frac{a_2}{4.3}= -\frac{a_0}{4.3.2} = \frac{a_0}{4!} & & a_5 = -\frac{a_3}{5.4}= \frac{a_1}{5!}\\
\end{array}$$ e assim sucessivamente de modo que $a_0$ e $a_1$ sejam dadas de forma arbitrária. Desta forma:

\begin{eqnarray*}
y & = & a_0+a_1 x – \frac{a_0}{2!} x^2 – \frac{a_1}{3!}x^3 + \frac{a_0}{4!} x^4 + \frac{a_1}{5!} x^5 + …\\
\\
& = & a_0 \left( 1 – \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} – …\right) + a_1 \left( x – \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} – … \right)\\
\\
& = & a_0 \cos{x} + a_1 \sin{x}\\
\end{eqnarray*}

Listas de Exercícios Resolvidos Sobre E.D.O.’s e as Séries de Potências:

• E.D.O.’s e as Séries de Potências | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
• E.D.O.’s e as Séries de Potências | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos

Leia Mais:

• O que são Séries de Potências? Definição, Convergência e Exemplos.
• Solução de Equações Diferenciais Ordinárias por Séries de Potência
• Séries de Potências | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Equações Diferenciais Parciais | Uma Introdução aos Conceitos Básicos

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