Equações Diferenciais | Introdução aos Conceitos Básicos

Uma equação diferencial, grosso modo, é uma relação entre uma função e suas derivadas. Uma definição rigorosa do que é uma equação diferencial é dada da seguinte forma: Uma equação que contém as derivadas ou diferenciais de uma ou mais variáveis dependentes, em relação a uma ou mais variáveis independentes, é chamada de de equação diferencial.

Neste artigo queremos estabelecer as bases conceituais para o estudo das equações diferenciais, com vistas a uma análise abrangente, seja ela qualitativa ou quantitativa. Desta forma, esse artigo é essencial para quem quiser, ou precisar, mergulhar nas técnicas de solução das equações diferenciais.

A função é denominada variável dependente, enquanto suas variáveis são chamadas de independentes. No caso de uma equação diferencial ordinária, a variável y é conhecida como variável dependente e a variável t é denominada variável independente.

A notação da derivada para uma variável dependente y em função de uma variável independente t, em geral, é dada por \dfrac{dy}{dt} , y'(t ), ou ainda por, \dot{y}(t) .

São exemplos de equações diferenciais: \dfrac{dy}{dt}=3y^2sen(t+y) e \dfrac{d^3 y}{dt^3}= e^{-y}+t+\dfrac{d^2y}{dt^2}

Uma solução de uma equação diferencial é uma função contínua y(t) que satisfaça a relação entre a função e suas derivadas na equação.

Uma definição mais rigorosa pode ser dada abaixo: qualquer função y definida num intervalo I, que quando substituída na equação diferencial, reduz a equação a uma identidade, é chamada de solução para a equação diferencial no intervalo.

A existência desta solução é garantida, sob algumas condições, por teoremas de existência e unicidade. Além disso, você deve se acostumar com o fato de que uma dada equação diferencia geralmente possui um número infinito de soluções.

EXEMPLO: A função y(t)=2 sen(t)-\frac{1}{3} cos(2t) é solução da equação diferencial \dfrac{d^2y}{dt^2}+y= cos(2t). Para verificar isso, basta derivar y(t) duas vezes e substituir na equação diferencial. Você certamente irá encontrar a igualdade cos(2t) = cos(2t)..

As soluções das equações diferencias são divididas em duas classes: explícitas e implícitas. Diremos que a solução de uma equação diferencial é explícita quando sua variável independente pode ser determinada em função apenas das variáveis dependentes. Caso contrário, diremos que a solução é implícita.

Em geral, dada uma equação diferencial, existem infinitas soluções que a satisfazem. As equações diferenciais aparecem em muitas áreas da ciência de forma natural, pois escrevem algum processo físico denominado modelo matemático do processo. Dentre os modelos mais conhecidos estão:

1. Corpo em Queda Livre;
2. Sistema Massa-Mola;
3. Movimentos pendulares;
4. Circuitos Elétricos;
5. Lei de Esfriamento de Newton;
6. Drenagem;
7. Crescimento Populacional;
8. Sistemas Financeiros;

Classificação de Equações Diferenciais

1. Equações Diferenciais Ordinárias (EDO’s): São equações que dependem apenas de uma variável independente.

2. Equações Diferenciais Parciais (EDP’s): São equações que dependem de duas ou mais variáveis independentes, por consequência, suas derivadas são parciais.

3. Sistema de Equações Diferenciais: O número de funções desconhecidas determina o tipo de equação diferencial que temos. Se existem duas ou mais variáveis dependentes, precisamos de um sistema de equações diferenciais, que pode ser parciais ou ordinárias. Por exemplo, o sistema abaixo representa uma modelagem ecológica presa-predador.

\dfrac{dx}{dt}  = ax- \alpha x y

\dfrac{dy}{dt} = -cy+ \gamma x y

4. Ordem: A ordem de uma equação diferencial é a maior ordem da derivada que aparece na equação. Por exemplo, a equação \dfrac{dy}{dt}=3y^2sen(t+y) é de primeira ordem e a equação \dfrac{d^3 y}{dt^3}= e^{-y}+t+\dfrac{d^2y}{dt^2} é de terceira ordem.

5. Equações Lineares e Não Lineares: Uma equação diferencial é dita linear se é da forma a_0 (t) y^{(n)} + a_1 (t) y^{(n-1)} +...+a_n (t) y=g(t). Observe que as equações diferenciais lineares são caracterizadas por duas propriedades:

1. A variável dependente e todas as suas derivadas são do primeiro grau, ou seja, a potência de cada termo as envolvendo é igual a 1;
2. Cada coeficiente depende apenas apenas da variável independente.

Por outro lado, uma equação diferencial que não se encaixe neste formato é dita não-linear.

EXEMPLO: A equação diferencial y''' + 2e^t y''+ y' = t^4 é uma equação linear, porém a equação diferencial y''' + 2e^t y''+ yy' = t^4 é não-linear por causa do termo yy'.

EXEMPLO: Vamos classificar as equações diferencias abaixo:

1. t^2 \dfrac{d^2 y}{dt^2} +t \dfrac{dy}{dt} + 2y = sent é uma equação diferencial ordinária, linear e de segunda ordem.

2. \left( 1+y^2 \right) \dfrac{d^2y}{dt^2}+t \dfrac{dy}{dt} +y = e^t é uma equação diferencial ordinária, não-linear e de segunda ordem

3. t^2 y'+y = sec t é uma equação diferencial ordinária, linear e de primeira ordem.

4. \dfrac{\partial u}{\partial t}=K\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} é uma equação diferencial parcial, linear e de segunda ordem.

EXEMPLO: Verifique se a função y=3t+t^2 é solução da equação ty'-y=t^2.

Note que y' = 3+2t.

Logo,

ty'-y = t \left( 3+2t \right) - \left( 3t+t^2 \right) = t^2, ou seja, y(t) é solução da equação diferencial acima.

Plano de Fase

Plano de Fase ou Campo de Direções é uma ferramenta valiosa no estudo das soluções de equações diferenciais que consiste em um plano cartesiano onde são traçadas as trajetórias das soluções de uma equação ordinária que se inicia em algum ponto.

Estas trajetórias são obtidas através do campo vetorial gerado pelos vetores tangentes a cada ponto da trajetória.

Esta ferramenta se mostra muito eficaz pelo simples fato de não necessitar da solução da EDO para esboçá-lo, fazendo deste artifício uma das bases para o estudo das EDO’s não-lineares.

Um exemplo simples é o plano de fase da EDO ty'-y=t^2, onde esboçamos algumas trajetórias que representam algumas soluções desta equação diferencial.

Listas de Exercícios

• Introdução às Equações Diferenciais | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Introdução às Equações Diferenciais | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Introdução às Equações Diferenciais | 3ª Lista de Exercícios Resolvidos

Leia Mais:

• Equações Diferenciais Ordinárias de 1ª Ordem Separáveis.
• Solução de Equações Diferenciais Ordinárias por Séries de Potência
• Solucionando EDO’s por Transformada de Laplace | Exercícios Resolvidos
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