A Convolução na Transformada de Fourier
Neste artigo definimos a convolução e enunciamos o Teorema da Convolução para o produto das Transformadas de Fourier.
Teoria de Fourier
Nessa categoria desenvolvemos o conteúdo que envolve a teoria básica da Análise de Fourier. Ou seja, trabalhamos como a Série, a Integral e a Transformada de Fourier.
Além disso, trazemos soluções de equações que modelam fenômenos físicos importantes como as EDPs que controlam dissipação de calor, ondas e diversos outros fenômenos naturais.
Logo, estudar a teoria de Fourier é muito importante pela sua larga aplicação no campo da engenharia e das ciências. Até por isso, damos destaque aos exemplos e exercícios relativos a problemas de valores de contorno em equações diferenciais parciais.
Quem Foi Fourier?
Joseph Fourier foi um engenheiro francês, conhecido também como egiptólogo e administrador, que exerceu forte influência sobre física matemática através de sua Théorie analytique de la chaleur (1822;A Teoria Analítica do Calor ).
Ele mostrou como a condução de calor em corpos sólidos pode ser analisada em termos de séries matemáticas infinitas agora chamadas por seu nome, a Série de Fourier.
Transcendendo o assunto particular da condução de calor, seu trabalho estimulou a pesquisa em física matemática, que desde então tem sido frequentemente identificada com a solução de problemas de valor limite, abrangendo muitas ocorrências naturais, como manchas solares, marés e o clima.
Seu trabalho também teve grande influência na teoria das funções de uma variável real, um dos principais ramos da matemática moderna.
Em 21 de dezembro de 1807 Fourier anunciou à prestigiada Academia Francesa de Ciências que uma função arbitrária f(x) poderia ser expandida em uma série infinita de senos e cossenos.
Em suas pesquisas sobre a condução do calor, Fourier foi levado à notável descoberta destas séries trigonométricas e desde então as séries de Fourier, bem como suas generalizações imediatas paras as integrais de Fourier e séries ortogonais, tornaram-se parte essencial do cabedal de cientistas, engenheiros e matemáticos, quer do ponto de vista teórico, quer quanto às aplicações.
O anúncio de Fourier causou um alvoroço na Acadêmia, muitos de seus membros mais proeminentes como Lagrange encararam o fato como absurdo baseado no fato de que naquele tempo esta afirmação não podia ser fundamentada com o rigor matemático necessário.
De toda forma, vários matemáticos vieram desenvolvendo o que ficou conhecida como teoria das Séries de Fourier que várias obras foram publicadas sobre o assunto.
Somente recentemente, de fato, foi possível estabelecer critérios para a convergência das séries de Fourier sendo este resultado um dos mais importantes teoremas da matemática no século XX.
| Abaixo temos os tópicos sobre a TEORIA DE FOURIER abordados em sequência. Basta clicar nos links em azul para ser redirecionado ao conteúdo. Em cada artigo existe uma vídeo-aula auxiliar. |
Capítulo 1 – A Série de Fourier
1.2 – A Ortogonalidade das Funções Seno e Cosseno
1.3 – Os Coeficientes de Fourier
1.4 – Séries de Fourier – Definição, Exemplos e Condições de Dirichlet
1.4.1 – Séries de Fourier | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
1.4.2 – Séries de Fourier | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos
1.4.3 – Séries de Fourier | 3ª Lista de Exercícios Resolvidos
1.5 – Séries de Fourier – A Expansão em Meio Intervalo
1.5.1 – 1ª Lista de Exercícios Resolvidos sobre Expansão em Meio Intervalo
1.6 – Diferenciação e Integração da Série de Fourier
Capítulo 2 – A Integral de Fourier
2.1 – A Integral de Fourier – Fator Descontínuo de Dirichlet e Integrais de Laplace
2.1.1 – 1ª Lista de Exercícios Sobre a Integral de Fourier
2.1.2 – 2ª Lista de Exercícios Sobre a Integral de Fourier
Capítulo 3 – A Transformada de Fourier
3.1 – Transformada de Fourier | Introdução aos conceitos básicos
3.1.1 – Transformada de Fourier | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
3.1.2 – Transformada de Fourier | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos
3.1.3 – Transformada de Fourier | 3ª Lista de Exercícios Resolvidos.
3.2 – Transformadas Seno e Cosseno de Fourier
3.2.1 – Transformadas Seno e Cosseno de Fourier | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
3.3 – A Convolução e a Transformada de Fourier
3.6 – A Identidade de Parseval
Capítulo 4 – Aplicações da Teoria de Fourier
4.1 – Corda Vibrante Finita | A Equação da Onda Unidimensional
4.1.1 – 1ª Lista de Exercícios
4.1.1 – 2ª Lista de Exercícios
4.2 – A Equação da Onda numa Corda Unidimensional Infinita
4.2 – A Equação do Calor
4.2.1 – Resolvendo Equação do Calor Unidimensional numa Haste Finita Usando as Séries de Fourier
4.2.2 – Resolvendo A Equação do Calor Numa Haste Infinita Usando a Transformada de Fourier
4.2. 3 – Resolvendo a Equação do Calor Numa Haste Semi-Infinita Usando a Integral de Fourier
4.2. 4 – Resolvendo a Equação do Calor Numa Chapa Semi-Infinita Usando a Transformada Cosseno de Fourier
Apêndice – Funções Especiais
A.2 A Função Gama
A.2.1 Função Gama | Lista de Exercícios Resolvidos
A.4 A Função Beta | Definição, Propriedades e Exercícios Resolvidos
Bibliografia
O site Matemática Simplificada foi criado com o intuito de auxiliar no estudo e no aprendizado da matemática, desde os tópicos mais básicos até os conteúdos das disciplinas usualmente tratadas nas graduações que envolvem ciências exatas.
Grande parte do conteúdo aqui apresentado é retirado de livros usados como livros-texto nos cursos de graduação e selecionado à partir das ementas destes mesmos cursos.
Abaixo seguem os títulos usados como base para os nossos artigos desta disciplina.
GUIDORIZZI, H.L. Um curso de cálculo: Vol 1, 2,3 e 4. Rio de Janeiro: LTC, 2001.
ÁVILA, G. Variáveis Complexas e Aplicações, LTC, Rio de Janeiro,1990
BRAUN, M. Equações Diferenciais e suas Aplicações, Editora Campus, Rio de Janeiro, 1979.
THOMAS, G. B. Cálculo, Editora Pearson Education, São Paulo, 2002.
ZILL, D. G. Equações Diferenciais com Aplicações em Modelagem, Editora Pioneira –
Thomson Learning, São Paulo, 2003.
SPIEGEL, M. R. Análise de Fourier, McGraw-Hill, São Paulo, 1976.
KREYSZIG, E. Advanced Engineering Mathematics, John Wiley & Song, Inc., 8th Edition, 1999.
As Transformadas Seno e Cosseno de Fourier
Neste artigo estudamos as Transformadas Seno e Cosseno de Fourier definidas pelas partes imaginária e real da Transformada de Fourier
Séries de Fourier | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos
Neste artigo temos uma 2ª lista de exercícios resolvidos sobre as Séries de Fourier, Coeficientes de Fourier e Condições de Dirichlet.
Como Calcular os Coeficientes de Fourier? | Séries de Fourier
Nesse artigo, deduzimos a fórmula dos coeficientes de Fourier que aparecem nas expansões em série de Fourier de funções periódicas.
Série de Fourier | História, Definição e Condições de Convergência.
Nesse artigo exploramos a definição da Séries de Fourier e as Condições de Dirichlet para sua convergência, além de um exercício resolvido.
Transformada de Fourier | Uma Introdução aos Conceitos Básicos
Nesse artigo apresentamos o conceito da Transformada de Fourier, bem como suas Transformadas Seno e Cosseno, e resolvemos uma EDP.
Séries de Fourier | Ortogonalidade das Funções Seno e Cosseno
Nesse artigo focamos na ortogonalidade das funções seno e cosseno com vistas à aplicação no cálculo dos coeficientes de Fourier.