Equação da Onda Unidimensional | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos

Neste artigo queremos apresentar uma segunda lista de exercícios resolvidos sobra a equação da onda unidimensional, que se aplica às pequenas vibrações transversais de uma corda flexível, fixa nas extremidades, tensa, tal como a corda de uma guitarra, ou um violino.

As vibrações de uma corda elástica são governadas pelo PVIC: $$\frac{\partial ^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}; $$ $$u(0,t) = 0; \qquad  u(l,t) = 0, \forall t;$$ $$u(x,0) = f(x); \qquad \frac{\partial u}{\partial t} (x,0) = g(x) $$

A função u(x,t) é o deslocamento de um ponto arbitrário x da corda no instante t . A constante c^2 = \dfrac{ \tau}{\mu} ; onde \tau é a tensão (constante) da corda e \mu é a massa (constante) por unidade de comprimento da corda.

A solução é dada por $$u(x,t) = \sum _{n=0}^{\infty}{\left[ B_n C_n \cos{q_n t} \sin{\left( \frac{n \pi}{l} x \right)}+ B_n D_n \sin{q_nt}\sin{\left( \frac{n \pi}{l} x \right)} \right]} $$ onde $$B_n C_n = \frac{2}{l} \int \limits _{0}^{l}{f(x) \sin{\frac{n \pi x}{l}}dx}$$ $$q B_n D_n = \frac{2}{l} \int \limits _{0}^{l}{g(x) \sin{\frac{n \pi x}{l}}dx} \Leftrightarrow $$ $$ \Leftrightarrow B_n D_n = \frac{2}{c n \pi} \int \limits _{0}^{l}{g(x) \sin{\frac{n \pi x}{l}}dx}$$

Equação da Onda Unidimensional – 2ª Lista de Exercícios Resolvidos

1) Uma corda de comprimento L está inicialmente esticada na posição horizontal, ou seja, u_0 (x) = u(x,0) = 0. Além disso, as suas extremidades permanecem fixas para todo instante de tempo t (isso significa que u(0,t) = u(L,t) = 0). No instante t=0, os seus pontos se movimentam com velocidade v_0(x) = \dfrac{\partial u}{\partial t}(x,0), como indicado na figura abaixo. Determine a função u(x,t) que descreve a forma da corda em instante t qualquer, isto é, encontre o deslocamento u(x,t) como uma função de x e t na forma de uma série infinita.

SOLUÇÃO: Primeiramente vamos determinar a função v_0 (x) , que é a onda triangular com base igual a L e altura igual a h . Note que ambos os segmentos, crescente (do ponto (0,0) a (L/2, h) ) e decrescente (do ponto (L/2,h) a (L, 0) ) podems ser encontrados usando uma equação da reta, dada por $$y- y_0 = m(x-x_0 ) \Leftrightarrow y = a x + b .$$

Assim, o segmento crescente é dado por $$ y = \frac{2h}{L}; \qquad 0 \leq x \leq \frac{L}{2}$$ e o segmento decrescente é dado por $$ y = 2h \left( 1 – \frac{x}{L} \right); \qquad \frac{L}{2} \leq x \leq L .$$ Portanto, $$v_0(x) = \left\{ \begin{array}{rll} \frac{2h}{L} & ; & 0 \leq x \leq \frac{L}{2} \\ 2h \left( 1 – \frac{x}{L} \right) & ; & \frac{L}{2} \leq x \leq L \end{array} \right. $$

Agora, queremos resolver o problema $$ \frac{\partial ^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2}$$ $$ u(0,t) = u(L,t)= 0 $$ $$ u_0 (x) = u(x,0) = 0 $$ $$ \frac{\partial u}{\partial t} (x,0) = v_0(x) = \left\{ \begin{array}{rll} \frac{2h}{L} & ; & 0 \leq x \leq \frac{L}{2} \\ 2h \left( 1 – \frac{x}{L} \right) & ; & \frac{L}{2} \leq x \leq L \end{array} \right. $$

Usando o método da separação das variáveis para resolver a equação da Onda, encontramos como solução deste problema  $$u(x,t) = \sum _{n=0}^{\infty}{\left[ B_n C_n \cos{q_n t} \text{sen}{\left( \frac{n \pi}{L} x \right)}+ B_n D_n \text{sen}{q_nt}\text{sen}{\left( \frac{n \pi}{L} x \right)} \right]} $$ onde q_n = \dfrac{cn \pi}{L} e $$B_n C_n = \frac{2}{L} \int \limits _{0}^{L}{u_0 (x) \text{sen}{\frac{n \pi x}{L}}dx} = 0$$ $$ B_n D_n = \frac{2}{c n \pi} \int \limits _{0}^{L}{v_0 (x) \text{sen}{\frac{n \pi x}{L}}dx} = \\ =  \frac{2}{c n \pi} \left[  \int\limits_{0}^{L/2}{\frac{2h}{L} \text{sen}{\frac{n \pi x}{L}}dx} +  \int\limits^{L}_{L/2}{2h \left( 1 – \frac{x}{L} \right) \text{sen}{\frac{n \pi x}{L}}dx} \right].$$

Usando integrações por partes encontramos que $$ B_n D_n = \frac{2}{c n \pi}  \left[ \frac{2h}{L} \frac{L^2}{n^2 \pi ^2} \text{sen}{\frac{n \pi }{2}} – 2h \left( -\frac{1}{L} \text{sen}{\frac{n \pi}{2}} \right) \right]=\\ = \frac{2}{c n \pi} \frac{4hL}{n^2 \pi ^2} \text{sen}{\frac{n \pi}{2}}  = \frac{8hL}{c n^3 \pi ^3} \text{sen}{\frac{n \pi}{2}}.$$

Ou seja, $$u(x,t) = \sum _{n=0}^{\infty}{\frac{8hL}{c n^3 \pi ^3} \text{sen}{\left( \frac{n \pi}{2} \right)} \text{sen}{\left( \frac{cn \pi}{L} t \right)}\text{sen}{\left( \frac{n \pi}{L} x \right)}} $$

Como \text{sen}{\frac{n \pi}{2}} = 0  para todo n par e \pm 1 para todo n ímpar, então temos que $$ B_n D_n = \frac{8hL}{c n^3 \pi ^3} \text{sen}{\frac{n \pi}{2}} = (-1)^{k} \frac{8hL}{c (2k+1)^3 \pi ^3}, \qquad k=0,1,2,3,4.$$

Portanto, $$u(x,t) = \sum _{k=0}^{\infty}{ (-1)^{k} \frac{8hL}{c (2k+1)^3 \pi ^3} \text{sen}{\left( \frac{c(2k+1) \pi}{L} t \right)}\text{sen}{\left( \frac{(2k+1) \pi}{L} x \right)}} .$$

2) Encontre a deflexão u(x,t) da corda vibrante de tamanho L = \pi e c=1, com velocidade inicial igual a zero e deflexão inicial dada por f(x) = \dfrac{1}{100} x ( \pi - x) .

SOLUÇÃO: Neste caso, como a corda tem tamanho limitado a L = \pi podemos usar o método da separação das variáveis para resolver a equação da Onda, $$ \frac{\partial ^2 u}{\partial t^2} = \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2}$$ $$ u(0,t) = u( \pi ,t)= 0 $$ $$ u(x,0) = f(x) =  \frac{1}{100} x ( \pi – x)$$ $$ v_0 (x) = \frac{\partial u}{\partial t} (x,0) = 0$$ que nos dá a solução $$u(x,t) = \sum _{n=0}^{\infty}{\left[ B_n C_n \cos{q_n t} \text{sen}{\left( n x \right)}+ B_n D_n \text{sen}{q_nt}\text{sen}{\left( n x \right)} \right]} $$ onde q_n = \dfrac{cn \pi}{L} = n e $$B_n C_n = \frac{2}{\pi} \int \limits _{0}^{\pi}{f(x) \text{sen}{n x}dx}$$ $$ B_n D_n = \frac{2}{n \pi} \int \limits _{0}^{\pi}{v_0 (x) \text{sen}{nx}dx} = 0$$

Ou seja,  $$u(x,t) = \sum _{n=0}^{\infty}{ B_n C_n \cos{(n t)} \text{sen}{\left( n x \right)}} .$$ Agora, observe que $$B_n C_n = \frac{2}{\pi} \int \limits _{0}^{\pi}{ \frac{1}{100} x ( \pi – x) \text{sen}{n x}dx} = \\ = \left[  -\frac{\left( 2\,n\,x-\pi \,n\right) \,\mathrm{sin}\left( n\,x\right) +\left( -{n}^{2}\,{x}^{2}+\pi \,{n}^{2}\,x+2\right) \,\mathrm{cos}\left( n\,x\right) }{50\,\pi \,{n}^{3}}  \right]_{0}^{\pi} = \\ = \frac{-\pi \,n\,\mathrm{sin}\left( \pi \,n\right) -2\,\mathrm{cos}\left( \pi \,n\right) }{50\,\pi \,{n}^{3}}+\frac{1}{25\,\pi \,{n}^{3}}.$$

Como $$ \mathrm{sin}\left( \pi \,n\right) = 0 , \forall n= 0,1,2,3,… \\ \mathrm{cos}\left( \pi \,n\right) = (-1)^n , \forall n= 0,1,2,3,…$$ então $$B_n C_n =\frac{1}{25 \pi\,{n}^{3}}-\frac{\mathrm{cos}\left( \pi \,n\right) }{25 \pi \,{n}^{3}} = \frac{1}{25 \pi\,{n}^{3}}-\frac{ (-1)^n }{25 \pi \,{n}^{3}} = \left\{ \begin{array}{lll} 0&;& \text{se n é par}\\ \frac{2}{25 \pi\,{n}^{3}}&;& \text{se n é ímpar} \end{array} \right.$$ Ou seja, $$B_{2n} C_{2n} = 0 \qquad B_{2n-1} C_{2n-1} = \frac{2}{25 \pi\,{(2n-1)}^{3}}$$ Portanto, $$u(x,t) = \frac{2}{25 \pi}\sum _{n=0}^{\infty}{ \frac{1}{{(2n-1)}^{3}} \cos{([2n-1] t)} \text{sen}{\left( [2n-1] x \right)}} .$$

3) Encontre a solução do problema da corda vibrante dado por $$ \frac{\partial ^2 u}{\partial t^2} = 4 \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} \qquad 0 < x < \pi , t>0 $$ $$u(0,t) = u( \pi , t) =0; \qquad t\geq 0$$ $$u(x,0) = \text{sen}(3x) – 4\text{sen}(10x); \qquad 0 \leq x \leq \pi $$ $$\frac{\partial u}{\partial t} (x,0) = 2 \text{sen}(4x) + \text{sen}(6x); \qquad 0 \leq x \leq \pi $$

SOLUÇÃO: Neste caso, como a corda tem tamanho limitado a L = \pi podemos usar o método da separação das variáveis para resolver a equação da Onda, $$ \frac{\partial ^2 u}{\partial t^2} = 4 \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2}$$ $$u(0,t) = u( \pi , t) =0; \qquad t\geq 0$$ $$u(x,0) = \text{sen}(3x) – 4\text{sen}(10x); \qquad 0 \leq x \leq \pi $$ $$\frac{\partial u}{\partial t} (x,0) = 2 \text{sen}(4x) + \text{sen}(6x); \qquad 0 \leq x \leq \pi $$

que nos dá a solução $$u(x,t) = \sum _{n=1}^{\infty}{\left[ B_n C_n \cos{q_n t} \text{sen}{\left( n x \right)}+ B_n D_n \text{sen}{q_nt}\text{sen}{\left( n x \right)} \right]} $$ onde q_n = \dfrac{2 n \pi}{L} = 2n.

Porém, neste caso, podemos proceder de uma forma mais inteligente, observando que $$u(x,0) = \text{sen}(3x) – 4\text{sen}(10x) = \sum\limits_{n=1}^{\infty}{B_n C_n \text{sen}{\left( n x \right)}}.$$ Logo, igualando os coeficientes semelhantes, vemos que $$a_3 = 1, \qquad a_{10} = -4$$ e os a_n restantes são zero.

De modo semelhante, $$\frac{\partial u}{\partial t} (x,0) = 2 \text{sen}(4x) + \text{sen}(6x) = \sum _{n=1}^{\infty}{ 2n B_n D_n \text{sen}{\left( n x \right)}}$$ e comparando os coeficientes encontramos que $$ 2 = 4 \times 2 \times b_4 \Leftrightarrow b_4 = \frac{1}{4}$$ $$ 1 = 6 \times 2 \times b_6 \Leftrightarrow b_6 = \frac{1}{12}$$ e os b_n restantes são todos zero.

Logo, a solução deste problema é $$u(x,t) = \text{cos}(6 t) \text{sen}{\left( 3 x \right)}+ \frac{1}{4} \text{sen}(8t) \text{sen}{\left( 4 x \right)} + \frac{1}{12} \text{sen}(12 t) \text{sen}{\left( 6 x \right)}- 4 \text{cos}(20t) \text{sen}{\left( 10 x \right)}.$$

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