Transformada de Laplace

Nessa categoria desenvolvemos o conteúdo que envolve a teoria básica e aplicações da transformada de Laplace. Além disso, trazemos soluções de equações que modelam fenômenos físicos importantes como as EDOs que governam circuitos elétricos e sistemas mecânicos, além de EDPs que controlam dissipação de calor, ondas e diversos outros fenômenos naturais.

O Que é a Transformada de Laplace?

A transformada de Laplace é uma transformada integral talvez perdendo apenas para a transformada de Fourier em sua utilidade na resolução de problemas físicos.

A transformada de Laplace é particularmente útil na resolução de equações diferenciais ordinárias lineares , como as que surgem na análise de circuitos eletrônicos.

A Definição da Transformada de Laplace

Se $f(t)$ é uma função definida para todo $t \geq 0$ , sua Transformada de Laplace é uma função na variável $s$ , chamada de $F(s)$ e denotada por $\mathscr{L} (f)$ é dada pela integral $F(s) = \mathscr{L} (f) = \int_{0}^{\infty}{e^{-st}f(t)dt} = \lim_{T \rightarrow \infty}{\int_{0}^{T}{e^{-st}f(t)dt}}.$ A função dada $f(t)$ é denominada de transformada inversa de $F(s)$ e é denotada por $\mathscr{L}^{-1} (F)$ , ou seja, $f(t) = \mathscr{L}^{-1} (F(s)).$

O Cálculo Operacional

O método da Transformada de Laplace é uma ferramenta muito poderosa na solução de EDO’s lineares e PVI’s correspondentes que pode ser resumido em três passos:

a EDO dada é transformada em uma equação algébrica;
esta equação é solucionada por manipulações algébricas; e
a solução obtida no item 2 é transformada de volta obtendo a solução do problema original dado.

Esta comutação do cálculo para a álgebra é chamada de Cálculo Operacional.

Abaixo temos os tópicos sobre a TRANSFORMADA DE LAPLACE abordados em sequência. Basta clicar nos links em azul para ser redirecionado ao conteúdo. Em cada um deles existe uma vídeo-aula disponível

1 – A Transformada de Laplace

1.1 – Transformada de Laplace – Definição, exemplos e propriedades

1.1.1 – Transformada de Laplace | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos

1.1.2 – Transformada de Laplace | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos

1.1.3 – Transformada de Laplace | 3ª Lista de Exercícios Resolvidos

1.1.4 – Transformada de Laplace | 4ª Lista de Exercícios Resolvidos

1.1.5 – Transformada de Laplace | 5ª Lista de Exercícios Resolvidos

1.1.6 – Transformada de Laplace | 6ª Lista de Exercícios Resolvidos

1.2 – A Transformada de Laplace Inversa

1.2.1 – Transformada de Laplace Inversa | Lista de Exercícios Resolvidos

1.3 – Tabela Completa de Transformadas de Laplace

1.4 – A Função Degrau ou Função de Heaviside

1.4.1 – Função Degrau Unitário | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos

1.4.2 – Função Degrau Unitário | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos

1.5 – A Função Delta de Dirac

1.5.1 – Lista de Exercícios sobre Delta de Dirac

1.6 – A Convolução

1.6.1 – Equação Integral de Volterra

1.6.2 – A Convolução – Lista de Exercícios Resolvidos

1.7 – Propriedade da Derivada de F(s)

1.8 – Transformada de Laplace de Uma Função Periódica

2 – Resolvendo E.D.O’s Lineares Via Transformada de Laplace

2.1 – Solucionando Equações Diferenciais Ordinárias via Transformada de Laplace

2.1.1 – Resolvendo EDO’s por Laplace | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos

2.1.2 – Resolvendo EDO’s por Laplace | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos

2.1.3 – Resolvendo EDO’s por Laplace | 3ª Lista de Exercícios Resolvidos

2.1.4 – Resolvendo EDO’s por Laplace | 4ª Lista de Exercícios Resolvidos

2.1.5 – Resolvendo EDO’s por Laplace | 5ª Lista de Exercícios Resolvidos

2.1.6 – Resolvendo EDO’s por Laplace | 6ª Lista de Exercícios Resolvidos

2.1.7 – Resolvendo EDO’s por Laplace | 7ª Lista de Exercícios Resolvidos

2.1.8 – Resolvendo EDO’s por Laplace | 8ª Lista de Exercícios Resolvidos

2.1.9 – Resolvendo EDO’s por Laplace | 9ª Lista de Exercícios Resolvidos

2.1.10 – Resolvendo EDO’s por Laplace | 10ª Lista de Exercícios Resolvidos

2.1.11 – Resolvendo EDO’s por Laplace | 11ª Lista de Exercícios Resolvidos

2.1.12 – Resolvendo EDO’s por Laplace | 12ª Lista de Exercícios Resolvidos

2.1.13 – Resolvendo EDO’s por Laplace | 13ª Lista de Exercícios Resolvidos

2.1.14 – Resolvendo EDO’s por Laplace | 14ª Lista de Exercícios Resolvidos

5.9.15 – Resolvendo EDOs por Laplace | 15ª Lista de Exercícios Resolvidos

2 .2 – Transformada de Laplace | Sistema Linear de Equações Diferenciais de 1ª Ordem com Coeficientes Constantes

3 – Aplicações da Transformada de Laplace

3.1 – Circuitos Elétricos em Série

3.2 – Equação Integral de Volterra | Convolução e Transformada de Laplace

3.3 – A Solução da Equação da Onda Unidimensional Usando a Transformada de Laplace

Bibliografia

O site Matemática Simplificada foi criado com o intuito de auxiliar no estudo e no aprendizado da matemática, desde os tópicos mais básicos até os conteúdos das disciplinas usualmente tratadas nas graduações que envolvem ciências exatas.

Grande parte do conteúdo aqui apresentado é retirado de livros usados como livros-texto nos cursos de graduação e selecionado à partir das ementas destes mesmos cursos.

Abaixo seguem os títulos usados como base para os nossos artigos desta disciplina.

GUIDORIZZI, H.L. Um curso de cálculo: Vol 1, 2,3 e 4. Rio de Janeiro: LTC, 2001.

ÁVILA, G. Variáveis Complexas e Aplicações, LTC, Rio de Janeiro,1990

BOYCE, W.; DIPRIMA R. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno, LTC, Rio de Janeiro,2002

BRAUN, M. Equações Diferenciais e suas Aplicações, Editora Campus, Rio de Janeiro, 1979.

EDWARDS, C. H.; PENNEY, D. E. Equações Diferenciais Elementares com Problemas de Contorno, LTC, Rio de Janeiro,1995.

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KREYSZIG, E. Advanced Engineering Mathematics, John Wiley & Song, Inc., 8th Edition, 1999.