Transformada de Laplace

Nessa categoria desenvolvemos o conteúdo que envolve a teoria básica e aplicações da transformada de Laplace. Além disso, trazemos soluções de equações que modelam fenômenos físicos importantes como as EDOs que governam circuitos elétricos e sistemas mecânicos, além de EDPs que controlam dissipação de calor, ondas e diversos outros fenômenos naturais.

O Que é a Transformada de Laplace?

A transformada de Laplace é uma transformada integral talvez perdendo apenas para a transformada de Fourier em sua utilidade na resolução de problemas físicos.

A transformada de Laplace é particularmente útil na resolução de equações diferenciais ordinárias lineares , como as que surgem na análise de circuitos eletrônicos.

A Definição da Transformada de Laplace

Se $f(t)$ é uma função definida para todo $t \geq 0$ , sua Transformada de Laplace é uma função na variável $s$ , chamada de $F(s)$ e denotada por $\mathscr{L} (f)$ é dada pela integral $F(s) = \mathscr{L} (f) = \int_{0}^{\infty}{e^{-st}f(t)dt} = \lim_{T \rightarrow \infty}{\int_{0}^{T}{e^{-st}f(t)dt}}.$ A função dada $f(t)$ é denominada de transformada inversa de $F(s)$ e é denotada por $\mathscr{L}^{-1} (F)$ , ou seja, $f(t) = \mathscr{L}^{-1} (F(s)).$

O Cálculo Operacional

O método da Transformada de Laplace é uma ferramenta muito poderosa na solução de EDO’s lineares e PVI’s correspondentes que pode ser resumido em três passos:

a EDO dada é transformada em uma equação algébrica;
esta equação é solucionada por manipulações algébricas; e
a solução obtida no item 2 é transformada de volta obtendo a solução do problema original dado.

Esta comutação do cálculo para a álgebra é chamada de Cálculo Operacional.

Abaixo temos os tópicos sobre a TRANSFORMADA DE LAPLACE abordados em sequência. Basta clicar nos links em azul para ser redirecionado ao conteúdo. Em cada um deles existe uma vídeo-aula disponível

1 – A Transformada de Laplace

1.1 – Transformada de Laplace – Definição, exemplos e propriedades

1.1.1 – Transformada de Laplace | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos

1.1.2 – Transformada de Laplace | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos

1.1.3 – Transformada de Laplace | 3ª Lista de Exercícios Resolvidos

1.1.4 – Transformada de Laplace | 4ª Lista de Exercícios Resolvidos

1.1.5 – Transformada de Laplace | 5ª Lista de Exercícios Resolvidos

1.1.6 – Transformada de Laplace | 6ª Lista de Exercícios Resolvidos

1.2 – A Transformada de Laplace Inversa

1.2.1 – Transformada de Laplace Inversa | Lista de Exercícios Resolvidos

1.3 – Tabela Completa de Transformadas de Laplace

1.4 – A Função Degrau ou Função de Heaviside

1.4.1 – Função Degrau Unitário | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos

1.4.2 – Função Degrau Unitário | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos

1.5 – A Função Delta de Dirac

1.5.1 – Lista de Exercícios sobre Delta de Dirac

1.6 – A Convolução

1.6.1 – Equação Integral de Volterra

1.6.2 – A Convolução – Lista de Exercícios Resolvidos

1.7 – Propriedade da Derivada de F(s)

1.8 – Transformada de Laplace de Uma Função Periódica

2 – Resolvendo E.D.O’s Lineares Via Transformada de Laplace

2.1 – Solucionando Equações Diferenciais Ordinárias via Transformada de Laplace

2.1.1 – Resolvendo EDO’s por Laplace | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos

2.1.2 – Resolvendo EDO’s por Laplace | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos

2.1.3 – Resolvendo EDO’s por Laplace | 3ª Lista de Exercícios Resolvidos

2.1.4 – Resolvendo EDO’s por Laplace | 4ª Lista de Exercícios Resolvidos

2.1.5 – Resolvendo EDO’s por Laplace | 5ª Lista de Exercícios Resolvidos

2.1.6 – Resolvendo EDO’s por Laplace | 6ª Lista de Exercícios Resolvidos

2.1.7 – Resolvendo EDO’s por Laplace | 7ª Lista de Exercícios Resolvidos

2.1.8 – Resolvendo EDO’s por Laplace | 8ª Lista de Exercícios Resolvidos

2.1.9 – Resolvendo EDO’s por Laplace | 9ª Lista de Exercícios Resolvidos

2.1.10 – Resolvendo EDO’s por Laplace | 10ª Lista de Exercícios Resolvidos

2.1.11 – Resolvendo EDO’s por Laplace | 11ª Lista de Exercícios Resolvidos

2.1.12 – Resolvendo EDO’s por Laplace | 12ª Lista de Exercícios Resolvidos

2.1.13 – Resolvendo EDO’s por Laplace | 13ª Lista de Exercícios Resolvidos

2.1.14 – Resolvendo EDO’s por Laplace | 14ª Lista de Exercícios Resolvidos

5.9.15 – Resolvendo EDOs por Laplace | 15ª Lista de Exercícios Resolvidos

2 .2 – Transformada de Laplace | Sistema Linear de Equações Diferenciais de 1ª Ordem com Coeficientes Constantes

3 – Aplicações da Transformada de Laplace

3.1 – Circuitos Elétricos em Série

3.2 – Equação Integral de Volterra | Convolução e Transformada de Laplace

3.3 – A Solução da Equação da Onda Unidimensional Usando a Transformada de Laplace

Bibliografia

O site Matemática Simplificada foi criado com o intuito de auxiliar no estudo e no aprendizado da matemática, desde os tópicos mais básicos até os conteúdos das disciplinas usualmente tratadas nas graduações que envolvem ciências exatas.

Grande parte do conteúdo aqui apresentado é retirado de livros usados como livros-texto nos cursos de graduação e selecionado à partir das ementas destes mesmos cursos.

Abaixo seguem os títulos usados como base para os nossos artigos desta disciplina.

GUIDORIZZI, H.L. Um curso de cálculo: Vol 1, 2,3 e 4. Rio de Janeiro: LTC, 2001.

ÁVILA, G. Variáveis Complexas e Aplicações, LTC, Rio de Janeiro,1990

BOYCE, W.; DIPRIMA R. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno, LTC, Rio de Janeiro,2002

BRAUN, M. Equações Diferenciais e suas Aplicações, Editora Campus, Rio de Janeiro, 1979.

EDWARDS, C. H.; PENNEY, D. E. Equações Diferenciais Elementares com Problemas de Contorno, LTC, Rio de Janeiro,1995.

THOMAS, G. B. Cálculo, Editora Pearson Education, São Paulo, 2002.

ZILL, D. G. Equações Diferenciais com Aplicações em Modelagem, Editora Pioneira –

Thomson Learning, São Paulo, 2003.

SPIEGEL, M. R. Análise de Fourier, McGraw-Hill, São Paulo, 1976.

KREYSZIG, E. Advanced Engineering Mathematics, John Wiley & Song, Inc., 8th Edition, 1999.

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