Números Complexos: Módulo e Conjugado | Exercícios Resolvidos

Neste artigo quero apresentar uma primeira lista de exercícios resolvidos sobre números complexos. Um número complexo z é um par ordenado (x,y) de número reais x e y onde se escreve $$z=(x,y)$$ e denominamos x de parte real e y de parte imaginária de z e escrevemos $$x=Re(z)\;\;\;e\;\;\;y=Im(z).$$

O ponto (0,1) é denominado unidade imaginária e é denotado por i. Ou seja, $$i=(0,1).$$ Desta forma, (0,y) = y (0,1) = yi. De maneira análoga, podemos encarar (x,0) = x. Assim, $$(x,y) = (x,0)+(0,y) = x(1,0) + y(0,1) = x+iy.$$ Na prática, um número complexo z=(x,y) é representado na forma $$z=x+iy=Re(z)+Im(z) i$$ que é denominada forma cartesiana de z.

Números Complexos: Módulo e Conjugado | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos

1) Calcule a divisão \dfrac{2+3 i }{4 - i} :

SOLUÇÃO: Na prática, a divisão z=\frac{z_1}{z_2} é operada da seguinte forma $$z=\frac{z_1}{z_2} = \frac{z_1}{z_2}.1=\frac{z_1}{z_2}.\frac{\overline{z_2}}{\overline{z_2}}=\frac{(x_1 x_2 -y_1 y_2)}{x_2^2 +y_2^2} + \frac{(x_1 y_2 + y_1 x_2)}{x_2^2 +y_2^2} i.$$

Fazendo z_1 = 2+3 i e z_2 = 4 - i , obtemos $$z=\frac{2+3 i}{4 – i} = \frac{2+3 i}{4 – i}.1=\frac{2+3 i}{4 – i}.\frac{\overline{4 – i}}{\overline{4 – i}}= \frac{8+ 2i +12 i +3 i^2}{16 – i^2} = \frac{5}{17} + \frac{14}{17} i.$$

2) Resolva a equação $$z^2 – 2 z +2 = 0 .$$

SOLUÇÃO: Usando a fórmula de Bhaskara: $$ z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac} }{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{-4} }{2} = \frac{2 \pm 2 i}{2} = 1 \pm i .$$

3) Determine as raízes quadradas de 3 - 4 i .

SOLUÇÃO: Queremos determinar os complexos z = x + yi , sendo x e y números reais, tais que z^2 = 3 - 4i , ou seja, $$z^2 = (x+yi)^2 = x^2 +2yi +y^2 i^2 = (x^2 – y^2) + 2 xy i = 3 – 4 i.$$ Para que tenhamos a igualdade entre os números complexos, o sistema $$ x^2 – y^2 = 3 $$ $$2xy = -4$$ precisa ser satisfeito.

Da segunda equação obtemos y = -2/x e substituindo na primeira equação obtemos $$x^2 – \frac{4}{x^2} = 3 \Leftrightarrow x^4 – 3x^2 – 4 = 0 .$$ Daí, x^2 = 4 ou x^2 = -1 . Como x é um número real, temos apenas duas possibilidades: $$x=2 \text{ ou } x = -2.$$ Como y = -2/x , obtemos $$ y = -1 \text{ ou } y = 1, $$ respectivamente. Portanto, as raízes quadradas são $$2 – i \text{ ou } -2+i .$$

4) Resolva a equação 2z-\overline{z} = 1 + 6i .

SOLUÇÃO: Pondo   = x + yi , com x, \in \mathbb{R} , obtemos $$ 2 (x+yi) – (x – yi) = 1 + 6i, $$ ou seja, $$ x +3yi = 1 +6i.$$ Daí, $$x = 1 \text{ e } 3y =6.$$ Logo, $$z = x + yi = 1 +2i .$$

5) Para quais valores reais de x a parte real do número complexo z = \dfrac{x-i}{x+i} é negativa?

SOLUÇÃO: Note que $$ \frac{x-i}{x+i} = \frac{x-i}{x+i}  \frac{x-i}{x-i} = \frac{x^2 -1 }{x^2 +1} – \frac{ 2x }{x^2 +1} i .$$ Logo, a parte real desta divisão é dada por $$\frac{x^2 -1 }{x^2 +1}$$ que será negativa, se, e somente se, $$ x^2 – 1 < 0 \Leftrightarrow -1 < x < 1 .$$

6) Escreva a soma 1 + i + i^2+...+i^{2014} como número complexo em sua forma algébrica.

SOLUÇÃO: Note que $$ 1+i+i^2+i^3 = i^4+i^5+i^6+i^7 = \\= … = i^{2008} + i^{2009} +i^{2010}+i^{2011} =\\ = 1+i -1-i = 0.$$ Logo, $$ 1 + i + i^2+…+i^{2014} = \\ = i^{2012} +i^{2013} +i^{2014} = \\ =1+i + (-1) = i .$$

7) Resolva o sistema $$(1+i) z – i \overline{w} = 1$$ $$\overline{z} + i w = 3i $$

SOLUÇÃO: Da segunda equação temos que $$\overline{z} = 3i – i w \Rightarrow z = -3i + i \overline{w} .$$ Substituindo este valor de z na primeira equação: $$(1+i)(-3i + i \overline{w} ) – i \overline{w} = 1.$$ Desenvolvendo a equação: $$ 3 – \overline{w} – 3i+ i \overline{w}-i\overline{w}= 3 – \overline{w} -3i \Rightarrow \overline{w} = 2-3i \Rightarrow w = 2 +3i.$$ Logo, $$z = -3i + i(2-3i) = 3-i .$$

8) Resolva a equação 2i z - \overline{z} = 4 + i .

SOLUÇÃO: Seja z = a+bi . Substituindo na equação inicial: $$2i(a+bi)-(a-bi) = 4+i $$ $$ -a -2b + (2a +b)i = i$$ obtendo o sistema $$-a -2b = 4 $$ $$2a+b=1$$ cuja solução é $$a=2 \text{ e } b = -3.$$ Assim, a solução é z = 2 - 3i .

9) Calcule o módulo do número complexo z = \dfrac{1-i}{2+i} .

SOLUÇÃO: Primeiramente vamos calcular o número complexo z : $$ z = \frac{1-i}{2+i} \frac{2-i}{2-i} = \frac{1-3i}{5} = \frac{1}{5}- \frac{3}{5} i .$$ Desta forma, $$ |z| = \sqrt{ \left( \frac{1}{5} \right)^2 +  \left( \frac{-3}{5} \right)^2} = \frac{\sqrt{10}}{5}.$$

10) Qual é o módulo de z = i^{62} + i^{123} ?

SOLUÇÃO: Observe que $$z = i^{62} + i^{123} = i^{2} + i^{3} = -1 -i$$ logo $$|z| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}.$$

+ Listas de Exercícios Resolvidos:

• A Forma Polar de Um Número Complexo | Lista de Exercícios Resolvidos
  

Referências Bibliográficas:

Abaixo seguem os títulos usados como base para este artigo. Para conferir os títulos específicos basta clicar nos links em azul.

1. KREYSZIG, E. Advanced Engineering Mathematics, John Wiley & Song, Inc., 8th Edition, 1999.
2. ÁVILA, Geraldo S. S. Variáveis Complexas e Aplicações. 3ª Edição. Rio de Janeiro: LTC, 2000.
3. ZILL, Dennis G. “Curso Introdutório à Análise Complexa com Aplicações”. 2ª edição, LTC, Rio de Janeiro, 2011 
4. LIMA, Elon Lages, CARVALHO, Paulo Cezar Pinto, WAGNER, Eduardo e MORGADO, Augusto César. “A Matemática do Ensino Médio, volume 3”.

Leia Mais:

• Números Complexos | A Forma Polar e as Operações Elementares
• Números Complexos | A Exponencial de um Número Complexo
• Funções de Variáveis Complexas | Uma Introdução.
• O que são Conjuntos Numéricos? Dos Naturais aos Complexos.