Polinômios Complexos | Funções Analíticas Complexas

Um polinômio complexo é uma função polinomial complexa p: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} quando existem números a_0 , a_1, a_2 , ... , a_n tais que $$p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + … + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 $$ para todo x \in \mathbb{C} . Os números a_0 , a_1, a_2 , ... , a_n são os coeficientes da função polinomial. Um caso especial é aquele em que os coeficientes deste polinômio são todos números reais.

Se a_n \neq 0 dizemos que p(x) tem grau n . Se um número complexo \alpha é tal que p( \alpha ) = 0 , dizemos que \alpha é raiz do polinômio. Por exemplo, p(x) = x^2 +1 possui grau 2 e tem raízes complexas dadas por x = \pm i .

Somas e produtos de funções polinomiais complexas são, também, funções polinomiais complexas. No caso particular de ambas as funções terem todos os seus coeficientes reais, a soma e o produto também têm coeficientes reais. De maneira lógica podemos demonstrar que se p(x) e q(x) são funções polinomiais, então o grau de p(x) + q(x)   é menor do que ou igual ao maior dos graus entre os dois polinômios.

Além disso, quando uma função polinomial p(x) pode ser expressa como produto p(x) = r(x) q(x), sendo p(x) e r(x) funções polinomiais complexas, dizemos que p(x) é redutível por q(x) e r(x) .

EXEMPLO: Uma função polinomial p(x) = x^n - \alpha ^n é divisível por x - \alpha , onde \alpha é um número complexo qualquer. Basta verificar que $$ x^n – \alpha ^n = (x- \alpha ) \left( x^{n-1} + \alpha x^{n-2} + \alpha ^2 x^{n-3} + … + \alpha ^{n-2} x + \alpha ^{n-a} \right) .$$

Teoremas Sobre Polinômios e Números Complexos

Este exemplo acima é um caso particular do teorema: Se o número complexo \alpha é raiz de uma função polinomial p(x) , então p(x) é divisível por (x - \alpha ) .

Outros teoremas são de extrema importância para o estudo dos polinômios complexos e eles serão enunciados abaixo sem a preocupação com demonstrações (que podem aparecer como exercícios nas listas de exercícios resolvidos)

TEOREMA FUNDAMENTAL DA ÁLGEBRA: Todo polinômio de grau n, n \geq 1 , admite ao menos uma raiz complexa.

TEOREMA DA DECOMPOSIÇÃO: Seja p(x) um polinômio de grau n, n \geq 1 , dado por $$p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + … + a_2 x^2 + a_1 x + a_0, \qquad a_n \neq 0.$$ Então, p(x) pode ser decomposto em n fatores do 1º grau sob a forma: $$p(x) = a_n (x- r_1 ) (x – r_2 ) … (x – r_n ), $$ em que r_1 , r_2 , ... r_n são raízes de p(x) e a_n é o coeficiente dominate de p(x) .

COROLÁRIO DO TEOREMA DA DECOMPOSIÇÃO: Toda equação polinomial de grau n, n \geq 1 , admite exatamente n raízes complexas.

Pode-se mostrar que, com exceção da ordem dos fatores do produto, a decomposição de p(x) em termos de suas raízes é única, além disso dizemos que cada um dos polinômios do 1º grau é um fator de p(x) . Obviamente, p(x) é divisível por cada um dos seus fatores.

TEOREMA: Se P(z) é um polinômio de coeficientes reais, então P(\overline{z}) = \overline{P(z)}.

Um corolário deste teorema garante que se um número complexo é raiz de um polinômio de coeficientes reais então seu conjugado também será.

COROLÁRIO: Se um número complexo z = a + b i , com b \neq 0 , é a raiz de uma equação com coeficientes reais, então seu conjugado \overline{z} = a - b i também é a raiz dessa equação.

Este corolário nos garante que, numa equação de coeficientes reais, raízes complexas não reais sempre ocorrem aos pares ( a+ bi \text{ e } a - bi) . Dessa forma, uma equação de grau ímpar apresenta ao menos uma raiz real.

EXEMPLO: Vamos encontrar as raízes do polinômio $$p(z) = z^4 – 2z^3 + z^2 + 2z – 2$$ sabendo que z_1 = 1 + i é uma delas. Neste caso, podemos garantir que outra das raízes é z_2 = 1 - i que é o complexo conjugado de z_1 . Usando o dispositivo de Briot-Ruffini:

Uma vez eliminadas as duas raízes complexas conjugadas, ficamos com $$x^2-1 = 0 $$ que possui raízes iguais a 1 e -1 . Portanto, as raízes deste polinômio são dadas por 1+i, 1 -i, 1 \text{ e } -1 o que nos leva à fatoração $$ p(z) = (z+1)(z-1)(z-1-i)(z-1+i).$$

EXEMPLO: Vamos decompor o polinômio $$p(z) = z^4 -(1-i)z^2 – i.$$ Observe primeiramente que $$p(z) = z^4 -(1-i)z^2 – i = (z^4 -z^2 ) +  i( z^2 – 1) = \\ = z^2 (z^2 -1) + i (z^2 -1) = (z^2 + i ) (z^2 – 1).$$ Assim, para encontrar as raízes deste polinômio  precisamos resolver a equação $$ (z^2 + i ) (z^2 – 1) = 0,$$ nos levando a $$ z^2 + i = 0 \qquad \text{ ou } \qquad z^2 -1 = 0 $$ $$ z = \sqrt{-i} \qquad \text{ ou } \qquad z = \sqrt{1} .$$ Usando a fórmula de De Moivre encontramos $$z_1 = – \frac{ \sqrt{2}}{2} + i \frac{ \sqrt{2}}{2}; \qquad z_2 = \frac{ \sqrt{2}}{2} – i \frac{ \sqrt{2}}{2}; \qquad z_3 = 1; \qquad z_4 = -1 $$

As Relações de Girard

Algumas relações entre os coeficientes de uma equação e sua raízes, conhecidas como relações de Girard, constituem uma ferramenta importante para encontrar raízes de funções polinomiais com grau maior do que 2. Considerando p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + ... + a_4 x^4 + a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0, com a_n \neq 0  e r_1 , r_2 , ... r_n as raízes de p(x) . Então:

\begin{equation} \left\{ \begin{array}{l} r_1 + r_2 + … + r_n = – \frac{a_{n-1}}{a_n} \\ r_1 \cdot r_2 + r_1 \cdot r_3 + … + r_{n-1} \cdot r_n =  \frac{a_{n-2}}{a_n} \\ r_1 \cdot r_2 \cdot r_3 + r_1 \cdot r_2 + r_1 \cdot r_4 + … + r_{n-2} \cdot r_{n-1} \cdot r_n = – \frac{a_{n-3}}{a_n} \\ \vdots \\ r_1 \cdot r_2 \cdot r_3 \cdot  … \cdot  r_n = (-1)^n \frac{a_{0}}{a_n} \end{array} \right. \end{equation}

Observe que a primeira linha das relações de Girard traz a soma das n raízes, a segunda linha traz a soma dos produtos das raízes tomadas duas a duas, a terceira linha traz a soma dos produtos das raízes tomadas três a três e assim sucessivamente até a última linha que traz o produto das n raízes.

Como Derivar um Polinômio Complexo?

Todo polinômio complexo é uma função complexa analítica em todo \mathbb{C} , ou seja, é diferenciável e definida em todo os pontos do plano complexo. Portanto, toda função na forma $$f(z) = c_0 + c_1 z + c_2 z^2 + … + c_n z^n,$$ onde c_i é uma constante complexa para cada i=1,...,n é analítica.

Sua derivada é dada por $$ f(z) = c_1 + 2 c_2 z + 3 c_3 z^2 + 4 c_4 z^3 +… + n c_n z^{n-1},$$ pois é possível demonstrar que as regras de derivação para funções complexas são as mesmas aplicadas para funções de variáveis reais estudadas no cálculo diferencial, e as três abaixo garantem a nossa derivação dos polinômios complexos:

1. (cf)'(z) = c(f'(z))
2. (f+g)' (z) = f'(z) + g'(z)
3. \left( z^n \right) = n z^{n-1}

Listas de Exercícios Resolvidos:

• Polinômios Complexos | Lista de Exercícios Resolvidos

Referências Bibliográficas:

Abaixo seguem os títulos usados como base para este artigo. Para conferir os títulos específicos basta clicar nos links em azul.

1. KREYSZIG, E. Advanced Engineering Mathematics, John Wiley & Song, Inc., 8th Edition, 1999.
2. ÁVILA, Geraldo S. S. Variáveis Complexas e Aplicações. 3ª Edição. Rio de Janeiro: LTC, 2000.
3. ZILL, Dennis G. “Curso Introdutório à Análise Complexa com Aplicações”. 2ª edição, LTC, Rio de Janeiro, 2011 
4. LIMA, Elon Lages, CARVALHO, Paulo Cezar Pinto, WAGNER, Eduardo e MORGADO, Augusto César. “A Matemática do Ensino Médio, volume 3”.

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