Funções Analíticas Complexas | Funções Trigonométricas e Hiperbólicas

Neste artigo queremos definir as funções trigonométricas e hiperbólicas complexas, como funções analíticas. Uma função f definida em S é uma regra que associa cada z do conjunto S a um número complexo w, denominado valor de f em z. Desta forma, escrevemos $$f(z) = w,$$ onde z é denominada variável complexa, o conjunto S é o domínio da função f. Neste contexto, queremos, explorar a função exponencial complexa.

Funções Trigonométricas Complexas

Pela definição da função exponencial dada anteriormente, temos que $$e^{ix} = \cos{x} + i \sin{x}$$ e $$e^{-ix} = cos{x} – i \sin{x}.$$ Daí, obtemos $$\cos{x} = \frac{e^{ix} +e^{-ix}}{2}$$ e $$\sin{x} = \frac{e^{ix} – e^{-ix}}{2i}.$$ Esta ideia é usada para se definir as funções trigonométricas a todo o plano.

DEFINIÇÃO: As funções trigonométricas \sin{z} e \cos{z} são definidas por $$\cos{z} = \frac{e^{iz} +e^{-iz}}{2}$$ e $$\sin{z} = \frac{e^{iz} – e^{-iz}}{2i}$$ para todo ponto z do plano. A partir destas definimos $$\tan{z} = \frac{\sin{z}}{\cos{z}},$$ $$\cot{z} = \frac{\cos{z}}{\sin{z}},$$ $$\sec{z} = \frac{1}{\cos{z}}$$ e $$\csc{z} = \frac{1}{\sin{z}}.$$

{exercicio} Mostre que estas funções trigonométricas são analíticas.

EXEMPLO: Vamos estabelecer as derivadas das funções trigonométricas definidas anteriormente

1) (\sin{z})' = \left(\frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}\right)' = \frac{i e^{iz} + i e^{-iz}}{2i} = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2} = \cos{z}

2) (\cos{z})' = \left(\frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}\right)' = \frac{i e^{iz} - i e^{-iz}}{2} = i \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2} = - \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i} = - \sin{z}

3) (\tan{z})' = \left( \frac{\sin{z}}{\cos{z}} \right)' = \sec^2{z}

4) (\cot{z})' = -\csc^2{z}

5) (\csc{z})' = -\csc{z} . \cot{z}

6) (\sec{z})' = -\sec{z} . \tan{z}

Propriedades das funções trigonométricas Complexas

As identidades trigonométricas familiares permanecem todas válidas no campo complexo. Assim,

1) \sin{(-z)} = - \sin{(z)};

2) \cos{(-z)} = \cos{(z)};

3) \sin^2{(z)} + \cos^2{(z)}= 1

4) \sin{z_1 + z_2)} = \sin{z_1} \cos{z_2} + \cos{z_1} \sin{z_2}

5) \cos{z_1 + z_2)} = \cos{z_1} \cos{z_2} - \sin{z_1} \sin{z_2}

6) \cos{\left( \frac{\pi}{2} -z \right)} = \sin{z}

7) \sin{\left( \frac{\pi}{2} -z \right)} = \cos{z}

Funções Trigonométricas Hiperbólicas

As funções trigonométricas \sinh{z} e \cosh{z} são definidas por $$\cosh{z} = \frac{e^{z} +e^{-z}}{2}$$ e $$\sinh{z} = \frac{e^{z} – e^{-z}}{2}$$ para todo ponto z do plano. A partir destas definimos $$\tanh{z} = \frac{\sinh{z}}{\cosh{z}},$$ $$\coth{z} = \frac{\cosh{z}}{\sinh{z}},$$ $$sech{z} = \frac{1}{\cosh{z}}$$ e $$csch{z} = \frac{1}{\sinh{z}}$$

{exercicio} Mostre que estas funções trigonométricas são analíticas.

EXEMPLO: Vamos estabelecer as derivadas das funções trigonométricas definidas anteriormente

1) (\sinh{z})' = \left(\frac{e^{z} - e^{-z}}{2}\right)' = \frac{ e^{iz} + e^{-z}}{2} = \frac{e^{z} + e^{-z}}{2} = \cosh{z}

2) (\cosh{z})' = \left(\frac{e^{z} + e^{-z}}{2}\right)' = \frac{ e^{iz} - e^{-z}}{2} = - \sinh{z}

3) (\tanh{z})' = \left( \frac{\sinh{z}}{\cosh{z}} \right)' = sech^2{z}

4) (\coth{z})' = -csch^2{z}

5) (\csch{z})' = -csch z . \coth{z}

6) (sech{z})' = -sech{z} . \tanh{z}

As funções trigonométricas e hiperbólicas estão relacionadas da seguinte maneira:

$$\cosh{iz} = \cos{z}\;\;\;e\;\;\;\sinh{iz} = i\sin{z}.$$

Podemos ainda, estabelecer as seguintes propriedades abaixo:

$$\cos{z} = \cos{x}\cosh{y} – i \sin{x} \sinh{y}$$
$$\sin{z} = \sin{x}\cosh{y} + i \cos{x} \sinh{y}$$
$$|\cos{z}|^2 = \cos^2{x}+\sinh^2{y}$$
$$|\sin{z}|^2 = \sin^2{x}+\sinh^2{y}$$

EXEMPLO: Solucione a equação \cos{z}=0

Temos que
\begin{eqnarray*}
\cos{z}=0 & \Leftrightarrow & |\cos{z}|^2 = 0\\
& \Leftrightarrow & \cos^2{x}+\sinh^2{y} = 0\\
& \Leftrightarrow & \cos{x} = 0\;\;\;ou\;\;\;\sinh{y} = 0\\
& \Leftrightarrow & x = \frac{2n+1}{2}\pi\;\;\;ou\;\;\;y = 0\\
\end{eqnarray*}

Leia Mais:

• A Função Logarítmica Complexa | Funções Analíticas Complexas
• Variáveis Complexas | Diferenciabilidade e Funções Analíticas
  
• A Função Exponencial Complexa | Funções Analíticas Complexas
• Polinômios Complexos | Funções Analíticas Complexas

Referências Bibliográficas:

1. KREYSZIG, E. Advanced Engineering Mathematics, John Wiley & Song, Inc., 8th Edition, 1999.
2. ÁVILA, Geraldo S. S. Variáveis Complexas e Aplicações. 3ª Edição. Rio de Janeiro: LTC, 2000.
3. ZILL, Dennis G. “Curso Introdutório à Análise Complexa com Aplicações”. 2ª edição, LTC, Rio de Janeiro, 2011