Introdução às Funções de Uma Variável Real a Valores Complexos

Neste artigo queremos introduzir as funções com domínio real e contra-domínio no conjunto dos números complexos, com foco em aspectos importantes do cálculo diferencial e integral.

Uma função de uma variável real a valores complexos é uma função cujo domínio é um subconjunto de \mathbb{R} e cujo contradomínio é \mathbb{C} . Um exemplo imediato é a função dada por f(t) = t^2 + i \text{cos} (t) que claramente tem domínio real. Outro exemplo seria a função f(t) = \text{cos} (t) + i \text{sen} (t) cuja imagem seria a curva \gamma (t) = (\text{cos} (t) , \text{sen} (t)) , que é a circunferência de raio igual a 1 e centro na origem.

Seja f: A \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C} , uma função de uma variável real a valores complexos; então existem, e são únicas, duas funções f_1 (t) e f_2 (t) , definidas em A e a valores reais, tais que $$ f(t) = f_1 (t) + i f_2 (t), \qquad \forall t \in A.$$

CONTINUIDADE DE FUNÇÕES DE VARIÁVEIS REAIS A VALORES COMPLEXOS: Diremos que f é contínua em t_0 \in A  se, e somente se f_1 (t) e f_2 (t) forem contínuas em t_0 .

A DERIVADA DE FUNÇÕES DE VARIÁVEIS REAIS A VALORES COMPLEXOS: Diremos que f é derivável em t_0 \in A se, e somente se f_1 (t) e f_2 (t) forem deriváveis em t_0 . Sendo f é derivável em t_0 \in A , definimos a derivada de f é t_0 por $$ f’ (t_0) = f_1 ‘ (t_0)+i f_2 ‘ (t_0).$$

Sejam f e g duas funções a valores complexos, definidas e deriváveis num intervalo I . Podemos garantir as regras de derivação dadas por:

1. \left[ f(t) + g(t) \right] ' = f'(t) +g'(t) ;
2. \left[ k f(t) \right] = k f'(t), onde k é uma constante complexa;
3. \left[ f(t) g(t) \right]' = f'(t) g(t) + f(t) g' (t);
4. \left[ \dfrac{f(t)}{g(t)} \right]' = \dfrac{g(t) f' (t) - f(t) g'(t)}{[g(t)]^2} em todo t \in I para os quais g(t) \neq 0 .

A INTEGRAL DE FUNÇÕES DE VARIÁVEIS REAIS A VALORES COMPLEXOS: Seja f: A \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C} , dizemos que F: A \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C} é uma primitiva de f se $$ F’ (t) = f(t), \qquad \forall t \in A.$$ A notação $$\int{f(t) dt} $$ será usada para indicar a família das primitivas de f .

TEOREMA: Seja f: I \rightarrow \mathbb{C} , onde I é um intervalo em \mathbb{R} . Se f'(t) = 0 , para todo t \in I , então existe uma constante complexa k tal que f(t) = k , para todo t \in I .

EXEMPLO: Considerando novamente a função f(t) = \text{cos} (t) + i \text{sen} (t) , a derivada desta função será dada por $$ f'(t) = – \text{sen} (t) + i \text{cos} (t)$$ e como -1 = i^2 podemos escrever que $$ f'(t) = i^2 \text{sen} (t) + i \text{cos} (t) = i \left( i \text{sen} (t) + \text{cos} (t) \right) = i f(t).$$

EXEMPLO: Seja u(t) = e^{ \alpha t} \left( \text{cos}( \beta t) + i\text{sen}( \beta t) \right) onde \alpha e \beta são constantes reais. Observe que $$ \frac{ du}{dt} = \alpha e^{ \alpha t} \left( \text{cos}( \beta t) + i \text{sen}( \beta t) \right)+ e^{ \alpha t} \left( -\text{sen}( \beta t) + i \text{cos}( \beta t) \right) = \\ = \alpha e^{ \alpha t} \left[ \text{cos}( \beta t) + i \text{sen}( \beta t) \right] + \beta i e^{ \alpha t}\left[ \text{cos}( \beta t) + i \text{sen}( \beta t) \right] = \\ =( \alpha +i \beta) e^{ \alpha t} \left( \text{cos}( \beta t) + i\text{sen}( \beta t) \right).$$ Portanto, podemos afirmar que $$ \frac{du}{dt} = ( \alpha +i \beta) u.$$ Ou seja temos nesta função uma solução desta equação diferencial de primeira ordem.

A Função Exponencial com domínio real e imagem complexa

Seja \lambda = \alpha + i \beta , com \alpha e \beta reais. Definimos $$ e^{\lambda t} = e^{(\alpha + i \beta )t } = e^{ \alpha t } \left( \text{cos} ( \beta t ) + i \text{sen} ( \beta t ) \right), \qquad \forall t \in \mathbb{R}.$$ Esta definição é conhecida como Relação de Euler e é um caso particular daquela que desenvolvemos neste artigo.

Algumas propriedades desta função são garantidas:

1. Fazendo t = 1 encontramos a fórmula da exponencia de um número complexo: $$ e^{(\alpha + i \beta ) } = e^{ \alpha} \left( \text{cos} ( \beta ) + i \text{sen} ( \beta ) \right) ;$$
2. Fazendo \alpha = 0 nesta fórmula anterior, encontramos $$ e^{ i \beta } = \text{cos} ( \beta ) + i \text{sen} ( \beta ) ;$$
3. Sendo \lambda uma constante complexa, então, podemos mostrar que $$ \frac{d}{dt} e^{\lambda t} = \lambda e^{\lambda t}$$ e, por consequência, $$ \int{e^{\lambda t} dt} = \frac{1}{ \lambda} e^{ \lambda t} + k .$$
4. Também podemos garantir que $$ e^{ \lambda _1 + \lambda _2 } =  e^{ \lambda _1 } . e^{ \lambda _2 }.$$
5. A função exponencial também nos permite definir as funções seno e cosseno com domínio real e contra-domínio complexo: $$ \text{cos} (t) = \frac{e^{i t} + e^{-it} }{2}, \qquad \text{e} \qquad \text{sen} (t) = \frac{e^{i t} – e^{-it} }{2i}.$$ Por consequência podemos definir as demais funções trigonométricas partindo destas duas.

EXEMPLO: Vamos calcular $$ \int{e^t \text{cos}(t) dt } .$$ Observe que $$ e^t \text{cos}(t) = e^t \left[ \frac{e^{i t} + e^{-it} }{2} \right] = \frac{1}{2} \left[ e^{(1+i)t} + e^{(1-i)t} \right].$$ Portanto, $$ \int{e^t \text{cos}(t) dt } = \frac{1}{2} \left[ \int{e^{(1+i)t} dt } + \int{e^{(1-i)t} dt } \right] = \\ = \frac{1}{2} \left[ \frac{e^{(1+i)t}}{1+i} + \frac{e^{(1-i)t}}{1-i} \right] + k  = \frac{1}{2} e^t \left[ \text{cos} (t) + \text{sen} (t) \right] + k$$

Referências Bibliográficas

• Guidorizzi – “Um Curso de Cálculo – Volume 2” | Link do livro
• Erwin Kreyszig – “Advanced Engineering Mathematics” | Link do Livro

 Leia Mais:

• Números Complexos | Módulo, Conjugado e Operações Elementares
• Números Complexos | A Forma Polar e as Operações Elementares
• A Função Exponencial Complexa | Funções Analíticas Complexas
• Funções Analíticas Complexas | Funções Trigonométricas e Hiperbólicas

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