Números Complexos | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos

Neste artigo oferecemos uma lista de exercícios resolvidos sobre a forma polar ou trigonométrica de um número complexo. Em alguns problemas, a forma cartesiana de um numero complexo não é tão prática e a forma polar de um número complexo se torna uma ótima opção. Desta forma, z=x+iy = r\left( cos(\theta) + i sen(\theta) \right) é chamada de forma trigonométrica ou polar de um número complexo  z , onde o números reais r e \theta são as coordenadas polares do ponto P(x,y) do plano.

Ou seja, utilizamos uma transformação para os termos x e y da seguinte forma: $$x=r\cos{\theta}$$ e $$y=r\sin{\theta}$$ onde, $$|z| = r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{z\bar{z}}$$ sendo r denominado valor absoluto, ou módulo de z e $$\theta = \arctan{\frac{y}{x}};\;\;\;\;- \pi < \theta \leq \pi$$ que é denominado argumento de z.

Podemos definir regras muito convenientes para operações entre números complexos usado suas formas polares. Sejam z_1 = r_1(\cos{\theta _1} + i \sin{\theta _1}) e z_2 = r_2 (\cos{\theta _2} + i\sin{\theta _2}) então:

1. z_1 . z_2 = r_1 r_2 \left[ \cos{(\theta _1 + \theta _2)} + i \sin{(\theta _1 + \theta _2)} \right];
2. \frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{ r_2} \left[ \cos{(\theta _1 - \theta _2)} + i \sin{(\theta _1 - \theta _2)} \right] ;
3. z^n = r^n \left( \cos{n \theta} + i \sin{n \theta} \right);
4. Se z=w^n, sendo w um número complexo, daí, w = \sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r} \left( \cos{\left( \frac{\theta +2k \pi}{n} \right)} + i \sin{\left( \frac{\theta +2k \pi}{n} \right)} \right).

A Forma Polar de Um Número Complexo | Lista de Exercícios Resolvidos

1) Encontre a forma trigonométrica do número complexo z = -1 + \sqrt{3} i .

SOLUÇÃO: Neste caso, temos $$ |z| = r = \sqrt{ (-1)^2 + ( \sqrt{3} )^2 } = \sqrt{4} = 2.$$ Além disso, $$ \text{cos} (\theta ) = \frac{x}{r} = – \frac{1}{2} \qquad e \qquad \text{sen} (\theta ) = \frac{y}{r} = \frac{\sqrt{3}}{2}. $$ Logo, um dos valores possíveis para \theta = \dfrac{ 2 \pi }{3} e a forma trigonométrica de z é $$ z = 2 \left( \text{cos} \left( \frac{2 \pi}{3} \right) + i \text{sen} \left( \frac{2 \pi}{3} \right) \right).$$

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2) Qual é o lugar geométrico das imagens dos complexos z tais que $$| 1- z | = | 3 +z | ?$$

SOLUÇÃO: O primeiro membro é a distância de z a 1 e o segundo membro é a distância de z a -3 . O lugar geométrico procurado é a mediatriz do segmento de extremos -3 e 1.

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3) Prove que se z_1 = r_1(\cos{\theta _1} + i \sin{\theta _1}) e z_2 = r_2 (\cos{\theta _2} + i\sin{\theta _2}) então  z_1 . z_2 = r_1 r_2 \left[ \cos{(\theta _1 + \theta _2)} + i \sin{(\theta _1 + \theta _2)} \right].

SOLUÇÃO: \begin{eqnarray} z_1 \cdot z_2 & = & r_1(\cos{\theta _1} + i \sin{\theta _1}) \cdot r_2 (\cos{\theta _2} + i\sin{\theta _2}) \\ & = & r_1 \cdot r_2 [ \cos{\theta _1} \cos{\theta _2} + i \cos{\theta _1} \text{sen}{\theta _2}  +i\cos{\theta _2} \text{sen}{\theta _1} + i^2 \text{sen}{\theta _1} \text{sen}{\theta _2} ]  \\ & = & r_1 \cdot r_2 [  (\cos{\theta _1} \cos{\theta _2} – \text{sen}{\theta _1} \text{sen}{\theta _2} ) + i  (\cos{\theta _1} \text{sen}{\theta _2}  +\cos{\theta _2} \text{sen}{\theta _1})] \\ & = & r_1 \cdot r_2 [  \cos{(\theta _1 – \theta _2 )} + i \text{sen}{( \theta _1  + \theta _2 )} ] \end{eqnarray}

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4) Prove que se z_1 = r_1(\cos{\theta _1} + i \sin{\theta _1}) e z_2 = r_2 (\cos{\theta _2} + i\sin{\theta _2}) então \frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{ r_2} \left[ \cos{(\theta _1 - \theta _2)} + i \sin{(\theta _1 - \theta _2)} \right] .

SOLUÇÃO: Neste caso, basta multiplicar \frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{ r_2} = \left[ \cos{(\theta _1 - \theta _2)} + i \sin{(\theta _1 - \theta _2)} \right] por z_2 = r_2 (\cos{\theta _2} + i\sin{\theta _2}) e mostrar que esta divisão é igual a z_1 = r_1(\cos{\theta _1} + i \sin{\theta _1}). De fato, como $$ \frac{ r_1 }{r_2 } \cdot r_2 = r_1 \qquad \text{e} \qquad ( \theta _1 – \theta _2 ) + \theta _2 = \theta _1 ,$$ temos, usando a regra da multiplicação, que $$ \frac{r_1}{ r_2} \left[ \cos{(\theta _1 – \theta _2)} + i \sin{(\theta _1 – \theta _2)} \right]  \cdot r_2 (\cos{\theta _2} + i\sin{\theta _2}) = \\ = r_1 \left[ \cos{(\theta _1 – \theta _2 + \theta _2)} + i \sin{(\theta _1 – \theta _2 + \theta _2)} \right] = \\ = r_1 \left[ \cos{(\theta _1 )} + i \sin{(\theta _1)} \right] = z_1 .$$ Portanto, garantimos que $$ \frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{ r_2} \left[ \cos{(\theta _1 – \theta _2)} + i \sin{(\theta _1 – \theta _2)} \right] .$$

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5) Prove a Formula de De Moivre: Se n é inteiro, então $$ \left[ r (\cos{\theta} + i \sin{\theta}) \right]^n  = r^n (\cos{n \theta} + i \sin{ n \theta}) .$$

SOLUÇÃO: Para n =0 e n =1 ,a fórmula é óbvia. Para n inteiro maior do que 1, a fórmula decorre da aplicação reiterada da fórmula da multiplicação.

Agora precisamos provar a fórmula para números inteiros negativos. Seja n = -m , com m inteiro e positivo. Temos que \begin{eqnarray} \left[ r (\cos{\theta} + i \sin{\theta}) \right]^n & = & \left[ r (\cos{\theta} + i \sin{\theta}) \right]^{-m}\\ & = & \frac{1}{\left[ r (\cos{\theta} + i \sin{\theta}) \right]^{m}} \\ \\ & = & \frac{1 \cdot \text{ cos} (0) + i \text{ sen} (0)}{\left[ r^m (\cos{m \theta} + i \sin{m \theta}) \right]} \\ \\ & = & \frac{1}{r^m} \cdot \left[ (\cos{0- m \theta} + i \sin{0 – m \theta}) \right]\\ \\ & = & r^{-m} \cdot \left[ (\cos{-m \theta} + i \sin{ – m \theta}) \right] \\ & = & r^n \cdot \left[ (\cos{n \theta} + i \sin{ n \theta}) \right], \end{eqnarray}

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6) Calcule \left(1 + \sqrt{3} i \right) ^{20}

SOLUÇÃO: O número complexo 1 + \sqrt{3} tem módulo r = 2 e o argumento \theta = \dfrac{ \pi }{3} . Logo \begin{eqnarray} \left(1 + \sqrt{3} i\right) ^{20} & = & \left( 2 \cdot \left[ \text{cos} \left( \frac{ \pi }{3} \right) + i \text{sen} \left( \frac{ \pi }{3} \right)  \right] \right) ^{20} \\ & = & 2^{20} \left[ \text{cos} \left( \frac{ 20\pi }{3} \right) + i \text{sen} \left(  \frac{20 \pi }{3} \right)  \right] \\ & = & 2^{20} \left[ \text{cos} \left( \frac{ 2\pi }{3} \right) + i \text{sen} \left(  \frac{2 \pi }{3} \right)  \right] \end{eqnarray} pois $$ \frac{ 20\pi }{3} = 6 \pi + \frac{ 2\pi }{3}, $$ portanto \begin{eqnarray} \left(1 + \sqrt{3}i \right) ^{20} & = & 2^{20} \left[ \text{cos} \left( \frac{ 2\pi }{3} \right) + i \text{sen} \left( \frac{2 \pi }{3} \right)  \right] \\ & = & 2^{20} \left[ – \frac{1 }{2} + i\frac{ \sqrt{3} }{2}  \right] \\  & = & 2^{19} \left[ – 1 + i\sqrt{3} \right]  \end{eqnarray}

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7) Determine as raízes cúbicas de 8.

SOLUÇÃO: O número real 8 tem módulo 8 e argumento 0. Então, \begin{eqnarray} \sqrt[3]{8 \cdot (cos (0) + i sen(0))} & = & \sqrt[3]{8} \cdot \left[ cos \left( \frac{0 + 2k \pi}{3} \right) + i sen \left( \frac{0 + 2k \pi}{3} \right) \right]\\ & = & 2 \left[ cos \left( \frac{2k \pi}{3} \right) + i sen \left( \frac{2k \pi}{3} \right) \right]\end{eqnarray}

As raízes são obtidas fazendo k = 0,1,2 (pois se repetem a partir daí), com isso encontramos como raízes cúbicas de 8 os complexos $$ z_1 = 2 $$ $$z_2 = -1 + i \sqrt{3} $$ $$z_3 = -1 – i \sqrt{3} .$$

Listas de Exercícios Resolvidos:

• Números Complexos: Módulo e Conjugado | Exercícios Resolvidos

Referências Bibliográficas:

Abaixo seguem os títulos usados como base para este artigo. Para conferir os títulos específicos basta clicar nos links em azul.

1. KREYSZIG, E. Advanced Engineering Mathematics, John Wiley & Song, Inc., 8th Edition, 1999.
2. ÁVILA, Geraldo S. S. Variáveis Complexas e Aplicações. 3ª Edição. Rio de Janeiro: LTC, 2000.
3. ZILL, Dennis G. “Curso Introdutório à Análise Complexa com Aplicações”. 2ª edição, LTC, Rio de Janeiro, 2011 
4. LIMA, Elon Lages, CARVALHO, Paulo Cezar Pinto, WAGNER, Eduardo e MORGADO, Augusto César. “A Matemática do Ensino Médio, volume 3”.

Leia Mais:

• Números Complexos | A Forma Polar e as Operações Elementares
• Números Complexos | A Exponencial de um Número Complexo
• Funções de Variáveis Complexas | Uma Introdução.
• O que são Conjuntos Numéricos? Dos Naturais aos Complexos.