Números Complexos | 3ª Lista de Exercícios Resolvidos

Neste artigo oferecemos uma terceira lista de exercícios resolvidos sobre números complexos, agora envolvendo a forma polar ou trigonométrica de um número complexo em que um complexo z=x+iy é escrito na forma z = r\left( cos(\theta) + i sen(\theta) \right) , onde o números reais r e \theta são as coordenadas polares do ponto P(x,y) do plano.

Para determinar a forma trigonométrica ou polar de um número complexo  z utilizamos uma transformação para os termos x e y da seguinte forma: $$x=r\cos{\theta}$$ e $$y=r\text{sen}{\theta}$$ onde, $$|z| = r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{z\bar{z}}$$ sendo r denominado valor absoluto, ou módulo de z e $$\theta = \arctan{\frac{y}{x}};\;\;\;\;- \pi < \theta \leq \pi$$ que é denominado argumento de z.

Podemos definir regras muito convenientes para operações entre números complexos usado suas formas polares. Sejam z_1 = r_1(\cos{\theta _1} + i \text{sen}{\theta _1}) e z_2 = r_2 (\cos{\theta _2} + i\text{sen}{\theta _2}) então:

1. z_1 . z_2 = r_1 r_2 \left[ \cos{(\theta _1 + \theta _2)} + i \text{sen}{(\theta _1 + \theta _2)} \right];
2. \frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{ r_2} \left[ \cos{(\theta _1 - \theta _2)} + i \text{sen}{(\theta _1 - \theta _2)} \right] ;
3. z^n = r^n \left( \cos{n \theta} + i \text{sen}{n \theta} \right);
4. Se z=w^n, sendo w um número complexo, daí, w = \sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r} \left( \cos{\left( \frac{\theta +2k \pi}{n} \right)} + i \text{sen}{\left( \frac{\theta +2k \pi}{n} \right)} \right).

Números Complexos | 3ªLista de Exercícios Resolvidos

1) Determine uma fórmula para calcular raízes quadradas de qualquer número complexo z \neq 0 .

SOLUÇÃO: Escrevendo o número na forma trigonométrica z = r \left( \text{cos}( \theta)  + i  \text{sen}( \theta) \right) e usando a fórmula de De Moivre encontramos $$\sqrt{z} = \sqrt{r} \left( \cos{\left( \frac{\theta +2k \pi}{2} \right)} + i \text{sen}{\left( \frac{\theta +2k \pi}{2} \right)} \right).$$

Logo, somos motivados a escrever o número complexo com forma trigonométrica dada por $$z = r \left( \text{cos}( 2 \alpha) + i  \text{sen}( 2 \alpha) \right), $$ pois simplificaremos as raízes quadradas como $$\sqrt{z} = \sqrt{r} \left( \cos{\left(\alpha +k \pi \right)} + i \text{sen}{\left( \alpha + k \pi\right)} \right)$$ Como procuramos duas raízes complexas temos que fazer k = 0,1 . Lembrando que \text{cos}(\alpha+180º) = - \text{cos} (\alpha) e \text{sen}(\alpha+180º) = - \text{sen} (\alpha) obtemos $$ \sqrt{z} =  \sqrt{r} \left( \cos{\left( \alpha \right)} + i \text{sen}{\left( \alpha \right)} \right); \qquad \text{para k = 0} $$ $$ \sqrt{z} =  – \sqrt{r} \left( \cos{\left( \alpha \right)} + i \text{sen}{\left( \alpha \right)} \right); \qquad \text{para k = 1 }, $$ ou seja, $$ \sqrt{z} =  \pm \sqrt{r} \left( \cos{\left( \alpha \right)} + i \text{sen}{\left( \alpha \right)} \right). $$

Portanto, dado um complexo com forma trigonométrica z = r \left( \text{cos}( \theta)  + i  \text{sen}( \theta) \right) a fórmula para encontrar suas raízes quadradas é dada por $$\sqrt{z} =  \pm \sqrt{r} \left( \cos{\left( \frac{\theta }{2} \right)} + i \text{sen}{\left( \frac{\theta }{2} \right)} \right). $$

2) Usando a fórmula encontrada no exercício anterior calcule as raízes quadradas do número complexo z = 5-12i .

SOLUÇÃO: Temos que $$ r = \sqrt{5^2 +12^2} = \sqrt{169} = 13, \qquad \text{cos}( 2 \theta) = \frac{5}{13}, \qquad \text{sen}( 2 \theta) = – \frac{12}{13}.$$ Como 0 \leq 2 \theta \leq 2 \pi , dos valores de seno e cosseno podemos deduzir que 2 \theta se encontra no quarto quadrante e portanto \theta no segundo.

Utilizamos agora as relações trigonométrica $$ \text{cos}( \theta) = \sqrt{\frac{1+ \text{cos}( 2 \theta) }{2} } \qquad \text{sen}( \theta) = \sqrt{\frac{1- \text{cos}( 2 \theta) }{2} }$$ e encontramos que $$ \text{cos}( \theta) = \sqrt{\frac{1+ \frac{5}{13} }{2} }  = – \frac{3}{\sqrt{13} } \qquad \text{sen}( \theta) = \sqrt{\frac{1- \frac{5}{13} }{2} } = \frac{2}{\sqrt{13} }.$$

Portanto, as raízes são $$\sqrt{5-12i}= \pm \sqrt{13} \left( – \frac{3}{\sqrt{13}} + i \frac{2}{\sqrt{13}} \right) = \pm (3 – 2i).$$

OBSERVAÇÃO: Note que resolver este exercício é o mesmo que resolver a equação complexa do segundo grau w^2 - (5-12i) = 0, onde w é um número complexo.

3) Determine o argumento do número complexo $$ w = (1- i )^7 \cdot (1 + i \sqrt{3}) ^9 .$$

SOLUÇÃO: Observe primeiro que $$ 1-i = \sqrt{2} [ cos(- \pi / 4 ) + i sen( – \pi /4 ) ] \\ 1 + i \sqrt{3} = 2 [cos (\pi / 3) + i sen (\pi / 3)].$$ Assim $$w = (1- i )^7 \cdot (1 + i \sqrt{3}) ^9  = \\ = \left( \sqrt{2} [ cos(- \pi / 4 ) + i sen( – \pi /4 ) ] \right)^7 \cdot \left( 2 [cos (\pi / 3) + i sen (\pi / 3)] \right) ^9.$$ Utilizando a fórmula de De Moivre, temos que o argumento de w é $$ 7 \times (- \pi / 4 )+ 9 \times \pi /3 = \frac{5 \pi }{4}.$$

4) Determine os números complexos z tais que z^3 = \overline{z} .

SOLUÇÃO: Veja que z = 0 é uma solução deste problema. Suponha que \neq 0 . Comparando módulos e sabendo que | z | >0 , então |z|^3 = |z| , logo |z| = 1 e, portanto, como z \cdot \overline{z} = |z|^2 = 1^2 = 1, temos que  \overline{z} = z^{-1} . Ou seja, $$z^3 = z^{-1} \Leftrightarrow z^4 = 1 \Leftrightarrow z = 1, -1, i -1.$$ Portanto o conjunto soluções é $$\left\{ 0, 1, -1, i, -i \right\}.$$

OBSERVAÇÃO: Este exercício é equivalente a resolver a equação z^3 - \overline{z} = 0 .

5) Considere as raízes de índice 13 da unidade: $$ \varepsilon _k = \cos{\left( \frac{2k \pi}{13} \right)} + i \text{sen}{\left( \frac{2k \pi}{13} \right)}; \qquad k=0,1,2,3,…, 12 .$$ Calcule o valor de n \in \mathbb{Z}, 0 \leq n \leq 12, em cada um dos seguintes casos: $$ a) \varepsilon _n = \varepsilon _8 \cdot \varepsilon _9 ; \qquad b) \varepsilon _n = \left( \varepsilon _7 \right)^{-9} .$$

SOLUÇÃO: Observe que $$ \varepsilon_k = ( \varepsilon_1 )^k \qquad e \qquad (\varepsilon_1)^{13} = 1 .$$ Assim, $$ a) \varepsilon _8 \cdot \varepsilon _9 = ( \varepsilon_1 )^8 \cdot ( \varepsilon_1 )^9 = ( \varepsilon_1 )^{17} = ( \varepsilon_1 )^{13} \cdot ( \varepsilon_1 )^4 = ( \varepsilon_1 )^4 = \varepsilon_4$$ e $$ b) = \left( \varepsilon _7 \right)^{-9} = \left( \varepsilon _1 \right)^{-54} = \left( \varepsilon _1 \right)^{-54} \cdot 1 = \left( \varepsilon _1 \right)^{-54} \cdot \left( \varepsilon _1 \right)^{13 \times 5} = \left( \varepsilon _1 \right)^{65-54} = \left( \varepsilon _1 \right)^{11} = \varepsilon _{11}. $$

6) Escreva o número z = -16 \sqrt{3} + 16 i  na forma trigonométrica e calcule as raízes quintas de z .

SOLUÇÃO: Temos que $$ r = \sqrt{16 ^2 \cdot 3 + 16^2} = 16 \sqrt{4} = 32$$ e $$ \text{cos} ( \alpha ) = \frac{16 \sqrt{3}}{32} = – \frac{ \sqrt{3}}{2} \qquad \text{sen} (\alpha ) = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}.$$ Veja que $$ \alpha = \frac{5 \pi }{6}$$ logo, $$z =32 \left( \text{cos} \left( \frac{5 \pi }{6} \right)  + i  \text{sen}\left( \frac{5 \pi }{6} \right) \right)$$ e suas raízes quintas são dadas por $$  w_k = \sqrt[5]{32}  \left( \text{cos} \left( \frac{\frac{5 \pi }{6} +2k \pi }{5} \right)  + i  \text{sen}\left( \frac{\frac{5 \pi }{6} +2k \pi }{5} \right) \right)= \\ = 2 \left[ \text{cos} \left( \frac{\pi }{6} + \frac{2 \pi}{5} k \right) + i \text{sen} \left( \frac{\pi }{6} + \frac{2 \pi}{5} k \right) \right]; \qquad k = 0,1,2,3,4 .$$

Listas de Exercícios Resolvidos:

• Números Complexos: Módulo e Conjugado | Exercícios Resolvidos
• A Forma Polar de Um Número Complexo | Lista de Exercícios Resolvidos

Referências Bibliográficas:

Abaixo seguem os títulos usados como base para este artigo. Para conferir os títulos específicos basta clicar nos links em azul.

1. KREYSZIG, E. Advanced Engineering Mathematics, John Wiley & Song, Inc., 8th Edition, 1999.
2. ÁVILA, Geraldo S. S. Variáveis Complexas e Aplicações. 3ª Edição. Rio de Janeiro: LTC, 2000.
3. ZILL, Dennis G. “Curso Introdutório à Análise Complexa com Aplicações”. 2ª edição, LTC, Rio de Janeiro, 2011 
4. LIMA, Elon Lages, CARVALHO, Paulo Cezar Pinto, WAGNER, Eduardo e MORGADO, Augusto César. “A Matemática do Ensino Médio, volume 3”.

Leia Mais:

• Números Complexos | A Forma Polar e as Operações Elementares
• Números Complexos | A Exponencial de um Número Complexo
• Funções de Variáveis Complexas | Uma Introdução.
• O que são Conjuntos Numéricos? Dos Naturais aos Complexos.