Forma Polar de Números Complexos: Lista de Exercícios para Métodos Matemáticos

Este artigo explora a forma polar de números complexos, detalhando operações elementares e a fórmula de Moivre. Com uma lista de exercícios resolvidos, oferece uma abordagem prática para entender conceitos matemáticos avançados, essencial para estudantes e entusiastas da matemática que buscam aprofundar seus conhecimentos em números complexos.

Introdução

A compreensão dos números complexos é fundamental na matemática avançada, especialmente quando exploramos sua representação além da forma cartesiana. O artigo “Forma Polar de Números Complexos: Lista de Exercícios para Métodos Matemáticos” mergulha na essência da forma polar, uma abordagem que revela a beleza e a complexidade desses números de maneira única.

Através da transformação de coordenadas cartesianas para polares, desvendamos uma nova dimensão dos números complexos, onde o módulo e o argumento desempenham papéis cruciais. Este método não apenas simplifica a multiplicação e divisão, mas também abre caminho para a compreensão da fórmula de Moivre, um pilar na resolução de equações polinomiais e na análise de séries de Fourier.

Com uma lista cuidadosamente elaborada de exercícios resolvidos para alunos do nosso curso de Métodos Matemáticos, o artigo propõe uma jornada educativa, desafiando o leitor a aplicar teoricamente o que aprendeu, solidificando assim o conhecimento adquirido. Este recurso é inestimável para estudantes, educadores e profissionais da matemática, oferecendo um caminho claro para dominar a forma polar de números complexos.

Fundamentação Teórica da Forma Polar de um Número Complexo

Em alguns problemas, a forma cartesiana de um numero complexo não é tão prática. Sendo assim, utilizamos uma transformação para os termos x e y da seguinte forma: $$x=r\cos{\theta}$$ e $$y=r\sin{\theta}$$ onde, $$|z| = r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{z\bar{z}}$$ sendo r denominado valor absoluto, ou módulo de z e $$\theta = \arctan{\frac{y}{x}};\;\;\;\;- \pi < \theta \leq \pi$$ que é denominado argumento de z.

Desta forma, $$z=x+iy = r\left( cos(\theta) + i sen(\theta) \right).$$ Esta é chamada de forma trigonométrica ou polar de um número complexo  z , onde o números reais r e \theta são as coordenadas polares do ponto P(x,y) do plano.

Operações Algébricas Envolvendo a Forma Polar

Podemos definir uma regra muito conveniente para a multiplicação de dois números complexos utilizando suas formas polares.

Sejam z_1 = r_1(\cos{\theta _1} + i \sin{\theta _1}) e z_2 = r_2 (\cos{\theta _2} + i\sin{\theta _2}) então $$z_1 . z_2 = r_1 r_2 \left[ \cos{(\theta _1 + \theta _2)} + i \sin{(\theta _1 + \theta _2)} \right]$$ e para a divisão $$\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{ r_2} \left[ \cos{(\theta _1 – \theta _2)} + i \sin{(\theta _1 – \theta _2)} \right].$$

Da fórmula para a multiplicação, provêm a fórmula de potenciação $$z^n = r^n \left( \cos{n \theta} + i \sin{n \theta} \right).$$ Se z=w^n, sendo w um número complexo, daí, $$w = \sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r} \left( \cos{\left( \frac{\theta +2k \pi}{n} \right)} + i \sin{\left( \frac{\theta +2k \pi}{n} \right)} \right).$$

A Fórmula de Moivre

Se n é inteiro, então $$ \left[ r (\cos{\theta} + i \sin{\theta}) \right]^n  = r^n (\cos{n \theta} + i \sin{ n \theta}) .$$

Forma Polar de Números Complexos: Lista de Exercícios

1) Determine a forma polar pos números complexos abaixo e efetue: a) seu produto; b) sua divisão.

i) z = 1 +i ;

ii) z =3 + 3 \sqrt{3} i ;

2) Admitindo a fórmula de Euler $$ e^{ix} = \text{cos}(x) + i \text{sen}(x): $$

a) Calcule e^{2 \pi i } ;

b) Calcule e^{ (\pi i)/4 } ;

c) Prove que $$ \text{cos}(x) = \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2} \qquad \text{e} \qquad \text{sen}(x) = \frac{e^{ix} – e^{-ix}}{2i}$$

d) Calcule e^{ (\pi i)/2 } e conclua que i^{i} = e^{ -\pi /2 }

Conclusão

A forma polar de números complexos não é apenas uma ferramenta matemática; é uma janela para a compreensão profunda dos princípios que regem o universo dos números complexos. Ao dominar essa abordagem, revelamos um mundo de possibilidades analíticas e computacionais.

O artigo fornece uma base sólida nesse aspecto, combinando teoria detalhada com prática aplicada através de uma lista de exercícios. Para estudantes e entusiastas da matemática, representa um passo significativo na jornada de aprendizado, equipando-os com habilidades essenciais para explorar conceitos mais avançados e aplicações práticas dos números

Referências Bibliográficas:

Abaixo seguem os títulos usados como base para este artigo. Para conferir os títulos específicos basta clicar nos links em azul.

1. KREYSZIG, E. Advanced Engineering Mathematics, John Wiley & Song, Inc., 8th Edition, 1999.
2. ÁVILA, Geraldo S. S. Variáveis Complexas e Aplicações. 3ª Edição. Rio de Janeiro: LTC, 2000.
3. ZILL, Dennis G. “Curso Introdutório à Análise Complexa com Aplicações”. 2ª edição, LTC, Rio de Janeiro, 2011 
4. LIMA, Elon Lages, CARVALHO, Paulo Cezar Pinto, WAGNER, Eduardo e MORGADO, Augusto César. “A Matemática do Ensino Médio, volume 3”.

Leia Mais:

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