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Nesse artigo queremos estabelecer funções que levem números complexos em outros números complexos. Desta forma, podemos estabelecer os números z = x+ i y como variáveis complexas. Considerando agora duas variáveis complexas, z e w , definiremos uma relação de w com z que será chama da de função complexa.
As funções complexas são relações entre dois subconjuntos de números complexos e aparecem da necessidade de trabalhar problemas práticos que demandam métodos que os números reais não bastam. Muitos problemas originados da modelagem de fenômenos naturais podem ser tratados e resolvidos por métodos de análise complexa.
Grosso modo, estes problemas podem ser subdivididos em duas grandes classe. A primeira classe consiste de “problemas elementares” para os quais o conhecimento básico dos números complexos são suficientes, como, por exemplo, muitas aplicações com ligações com circuitos elétricos e sistemas de vibrações mecânicas.
A segunda classe de problemas demandam um detalhado conhecimento da teoria das funções analíticas complexas e os poderoso e elegantes métodos usados neste campo da matemática. Problemas interessantes na teoria do calor, dinâmica dos fluidos e eletrostática pertencem a esta categoria.
Funções de Variáveis Complexas
Seja S um conjunto de números complexos. Uma função f definida em S é uma regra que associa cada z do conjunto S a um número complexo w, denominado valor de f em z.
Desta forma, escrevemos $$f(z) = w,$$ onde z é denominada variável complexa, o conjunto S é o domínio da função f. O conjunto $$\{ f(z); z \in S \}$$ é denominado imagem de f.
A cada função w = f(z), de uma variável complexa z=x+iy, estão associadas duas funções reais das variáveis reais x y, dadas por $$u=u(x,y)= Re(f(z))$$ e $$v=v(x,y)= Im(f(z)),$$ ou seja, f(z) = u(x,y)+iv(x,y).
OBSERVAÇÃO (Funções Multivalentes): É claro que o valor de uma função tem de ser determinado univocamente, de forma que a expressão “função multivalente”, a rigor, é imprópria, mas é usada por ser conveniente: sabemos do que estamos falando. Em contraposição, para evitar qualquer dúvida, às vezes usa-se o termo “função univalente”. A função logarítmica complexa, por exemplo, será definida multivalente, assim como a função exponencial, mas serão tornadas univalentes.
Exceto quando especificado, nós devemos assumir que as funções consideradas serão univalentes.
Um Breve Resumo Sobre Os Números Complexos
Um número complexo z é um par ordenado (x,y) de número reais x e y onde se escreve $$z=(x,y)$$ e denominamos x de parte real e y de parte imaginária de z e escrevemos $$x=Re(z)\;\;\;e\;\;\;y=Im(z).$$
Na prática, um número complexo z=(x,y) é representado na forma $$z=x+iy=Re(z)+Im(z) i$$ que é denominada forma cartesiana de z, onde i^2 = -1 . Se Re(z) = 0, então z é chamado de imaginário puro.
O conjugado de um número complexo z=x+yi é denotado por \bar{z} e é dado por $$\bar{z} = x-yi.$$ Em alguns problemas, a forma cartesiana de um numero complexo não é tão prática.
Sendo assim, utilizamos uma transformação para os termos x e y da seguinte forma: $$x=r\cos{\theta}$$ e $$y=r\sin{\theta}$$ onde, $$|z| = r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{z\bar{z}}$$ sendo r denominado valor absoluto, ou módulo de z e $$\theta = \arctan{\frac{y}{x}};\;\;\;\;- \pi < \theta \leq \pi$$ que é denominado argumento de z. Desta forma, $$z=x+iy = r\left( cos(\theta) + i sen(\theta) \right).$$
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Exemplos de Funções de Variáveis Complexas
EXEMPLO 1: Considere w = f(z)= \dfrac{3z-5i}{(z-i)(z+7)}. Daí, o domínio de f é o conjunto $$\{ z; z\neq i\;\; e\;\; z \neq -7 \}$$ e a imagem de f é dada pelo conjunto $$\left\{ w = \frac{3z-5i}{(z-i)(z+7)}; z\neq i\;\; e\;\; z \neq -7 \right\}.$$
EXEMPLO 2: Uma função de variável complexa pode assumir valores puramente reais, com por exemplo, $$f(z) = |z| = \sqrt{x^2+y^2}.$$
EXEMPLO 3: Considere a função f(z) = z^2+3z-5. Daí, sendo z=x+iy, temos que u(x,y) = x^2 - y^2 +3x-5 e v(x,y) = 2xy+3y.
EXEMPLO 4: Considere a função f(z) = exp{(z^2+4z)}. Daí, sendo z=x+iy, temos que u(x,y) = e^{x^2-y^2+4x} \cos{(2xy +4y)} e v(x,y) = e^{x^2-y^2+4x} \sin{(2xy +4y)}.
EXEMPLO 5: Vamos determinar o valor de f(z) = 3 \overline{z} = 3x-3iy no ponto z = 2 + 4i . Fazendo x = 2 e y = 4 , obtemos $$f(2 + 4i) = 6 – 12 i .$$
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