Matrizes e Determinantes – Lista de Exercícios

1) Calcule o determinante da matriz $$A = \left[ \begin{array}{rrrr} 8 & 0 & -4 & 1\\ 2 & 3 & 2 & 2 \\ 1 & -3 & 5 & 7\\ -4 & 0 & 2 & 5\\ \end{array} \right].$$

2) Considere as matrizes $$ A = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & -2 & 1\\ 0 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 1\\ \end{array} \right] \qquad e \qquad B = \left[ \begin{array}{rrr} 2 & 1 & -1\\ 1 & -1 & 0 \\ 2 & -1 & 1\\ \end{array} \right] .$$ Verifique se as matrizes comutam.

3) Encontre, se possível, a inversa da matriz $$ \left[ \begin{array}{rrr} 1 & -1 & -1\\ 3 & -1 & 2 \\ 2 & 2 & 3\\ \end{array} \right] $$ usando o escalonamento.

4) Considere a matriz $$ \left[ \begin{array}{rrr} 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0\\ \end{array} \right] .$$

a) Sendo I_{3} a matriz identidade e t \in \mathbb{R} um número real qualquer. Determine a matriz $$B= A – t \times I_{3} .$$

b) Calcule \text{det} \left( A - t \times I_{3} \right) ;

c) Para quais valores de t \in \mathbb{R} temos \text{det} \left( A - t \times I_{3} \right) = 0 ?

5) Considere o conjunto das matrizes na forma $$ \left[ \begin{array}{rr} x-3 & x+k \\ 1 & x-5 \\ \end{array} \right], \qquad x \in \mathbb{R} . $$ Determine o valor de k para o qual exista exatamente uma matriz não inversível neste conjunto.

6) Sejam A e B duas matrizes quadradas de mesma ordem. Neste caso, sabemos que \text{det}(A \cdot B) = \text{det}(A) \cdot \text{det}(B)  . Mostre que, se n \in \mathbb{N}^{*} , temos $$ \text{det} \left( A^{n} \right) = \left[ \text{det}(A) \right]^{n}.$$

7) Sendo A uma matriz inversível, mostre que $$ \text{det} \left( A^{-1} \right) =  \frac{1}{\text{det}(A)} .$$