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Procura exercícios resolvidos sobre como calcular o determinante de uma matriz quadrada? Aqui temos 10 deles usando a Regra de Sarrus e o Teorema de Laplace.
Uma matriz A, m \times n (lê-se: m por n), é uma tabela de m \cdot n números dispostos em m linhas e n colunas. Desta forma, representamos uma matriz colocando a tabela dentro de parênteses ou de colchetes, ou ladeado a tabela, à esquerda e à direita, por duas barras verticais, do seguinte modo: $$ A = \left[ \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \ddots & \cdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\\ \end{array} \right] .$$
O determinante associa a cada matriz quadrada A um único número real que denominamos determinante de A. Indicamos este número real por \text{det} (A) ou colocamos o elementos da matriz A entre duas barras verticais.
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A Regra de Sarrus
Para calcularmos o determinante de uma matriz de ordem 3, usamos um dispositivo prático conhecido como Regra de Sarrus, descoberta pelo matemático francês P. F. Sarrus, em 1833.
Considerando ainda a matriz $$A = \left[ \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{array} \right],$$ para calcular o determinante desta utilizando a Regra de Sarrus:
- À direita da matriz A repetimos as duas primeiras colunas da matriz;
- Multiplicamos os elementos situados em cada direção paralela à diagonal principal e somamos os produtos;
- Multiplicamos os elementos situados em cada direção paralela à diagonal secundária e do resultado anterior subtraímos esses produtos.
Este dispositivo pode ser ilustrado pelo esquema da figura abaixo:
O Método de Laplace para Determinantes
Dada uma matriz $$ A = \left[ \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \ddots & \cdots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\ \end{array} \right], $$ seu determinante pode ser dado pelo somatório $$ \text{det} (A) = \sum\limits_{i = 1}^{n}{(-1)^{i+j} a_{ij} .M_{ij}} = \\ = (-1)^{1+j} a_{1j} .M_{1j}+(-1)^{2+j} a_{2j} .M_{2j} + … + (-1)^{n+j} a_{nj} .M_{nj}$$ se fixada uma coluna j , ou por $$ \text{det} (A) = \sum\limits_{j = 1}^{n}{(-1)^{i+j} a_{ij} .M_{ij}} = \\ = (-1)^{i+1} a_{i1} .M_{i1}+(-1)^{i+2} a_{i2} .M_{i2} + … + (-1)^{i+n} a_{in} .M_{in}$$ se fixada uma linha i , onde M_{ij}, denominado Menor Complementar do elemento a_{ij} , é o determinante da matriz quadrada de ordem n-1 que se obtêm suprimindo a linha i e a coluna j da matriz A .
10 Exercícios Resolvidos Sobre Determinantes
1) Calcule o valor dos determinantes abaixo:
a) A = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 3 & 10 \\ 8 & 4 & 80\\ 1 & 0 & -25\\ \end{array} \right] ;
SOLUÇÃO: Aplicando A Regra de Sarrus neste matriz de orem 3, encontramos $$ \text{det}(A) = [1 \times 4 \times (-25)]+[3 \times 80 \times 1] + [10 \times 8 \times 0] – \\ -[1 \times 4 \times 10] – [0 \times 80 \times 1] – [8 \times 3 \times (-25)] = -100 +240 -40+600 = 700.$$
b) B = \left[ \begin{array}{ccc} 3 & 4 & 6 \\ 5 & 1 & 0\\ 2 & 0 & 7\\ \end{array} \right] ;
SOLUÇÃO: Usando a Regra de Sarrus temos que $$ \text{det}(A) = [3 \times 1 \times 7]+[4 \times 0 \times 2] + [5 \times 0 \times 6] – \\ -[2 \times 1 \times 6] – [0 \times 0 \times 3] – [5 \times 4 \times 7] = 21 -12-140 = -131.$$
c) C = \left[ \begin{array}{ccc} 2 & -3 & 2 & 5 \\ 1 & -1 & 1 & 2\\ 3 & 2 & 2 & 1\\ 1 & 1 & -3 & -1\\ \end{array} \right] ;
SOLUÇÃO: Usando o Teorema de Laplace para a primeira linha da matriz, temos que $$ \text{det}(C) = 2 \times A_{11} + (-3) \times A_{12} + 2 \times A_{13}+ 5 \times A_{14} $$ onde $$ A_{11} = (-1)^{1+1} \left| \begin{array}{ccc} -1 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \\ 1 & -3 & -1\\ \end{array} \right| = -14 \qquad A_{12} = (-1)^{1+2} \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \\ 1 & -3 & -1\\ \end{array} \right| = 11 $$ $$ A_{13} = (-1)^{1+3} \left| \begin{array}{ccc} 1 & -1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & -1\\ \end{array} \right| = -5 \qquad A_{14} = (-1)^{1+4} \left| \begin{array}{ccc} 1 & – 1 & 1 \\ 3 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & -3\\ \end{array} \right| = 18$$ Assim, $$ \text{det}(C) = 2 \times (-14) + (-3) \times (17) + 2 \times(-5) + 5 \times 18 = 1. $$
OBS: Neste item também poderíamos ter usado o Teorema de Jacobi e encontrado uma matriz escalonada equivalente (ou semelhante) à C dada por $$\left[ \begin{array}{ccc} 2 & -3 & 2 & 5 \\0 & 1/2 & 0 & -1/2\\0 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1\\ \end{array} \right]$$ que tem determinante igual à matriz C. De fato, usando a quarta linha temos que $$\text{det}(A) = (-1)^{4+4} \times (-1) \left| \begin{array}{ccc} 2 & -3 & 2 \\ 0 & 1/2 & 0 \\ 0 & 0 & -1\\ \end{array} \right| = 1.$$
d) D = \left[ \begin{array}{ccc} 3 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 3 & 2\\ 23 & 5 & 4 & 3\\ -9 & 3 & 0 & 2\\ \end{array} \right] .
SOLUÇÃO: Usando a primeira linha desta matriz temos que $$ \text{det}(D) = 3 \times A_{11} + 0 \times A_{12} + 0 \times A_{13}+ 0 \times A_{14} = \\ = 3\times (-1)^{1+1} \left| \begin{array}{ccc} 2 & 3 & 2 \\ 5 & 4 & 3 \\ 3 & 0 & 2\\ \end{array} \right| = 3 \times (-11) = -33$$
e) E = \left[ \begin{array}{ccc} 3 & 1 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 5 & -2\\ 2 & -1 & 1 & -5\\ 0 & 4 & -1 & 0\\ \end{array} \right] .
SOLUÇÃO: Vamos calcular o determinante desta matriz usando o elementos da quarta linha: $$ \text{det}(E) = 4 \times A_{42} + (-1) \times \times A_{43} = \\ = 4 \times (-1)^{4+2} \left| \begin{array}{ccc} 3 & 0 & 6 \\ 0 & 5 & -2 \\ 2 & 1 & -5\\ \end{array} \right| + (-1) \times (-1)^{4+3} \left| \begin{array}{ccc} 3 & 1 & 6 \\ 0 & 2 & -2 \\ 2 & -1 & -5\\ \end{array} \right|= 3 \times (-11) = -580.$$
2) Se A = \left[\begin{array}{cc} 2 & 1\\ 3 & 4\\ \end{array} \right] e B = \left[\begin{array}{cc} 4 & 2\\ 3 & -1\\ \end{array} \right] calcule o número real m tal que \text{det} (A-mB) =0 .
SOLUÇÃO: Observe que $$ A-mB = \left[\begin{array}{cc} 2 & 1\\ 3 & 4\\ \end{array} \right] – m \left[\begin{array}{cc} 4 & 2\\ 3 & -1\\ \end{array} \right] = \left[\begin{array}{cc} 2-4m & 1-2m\\ 3-3m & 4+m\\ \end{array} \right].$$ Como \text{det} (A-mB) =0 , devemos ter: $$ (2-4m)(4+m)-(3-3m)(1-2m) = 0$$ $$-10m^2 – 5m +5 = 0 \Leftrightarrow m = -1 \text{ ou } m = \frac{1}{2}.$$
3) Resolva a equação $$ det(A) = \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ x & x+1 & 2x+1\\ x^2 & (x+1)^2 & (2x+1)^2\\ \end{array} \right| = 0 $$
SOLUÇÃO: Aplicando a Regra de Sarrus, encontramos $$ \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ x & x+1 & 2x+1\\ x^2 & (x+1)^2 & (2x+1)^2\\ \end{array} \right| = \\ = \left( x+1\right) {{\left( 2 x+1\right) }^{2}}-x {{\left( 2 x+1\right) }^{2}}+x {{\left( x+1\right) }^{2}}- \\ – {{\left( x+1\right) }^{2}} \left( 2 x+1\right) +{{x}^{2}} \left( 2 x+1\right) -{{x}^{2}} \left( x+1\right) = \\ = x^2 + x = 0 \Leftrightarrow x= 0 \text{ ou } x = -1 .$$
OBS: Note que este determinante poderia ser facilmente calculado usando a técnica de Vandermonde, pois ele satisfaz as condições: $$ \text{det}(A) = \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ x & x+1 & 2x+1\\ x^2 & (x+1)^2 & (2x+1)^2\\ \end{array} \right| = \\ = \left[ (x+1) -x\right] \times \left[ (2x+1) -(x+1)\right] \times \left[ (2x+1) -x\right]= 0 \\ \left[ 1 \right] \times \left[ x+1\right] \times \left[ x\right] = 0 \Leftrightarrow x (x+1) = 0 \Leftrightarrow x =0 \text{ ou } x = -1 .$$
4) Calcule o determinante da matriz Jacobiana da mudança de coordenadas cartesianas para coordenadas cilíndricas dada por $$J = \left[ \begin{array}{ccc} \text{cos} ( \theta ) & -r \text{sen} ( \theta ) & 0 \\ \text{sen} ( \theta ) & r \text{cos} ( \theta ) & 0\\ 0 & 0 &1\\ \end{array} \right] $$
SOLUÇÃO: Usando a Regra de Sarrus, temos que $$\text{det}(J) = \left| \begin{array}{ccc} \text{cos} ( \theta ) & -r \text{sen} ( \theta ) & 0 \\ \text{sen} ( \theta ) & r \text{cos} ( \theta ) & 0\\ 0 & 0 &1\\ \end{array} \right| = r\text{cos}^2 ( \theta ) – [ – r \text{sen} ^2 ( \theta ) ] = r \left( \text{cos}^2 ( \theta ) + \text{sen}^2 ( \theta ) \right) = r. $$
5) Determine os valores de \theta , de maneira que o determinante $$ \left| \begin{array}{ccc} \text{cos} ( \theta ) & 0 & \text{sen} ( \theta ) \\ \text{sen} ( \theta ) & 1 & \text{cos} ( \theta ) \\ \text{cos} ( \theta ) & \text{sen} ( \theta ) & \text{sen} ( \theta ) \\ \end{array} \right| $$ seja nulo.
SOLUÇÃO: De forma direta temos que $$ \left| \begin{array}{ccc} \text{cos} ( \theta ) & 0 & \text{sen} ( \theta ) \\ \text{sen} ( \theta ) & 1 & \text{cos} ( \theta ) \\ \text{cos} ( \theta ) & \text{sen} ( \theta ) & \text{sen} ( \theta ) \\ \end{array} \right| = \text{sen} ^3 ( \theta ) – \text{sen} ( \theta ) \text{cos} ^2 ( \theta ) = 0 \Rightarrow \\ \Rightarrow \text{sen} ( \theta ) \left[ \text{sen}^2 ( \theta ) – \text{cos}^2 ( \theta )\right] = 0 \Rightarrow \text{sen} ( \theta )=0 \text{ ou } \text{sen} ( \theta ) = \pm \text{cos} ( \theta ) $$
Da primeira possibilidade \text{sen} ( \theta )=0 vem que $$ \theta = \pm k \pi; \qquad k =0,1,2,3,… $$ Da segunda possibilidade \text{sen} ( \theta ) = \pm \text{cos} ( \theta ) vem que $$ \theta = \frac{ \pi }{4} \pm k \frac{\pi}{2}; \qquad k =0,1,2,3,… $$
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6) Seja a matriz A = \left[ \begin{array}{ccc} x & y \\ z & t \\ \end{array} \right] , onde x,y,z e t \in \mathbb{R} . Se os números x,y,z e t , nessa ordem, constituem uma progressão geométrica de razão 1/2 , qual é o valor do determinante dessa matriz?
SOLUÇÃO: Se (x,y,z,t) é uma progressão geometrica de razão 1/2 , podemos escrever (x,y,z,t) = \left( x, \frac{1}{2}x , \frac{1}{4}x , \frac{1}{8}x \right). Assim, $$ \text{det}(A) = \left| \begin{array}{ccc} x & y \\ z & t \\ \end{array} \right| = \left| \begin{array}{ccc} x & \frac{1}{2}x \\ \frac{1}{4}x & \frac{1}{8}x \\ \end{array} \right| = \frac{1}{8}x^2 – \frac{1}{8}x^2 = 0.$$
7) Dadas as matrizes A = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 2\\ 4 & 7 & 5\\ \end{array} \right] , B = \left[ \begin{array}{ccc} 5 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 3\\ -4 & 0 & -6\\ \end{array} \right] e C = \left[ \begin{array}{ccc} x & 0 & 0 \\ 0 & x & 0\\ 0 & 0 & x\\ \end{array} \right] , determine todos os números reais x tais que o determinante da matriz (C-AB) seja positivo.
SOLUÇÃO: Vamos construir a matriz (C-AB) : $$ A B = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 2\\ 4 & 7 & 5\\ \end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{ccc} 5 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 3\\ -4 & 0 & -6\\ \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1\\ 2 & 0 & 1\\ 0 & 0 & -1\\ \end{array} \right]$$ $$ C – AB = \left[ \begin{array}{ccc} x & 0 & 0 \\ 0 & x & 0\\ 0 & 0 & x\\ \end{array} \right] – \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1\\ 2 & 0 & 1\\ 0 & 0 & -1\\ \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} x-1 & 0 & 1\\ -2 & x & -1\\ 0 & 0 & x+1\\ \end{array} \right] .$$ Desta forma, $$ \text{det}(C-AB) = \left| \begin{array}{ccc} x-1 & 0 & 1\\ -2 & x & -1\\ 0 & 0 & x+1\\ \end{array} \right| = x \left(x^2 -1 \right).$$ Para que este determinante seja positivo, devemos ter $$ x\left(x^2 -1 \right) > 0 \Leftrightarrow -1 < x <0 \text{ ou } x>1.$$
8) Mostre que o determinante de uma matriz quadrada de ordem 3 calculado pelo teorema de Laplace é igual ao encontrado pela Regra de Sarrus.
SOLUÇÃO: Considere a matriz $$A = \left[ \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{array} \right].$$ Aplicando o teorema de Laplace na primeira linhas desta matriz para calcular seu determinante temos que $$\text{det}(A) = a_{11} (-1)^{1+1} \left| \begin{array}{ccc} a_{22} & a_{23}\\ a_{32} & a_{33}\\ \end{array} \right| + a_{12} (-1)^{1+2} \left| \begin{array}{ccc} a_{21} & a_{23}\\ a_{31} & a_{33}\\ \end{array} \right| + a_{13} (-1)^{1+3} \left| \begin{array}{ccc} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{array} \right| = \\ = a_{11} \left| \begin{array}{ccc} a_{22} & a_{23}\\ a_{32} & a_{33}\\ \end{array} \right| – a_{12} \left| \begin{array}{ccc} a_{21} & a_{23}\\ a_{31} & a_{33}\\ \end{array} \right| + a_{13} \left| \begin{array}{ccc} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{array} \right| = \\ = a_{11} \left[ a_{22} a_{33} – a_{23} a_{32} \right] – a_{12} \left[ a_{21} a_{33} – a_{31} a_{23}\right] + a_{13} \left[ a_{21} a_{32} – a_{31} a_{22}\right] = \\ = a_{11} a_{22} a_{33} + a_{12}a_{31} a_{23} + a_{13} a_{21} a_{32} – a_{11} a_{23} a_{32} – a_{12} a_{21} a_{33} – a_{13} a_{31} a_{22}$$ que é exatamente o determinante da matriz A pela Regra de Sarrus.
9) Se a matriz A_{2 \times 2} possui determinante igual a 3. Qual é o valor de det(A) + det(2A)?
SOLUÇÃO: Pela propriedade dada por $$ \text{det}( k A) = k^n \text{det}(A) $$ sendo n a ordem da matriz, temos que $$ \text{det}(A) + \text{det}(2A) = 3 + 2^2 \times 3 = 3 +12 = 15.$$
10) Seja a matriz B = \left( b_{ij} \right)_{3 \times 3} tal que $$ b_{ij} = \left\{ \begin{array}{rll} 1 & ; & i < j \\ 2 & ; & i = j \\ -1 & ; & i > j \\ \end{array} \right. $$ Calcule o determinante de B .
SOLUÇÃO: A matriz B é dada por $$ B = \left[ \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 1\\ -1 & 2 & 1 \\ -1 & -1 & 2\\ \end{array} \right] $$ e tem determinante, calculado pela Regra de Sarrus, dado por $$ \left| \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 1\\ -1 & 2 & 1 \\ -1 & -1 & 2\\ \end{array} \right| = 8 +1-1+2+2+2 = 14.$$
| Livro indicado para ajudar nesta lista de exercícios sobre Determinantes: “Álgebra linear”, de Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle. |
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