Adição de Matrizes | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos

Cinco exercícios resolvidos para você entender de vez o processo que envolve a adição, ou soma, de duas matrizes.

Uma matriz A, m \times n (lê-se: m por n), é uma tabela de m \cdot n números dispostos em m linhas e n colunas. Desta forma, representamos uma matriz colocando a tabela dentro de parênteses ou de colchetes, ou ladeado a tabela, à esquerda e à direita, por duas barras verticais, do seguinte modo: $$ A = \left[ \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \ddots & \cdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\\ \end{array} \right] .$$

A soma de duas matrizes de mesmo tamanho A = \left[ a_{ij} \right]_{m×n} e B = \left[ b_{ij} \right] _{m×n} é definida como sendo a matriz m × n $$C_{m×n} = A_{m×n} + B_{m×n}$$ obtida somando-se os elementos correspondentes de A e B, ou seja, c_{ij} = a_{ij} + b_{ij} , para i = 1, . . . ,m e j = 1, . . . , n. Escrevemos também [A + B]_{ij} = a_{ij} + b_{ij}. A subtração é dada de forma análoga por [A - B]_{ij} = a_{ij} - b_{ij}.

Matricialmente, sendo $$ A = \left[\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \ddots & \cdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\\ \end{array} \right] \text{  e  } B = \left[ \begin{array}{cccc} b_{11} & b_{12} & \ldots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \ldots & b_{2n} \\ \vdots & \ddots & \cdots & \vdots \\ b_{m1} & b_{m2} & \cdots & b_{mn}\\ \end{array} \right]$$  então a soma C = A + B será dada por $$ C_{m×n} = A_{m×n} + B_{m×n} = \left[\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \ddots & \cdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\\ \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{cccc} b_{11} & b_{12} & \ldots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \ldots & b_{2n} \\ \vdots & \ddots & \cdots & \vdots \\ b_{m1} & b_{m2} & \cdots & b_{mn}\\ \end{array} \right]  = $$ $$ = \left[ \begin{array}{cccc} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12}& \ldots & a_{1n} + b_{1n}\\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22}& \ldots & a_{2n} + b_{2n} \\ \vdots & \ddots & \cdots & \vdots \\ a_{m1} + b_{m1} & a_{m2} + b_{m2} & \cdots & a_{mn} + b_{mn}\\ \end{array} \right] $$

Lista de Exercícios Resolvidos Sobre Adição de Matrizes

1) Mostre que para quaisquer matrizes A_{m \times n} e B_{m \times n} temos  (A+B)^{T} = A^{T}+B^{T} .

Solução: Considerando $$A = \left[\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \ddots & \cdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\\ \end{array} \right] \text{  e  } B = \left[ \begin{array}{cccc} b_{11} & b_{12} & \ldots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \ldots & b_{2n} \\ \vdots & \ddots & \cdots & \vdots \\ b_{m1} & b_{m2} & \cdots & b_{mn}\\ \end{array} \right] $$ então, $$A^{T} = \left[\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{21} & \ldots & a_{m1} \\ a_{12} & a_{22} & \ldots & a_{m2} \\ \vdots & \ddots & \cdots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{mn}\\ \end{array} \right] \text{  e  } B^{T} = \left[ \begin{array}{cccc} b_{11} & b_{21} & \ldots & b_{m1} \\ b_{12} & b_{22} & \ldots & b_{m2} \\ \vdots & \ddots & \cdots & \vdots \\ b_{1n} & b_{2n} & \cdots & b_{mn}\\ \end{array} \right] .$$ Assim, $$ A^{T} + B^{T} = \left[\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{21} & \ldots & a_{m1} \\ a_{12} & a_{22} & \ldots & a_{m2} \\ \vdots & \ddots & \cdots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{mn}\\ \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{cccc} b_{11} & b_{21} & \ldots & b_{m1} \\ b_{12} & b_{22} & \ldots & b_{m2} \\ \vdots & \ddots & \cdots & \vdots \\ b_{1n} & b_{2n} & \cdots & b_{mn}\\ \end{array} \right]  = \\  = \left[\begin{array}{cccc} a_{11} + b_{11} & a_{21} + b_{21} & \ldots & a_{m1} + b_{m1} \\ a_{12} + b_{12} & a_{22} + b_{22} & \ldots & a_{m2} + b_{m2} \\ \vdots & \ddots & \cdots & \vdots \\ a_{1n} + b_{1n}& a_{2n} + b_{2n} & \cdots & a_{mn} + b_{mn}\\ \end{array} \right] = \\ = \left[ \begin{array}{cccc} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12}& \ldots & a_{1n} + b_{1n}\\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22}& \ldots & a_{2n} + b_{2n} \\ \vdots & \ddots & \cdots & \vdots \\ a_{m1} + b_{m1} & a_{m2} + b_{m2} & \cdots & a_{mn} + b_{mn}\\ \end{array} \right]^{T} = \\ = \left(  \left[\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \ddots & \cdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\\ \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{cccc} b_{11} & b_{12} & \ldots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \ldots & b_{2n} \\ \vdots & \ddots & \cdots & \vdots \\ b_{m1} & b_{m2} & \cdots & b_{mn}\\ \end{array} \right] \right)^{T} = (A+B)^{T} .$$

2) Sejam as matrizes $$ A = \left[ \begin{array}{ccc} 2 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & -3 \\ 1 & 0 & 4 \\ \end{array} \right], \qquad B = \left[ \begin{array}{ccc} 3 & 3 & 3 \\ 3 & 0 & 5 \\ 6 & 9 & -1 \\ \end{array} \right], \qquad C = \left[ \begin{array}{ccc} 4 & 4 & 4 \\ 5 & -1 & 0 \\ 7 & 8 & 1 \\ \end{array} \right].$$ Determine a matriz que resulta da soma A - 6B - 2C .

Solução: $$ A – 6B – 2C = \left[ \begin{array}{ccc} 2 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & -3 \\ 1 & 0 & 4 \\ \end{array} \right] – 6 \cdot  \left[ \begin{array}{ccc} 3 & 3 & 3 \\ 3 & 0 & 5 \\ 6 & 9 & -1 \\ \end{array} \right] – 2 \cdot \left[ \begin{array}{ccc} 4 & 4 & 4 \\ 5 & -1 & 0 \\ 7 & 8 & 1 \\ \end{array} \right] = \\ \\ = \left[ \begin{array}{ccc} 2 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & -3 \\ 1 & 0 & 4 \\ \end{array} \right] +  \left[ \begin{array}{ccc} -18 & -18 & -18 \\ -18 & 0 & -30 \\ -36 & -54 & 6 \\ \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{ccc} -8 & -8 & -8 \\ -10 & 2 & 0 \\ -14 & -16 & -2 \\ \end{array} \right] = \\ \\ = \left[ \begin{array}{ccc} -24 & -24 & -24 \\ -26 & 3 & -33 \\ -49 & -70 & 8 \\ \end{array} \right] $$

3) Resolva a equação matricial $$ X_{2 \times 2} \; – \left[ \begin{array}{cc} 2 & -1 \\ -3 & 4 \\ \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} 1 & \frac{1}{2}\\ 3 & -5 \\ \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{cc} -2 & \frac{3}{2} \\ -4 & 3 \\ \end{array} \right].$$

Solução: A matriz X_{2 \times 2} procurada é X = \left[  \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \\ \end{array} \right] . Daí, temos que $$ \left[  \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \\ \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{cc} 2 & -1 \\ -3 & 4 \\ \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} 1 & \frac{1}{2}\\ 3 & -5 \\ \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{cc} -2 & \frac{3}{2} \\ -4 & 3 \\ \end{array} \right] \\ \left[  \begin{array}{cc} a -2 & b +1 \\ c +3 & d -4 \\ \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} -1 & 2 \\ -1 & -2 \\ \end{array} \right] $$ donde obtemos $$ \left\{ \begin{array}{ccc} a -2 = -1 & \rightarrow & a =1 \\ b +1 =  2 & \rightarrow & b =1 \\ c +3 = -1 & \rightarrow & c = -4 \\ d -4 = -2 & \rightarrow & d =2 \end{array} \right.$$ Portanto, X = \left[  \begin{array}{cc} 1 & 1  \\ -4 & 2 \\ \end{array} \right]

4) Resolva o sistema matricial $$ \left\{ \begin{array}{cc} X_{3 \times 1} + Y_{3 \times 1} & = & \left[ \begin{array}{c} 3  \\ 4 \\ 5  \\ \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{c} 2  \\ -1 \\ 3  \\ \end{array} \right] \\ X_{3 \times 1} – Y_{3 \times 1} & = & \left[ \begin{array}{c} 0  \\ 1 \\ -3  \\ \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{c} 1  \\ 1 \\ -6  \\ \end{array} \right]  \end{array} \right.$$

Solução: Fazendo X = \left[ \begin{array}{c} a  \\ b \\ c  \\ \end{array} \right] e Y = \left[ \begin{array}{c} d  \\ e \\ f  \\ \end{array} \right] , obtemos $$ \left[ \begin{array}{c} a + d  \\ b + e \\ c + f  \\ \end{array} \right] =  \left[ \begin{array}{c} 5  \\ 3 \\ 8  \\ \end{array} \right]$$ $$ \left[ \begin{array}{c} a – d  \\ b – e \\ c – f  \\ \end{array} \right] =  \left[ \begin{array}{c} 1  \\ 2 \\ -9  \\ \end{array} \right]$$ o que nos leva em $$ \left\{ \begin{array}{ccc} a+d & = & 5 \\ a-d & = & 1\\ \end{array} \right. $$ $$ \left\{ \begin{array}{ccc} b + e & = & 3 \\ b – e & = & 2\\ \end{array} \right. $$ $$ \left\{ \begin{array}{ccc} c + f & = & 8 \\ c – f & = & -9\\ \end{array} \right. $$ Resolvendo cada sistema linear separadamente obtemos $$ a = 3 \text{ ; } d = 2; \\ b = \frac{5}{2} \text{ ; } e = \frac{1}{2}; \\ c = -\frac{1}{2} \text{ ; } f = \frac{17}{2}.$$ Portanto,  Fazendo X = \left[ \begin{array}{c} 3  \\ 5/2 \\ -1/2  \\ \end{array} \right] e Y = \left[ \begin{array}{c} 2  \\ 1/2 \\ 17/2  \\ \end{array} \right] .

5) Determine x,y e z de modo que se tenha $$\left[ \begin{array}{cc} x-2 & 4 \\ y+1 & 3 \\ \end{array} \right] +  \left[ \begin{array}{cc} 1 & 2z-3 \\ -3 & 1 \\ \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} 3 & z \\ 2 & 4 \\ \end{array} \right] $$

Solução: $$ \left[ \begin{array}{cc} x-1 & 2z+1 \\ y-2 & 4 \\ \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} 3 & z \\ 2 & 4 \\ \end{array} \right]$$ Logo, obtemos $$ x -1 = 3 \Leftrightarrow x = 4 \\ 2z+1 = z \Leftrightarrow z = -1 \\ y-2 = 2 \Leftrightarrow y = 4 .$$

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