Introdução às Matrizes: 1ª Lista de Exercícios Resolvidos

Nesta lista queremos explorar cinco exercícios envolvendo os conceitos básicos das matrizes.

Uma matriz A, m \times n (lê-se: m por n), é uma tabela de m \cdot n números dispostos em m linhas e n colunas. Desta forma, representamos uma matriz colocando a tabela dentro de parênteses ou de colchetes, ou ladeado a tabela, à esquerda e à direita, por duas barras verticais, do seguinte modo: $$ A = \left[ \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \ddots & \cdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\\ \end{array} \right] .$$

Neste sentido, podemos estabelecer que a i- ésima linha de A é dada por $$\left[ \begin{array}{cccc} a_{i1} & a_{i2} & \ldots & a_{in} \end{array} \right]$$para j = 1, . . . ,n e a j- ésima coluna de A é $$\left[ \begin{array}{cccc} a_{1j} \\ a_{2j} \\ \vdots \\ a_{mj}\\ \end{array} \right] .$$ Dizemos que a_{ij} é o elemento ou a entrada de posição i,j da matriz A.

Indicaremos por \mathbb{M}_{m \times n} \left( \mathbb{R} \right) como o conjunto das matrizes reais de ordem m \times n. Se m = n, ao invés de \mathbb{M}_{n \times n} \left( \mathbb{R} \right) usa-se a notação \mathbb{M}_{n} \left( \mathbb{R} \right) .

Artigos sobre Matrizes que auxiliarão a resolver esta lista de exercícios:

• Matrizes – Definições Básicas e Primeiros Exemplos
• Estes são os 10 Principais Tipos de Matrizes na Matemática

Introdução às Matrizes – 1ª Lista de Exercícios

1. Constua a matriz A = \left( a_{ij} \right)_{2 \times 3} sabendo que a a_{ij} = 3i-j+1 .

SOLUÇÃO: A matriz que queremos encontrar tem a forma $$ A = \left[ \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ \end{array} \right] .$$ Usando a lei de formação dos elementos desta matriz, obtemos $$ a_{11} = 3 (1) – +1 = 3 \\ a_{12} = 3 (1)-2+1 = 2 \\ a_{13} = 3(1)-3+1 = 1 \\ a_{21} = 3(2) – 1 +1 = 6 \\ a_{22} = 3(2)-2+1 = 5 \\ a_{23} = 3(2)-3+1 = 4$$ Portanto, $$ A = \left[ \begin{array}{cccc} 3 & 2 & 1 \\ 6 & 5 & 4 \\ \end{array} \right] .$$

2. Represente a matriz B = \left( b_{ij} \right)_{2 \times 2} tal que $$ b_{ij} = \left\{ \begin{array}{rll} i+j & ; & i \neq j \\ i^2 & ; &  i = j \\ \end{array} \right. $$

SOLUÇÃO: A matriz que queremos encontrar tem a forma $$ B = \left[ \begin{array}{cccc} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \\ \end{array} \right] .$$ Usando a lei de formação dos elementos desta matriz, obtemos $$ b_{11} = 1^1 = 1 \\ b_{12} = 1+2 = 3 \\ b_{21} = 2+1 = 3\\ b_{22} = 2^2 = 4$$ Portanto, $$ b = \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 3 \\ 3 & 4 \\ \end{array} \right] .$$

3. Dada a matriz C = \left( b_{ij} \right)_{3 \times 3} tal que c_{ij} =2i+j , determine:

a) A soma dos elementos da diagonal principal;

SOLUÇÃO: A soma dos elementos da diagonal principal é dada por $$ a_{11}+ a_{22} + a_{33} = \\ [2(1)+1] + [2(2)+2] + [2(3)+3] = \\ = 3 + 6 + 9 = 18.$$

b) A soma dos elementos da diagonal secundária.

SOLUÇÃO: A soma dos elementos da diagonal secundária é dada por $$ a_{13}+ a_{22} + a_{31} = \\ [2(1)+3] + [2(2)+2] + [2(3)+1] = \\ = 5 + 6 + 7 = 18.$$

4. Determine b \in \mathbb{R} para que a matriz $$ A= \left[ \begin{array}{cccc} 3 & & 2b \\ \\ b^2 & & b \\   \end{array} \right]$$ seja simétrica. Existe algum valor de b \in \mathbb{R} que a torne anti-simétrica, ou seja, que A^{T} = - A ?

SOLUÇÃO: Para que a matriz A seja simétrica precisamos que A = A^{T} , ou seja, $$ \left[ \begin{array}{cccc} 3 & & 2b \\ \\ b^2 & & b \\   \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cccc} 3 & & b^2 \\ \\ 2b& & b \\   \end{array} \right] $$ Logo, devemos ter $$ 3 = 3; \qquad 2b = b^2 \qquad b = b .$$ Portanto, $$ b^2 -2b = 0$$ é a condição para que a matriz seja simétrica. Ou seja, $$ b=0 \text{ e } b = 2.$$ Em contrapartida, não existe valor de b \in \mathbb{R} que faça a matriz A , pois $$ A = – A^{T} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{cccc} 3 & & 2b \\ \\ b^2 & & b \\   \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cccc} -3 & & -b^2 \\ \\ -2b& & -b \\   \end{array} \right] \Leftrightarrow 3 = -3, $$ o que é um absurdo.

5. Associe uma matriz quadrada de ordem 4 à figura abaixo, de modo que a_{ij} = 1 se os pontos i e j estiverem ligados e a_{ij} = 0 se os pontos i e j não estiverem ligados.

SOLUÇÃO: Para montar a matriz, devemos “combinar” os pontos dois a dois, incluindo a combinação de cada ponto com ele mesmo. Assim, na matriz teremos:

• a_{11} = a_{22} = a_{33} = a_{44} = 1 , pois todos os pontos estão ligados a si mesmos;
• a_{12} = a_{13} = a_{14} = a_{21} = a_{23} = a_{31} = a_{32} = a_{41} = 1 , pois representam pontos ligados entre si;
• a_{24} = a_{34} = a_{42} = a_{43} = 0 , pois representam todos os pontos que não estão ligados entre si.

Portanto, a matriz procurada é $$ \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 &0 & 1 \\ \end{array} \right] .$$

6. Chama-se traço de uma matriz quadrada a soma dos elementos de sua diagonal principal. Determine o traço de cada uma das matrizes abaixo:

$$ A ( \theta ) = \left[ \begin{array}{cccc}  \text{cos}^2 ( \theta ) & & 0 \\ \\ 0 & & \text{sen} ^2 ( \theta ) \\   \end{array} \right] \qquad \text{e} \qquad  R ( \theta ) = \left[ \begin{array}{cccc}  \text{sec}^2 ( \theta ) & & – \text{sen}^2 ( \theta ) & & 0 \\ \\ \text{sen}^2 ( \theta ) & & – \text{tan} ^2 ( \theta ) & & 0 \\ 0 & & 0 & & 1  \end{array} \right] $$

SOLUÇÃO: Observe que, por identidade trigonométricas, temos: $$tr\left( A ( \theta ) \right) = \text{cos}^2 ( \theta ) + \text{sin}^2 ( \theta ) = 1 $$ e $$tr\left( R ( \theta ) \right) = \text{sec}^2 ( \theta ) – \text{tan}^2 ( \theta ) +1 = 2 .$$

Leia Mais sobre Matrizes:

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