Inversão de Matrizes | Como calcular inversa de uma matriz?

Em matemática, uma matriz inversa é uma ferramenta poderosa usada para resolver várias equações. Aprenda a calcular e interpretar uma matriz inversa com este guia completo!

Se você é um estudante ou um profissional que lida com álgebra linear, sabe que uma matriz inversa pode ser uma ferramenta inestimável. Uma matriz inversa é um tipo de matriz que, quando multiplicada pela matriz original, fornece a matriz identidade, que é uma matriz com uns ao longo de sua diagonal principal e zeros em outros lugares. Esta operação é conhecida como inversão de matrizes e é útil para resolver equações lineares.

Encontrar a inversa de uma matriz não é uma tarefa fácil. Há certas condições que precisam ser satisfeitas para que a matriz seja invertível. A condição primária é que a matriz deve ter um determinante diferente de zero. Se o determinante for zero, a matriz não possui inversa.

Além disso, a inversão de uma matriz geralmente envolve a execução de operações de linha até que sua forma escalonada seja obtida e, em seguida, a resolução de cada coluna para obter as entradas inversas.

Lembrando que uma matriz A, m \times n (lê-se: m por n), é uma tabela de m \cdot n números dispostos em m linhas e n colunas. Desta forma, representamos uma matriz colocando a tabela dentro de parênteses ou de colchetes, ou ladeado a tabela, à esquerda e à direita, por duas barras verticais, do seguinte modo: $$ A = \left[ \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \ddots & \cdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\\ \end{array} \right] .$$

A Inversa de uma Matriz

No conjunto dos números reais, para todo número diferente de zero a existe um número b, denominado inverso de a que satisfaz: $$a.b=b.a=1,$$ que é indicado por \dfrac{1}{a} ou a^{-1}. No conjunto das matrizes quadradas, podemos definir um elemento com esta “característica”.

A necessidade de resolver equações matriciais do tipo A \times X = B , fez com que se estendesse a teoria de inversão de números reais para as matrizes. Existem algumas formas diferentes de como encontrar a inversa de uma matriz A :

1. Modo direto, partindo da definição;
2. Usando o escalonamento de matrizes espelhando as operações algébricas numa matriz identidade;
3. Usando a matriz cofatora e o determinante de A .

Definição de Matriz Inversa: Uma matriz A, quadrada de ordem n, diz-se inversível se, e somente se, existir uma matriz B, quadrada de ordem n, tal que: $$A.B=B.A=Id_n.$$ A matriz B é denominada inversa de A e é indicada por A^{-1}.

OBSERVAÇÃO: 

1. Nenhum matriz nula é inversível;
2. Toda matriz identidade é inversível e igual à sua inversa;
3. Uma matriz é inversível se, e somente se, seu determinante é diferente de zero.
4. Por consequência da observação anterior, qualquer matriz que tiver linhas ou colunas nulas, ou linhas ou colunas múltiplas, não admitirá inversa.
5. Uma matriz quadrada não inversível é chamada de matriz singular.
6. Uma matriz de ordem 1 é sempre inversível quando sua única entrada é sempre diferente de zero. Alpem disso, se A = [a] , então A^{-1}  = \left[ \dfrac{1}{a} \right] ;
7. Uma matriz diagonal é sempre inversível quando nenhum dos elementos de sua diagonal principal é igual a zero. inversa é também uma matriz diagonal cujos elementos da diagonal principal são dados pelos inversos multiplicativos dos elementos da diagonal principal da matriz original. Matricialmente, queremos dizer que se $$ A = \left[ \begin{array}{cccc} a_{11} & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & a_{22} & \ldots & 0 \\ \vdots & \ddots & \cdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn}\\ \end{array} \right] $$ então $$ A^{-1} = \left[ \begin{array}{cccc} \frac{1}{a_{11}} & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & \frac{1}{a_{22} } & \ldots & 0 \\ \vdots & \ddots & \cdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \frac{1}{ a_{nn} }\\ \end{array} \right] $$

Propriedades da Inversa de uma Matriz

Quando duas matrizes estão envolvidas, não há muito o que fazer sobre a inversão da soma dela. A soma pode, ou não, ser inversível. Porém, algumas propriedades ainda podem ser garantidas para a inversão de matrizes:

1. (A^{-1})^{-1}=A;
2. (A^T)^{-1} = (A^{-1})^T;
3. (A.B)^{-1}=B^{-1}.A^{-1};
4. Dada A, se existir A^{-1}, esta é única.
5. \text{det}(A)^{-1}=\dfrac{1}{\text{det}(A)};

A Matriz Inversa e a Matriz Adjunta

Dada uma matriz quadrada A de ordem n (n\geq 2) , denominamos menor complementar do elemento a_{ij} , e o indicamos por M_{ij}, o determinante da matriz quadrada de ordem n-1 que se obtêm suprimindo a linha i e a coluna j da matriz A . Denominamos de cofator do elemento a_{ij} e indicamos por A_{ij} , o número (-1)^{i+j}.M_{ij}.

É possível provar que a matriz inversa de uma matriz A , caso exista, é dada por $$ A^{-1} = \frac{1}{\text{det} (A) } \left[ \text{cof} (A) \right]^{T}$$ onde \text{cof} (A) é a matriz formada pelos co-fatores de A . A matriz \left( \text{cof} (A) \right)^{T} é a matriz transposta da matriz dos cofatores, também chamada de matriz adjunta.

OBSERVAÇÃO: Esta relação entre a matriz inversa e a matriz adjunta de A nos diz que uma matriz quadrada só admitirá inversa se seu determinante for diferente de zero.

Como Encontrar a Inversa de uma Matriz de Ordem 2?

A inversa de uma matriz A_{2 \times 2} dada por $$ A = \left[ \begin{array}{cccc} a & b \\ c & d \\ \end{array} \right] $$ e que tem determinante $$ \text{det}(A) = ad – \; bc \neq 0 $$ pode ser encontrada usando a Matriz Adjunta como: $$ A^{-1} = \left[ \begin{array}{cccc} a & b \\ c & d \\ \end{array} \right]^{-1} =  \frac{1}{ad-bc} \left[ \begin{array}{cccc} d & -b \\ -c & a \\ \end{array} \right].$$

Uma outra forma de encontrar a matriz inversa de uma matriz de ordem 2 é usando a definição. Para exemplificar, vamos, inicialmente, considerar a matriz A = \left[ \begin{array}{cccc} 3 & 2 \\ 7 & 5 \\ \end{array} \right] e analisar se existe uma matriz inversa desta matriz. Considerando A^{-1} =  \left[ \begin{array}{cccc} x & u \\ y & v \\ \end{array} \right] sabemos que $$ A \times A^{-1} = \left[ \begin{array}{cccc} 3 & 2 \\ 7 & 5 \\ \end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{cccc} x & u \\ y & v \\ \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right] \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow \left[ \begin{array}{cccc} 3x+2y & 3u +2v \\ 7x+5y & 7u+5v \\ \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right] \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{cccc} 3x+2y & = & 1 \\  7x+5y & = & 0 \\ 3u+2v & = & 0 \\ 7u+5v & = & 1 \\ \end{array} \right. $$ que pode ser visto como dois sistemas lineares desacoplados dados por $$\left\{ \begin{array}{cccc} 3x+2y & = & 1 \\  7x+5y & = & 0 \end{array} \right. \qquad \Leftrightarrow \qquad x=5, y = -7, $$ e $$ \left\{ \begin{array}{cccc} 3u+2v & = & 0 \\ 7u+5v & = & 1 \\ \end{array} \right. \qquad \Leftrightarrow \qquad u=-2, v = 3.$$ Portanto, $$ A^{-1} =  \left[ \begin{array}{cccc} 5 & -2 \\ -7 & 3 \\ \end{array} \right] .$$ Note, também, que A^{-1} \times A = Id_{2} .

Como Encontrar a Inversa de uma Matriz Usando Escalonamento?

Daremos aqui um algorítmo para determinar a inversa de uma matriz quadrada.

DEFINIÇÃO: Dada uma matriz A entenderemos por operações elementares com linhas de A , uma qualquer das seguintes alternativas:

1. Permutar duas linhas de A ;
2. Multiplicar uma linha de A por um número diferente de zero;
3. Somar a uma linha A uma outra linha de A multiplicada por um número.

Se uma matriz B puder ser obtida de A através de um número finito destas operações, diz-se que B é equivalente  A e escreve-se B \sim A . Para esta relação valem as propriedades reflexiva (ou seja, A \sim A ), simétrica (ou seja, A \sim B \Leftrightarrow B \sim A )  e transitiva (ou seja, A \sim B, B \sim C \Rightarrow A \sim C ) .

TEOREMA: Uma matriz   A é inversível, se, e somente se, for equivalente à matriz identidade.

Uma matriz escalonada é uma matriz na forma $$ \left[ \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\
0 & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \ddots & \cdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn}\\ \end{array} \right] $$

TEOREMA: Se uma matriz pode ser reduzida à matriz identidade, por uma sequência de operações elementares com linhas, então A é inversível e a matriz inversa de A é obtida a partir da matriz identidade, aplicando-se a mesma sequência de operações com linhas.

O método para encontrar a matriz inversa de A{n \times n} vem diretamente da definição que nos diz: $$A.A^{-1}=Id_n.$$ O método consiste em reduzir a matriz A à matriz identidade usando operações elementares entre linhas e aplicar a mesma sequência de operações elementares numa matriz identidade, para obter A^{-1} . Este método é chamado de Método de Gauss-Jordan.

EXEMPLO: Vamos encontrar a inversa da matriz $$ A = \left[\begin{array}{cccc} 2& 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & -1 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 1\\ -1 & 0 & 0 & 3\end{array} \right]$$

Portanto, a matriz inversa de A é dada por  $$A^{-1} = \left[\begin{array}{cccc} 3& -3 & -3 & 2\\ -5 & 6 & 2 & -4\\ 4 & -5 & -4 & 3\\ 1 & -1 & -1 & 1\end{array} \right]$$

EXEMPLO: Observe que a matriz $$\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1\\ 1 & 2 & 1\\ 0 & 2 & 0\\ \end{array} \right]$$ não admite inversa pois sua forma escalonada não gera a matriz Identidade. De fato,

Leia Mais:

• Matrizes – Definições Básicas e Primeiros Exemplos
• Estes são os 10 Principais Tipos de Matrizes na Matemática
• Como Somar Matrizes? Um guia passo a passo com exemplos
• Como multiplicar matrizes? Um guia passo a passo com exemplos
• Determinante de Matrizes | As Regras de Sarrus, Laplace, Vandermonde e Chió