Inversão de Matrizes | 9 Exercícios Resolvidos sobre Matriz Inversa

Aprenda a calcular a matriz inversa com esta lista de 9 exercícios resolvidos, seja utilizando a matriz adjunta ou o Método de Gauss-Jordan.

Uma matriz A, m \times n (lê-se: m por n), é uma tabela de m \cdot n números dispostos em m linhas e n colunas. Desta forma, representamos uma matriz colocando a tabela dentro de parênteses ou de colchetes, ou ladeado a tabela, à esquerda e à direita, por duas barras verticais, do seguinte modo: $$ A = \left[ \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \ddots & \cdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\\ \end{array} \right] .$$

Uma matriz A, quadrada de ordem n, diz-se inversível se, e somente se, existir uma matriz B, quadrada de ordem n, tal que: $$A.B=B.A=Id_n.$$ A matriz B é denominada inversa de A e é indicada por A^{-1}.

OBSERVAÇÃO: 

1. Nenhum matriz nula é inversível;
2. Toda matriz identidade é inversível e igual à sua inversa;
3. Uma matriz é inversível se, e somente se, seu determinante é diferente de zero.
4. Uma matriz quadrada não inversível é chamada de matriz singular.

É possível provar que a matriz inversa de uma matriz A , caso exista, é dada por $$ A^{-1} = \frac{1}{\text{det} (A) } \left[ \text{cof} (A) \right]^{T}$$ onde \text{cof} (A) é a matriz formada pelos co-fatores de A . A matriz \left( \text{cof} (A) \right)^{T} é a matriz transposta da matriz dos cofatores, também chamada de matriz adjunta.

Outro método para encontrar a matriz inversa de A{n \times n} vem diretamente da definição que nos diz: $$A.A^{-1}=Id_n.$$ O método consiste em reduzir a matriz A à matriz identidade usando operações elementares entre linhas e aplicar a mesma sequência de operações elementares numa matriz identidade, para obter A^{-1} . Este método é chamado de Método de Gauss-Jordan.

Exercícios Resolvidos Sobre a Matriz Inversa

1) Utilize o Método de Gauss-Jordan para encontrar, se possível, a inversa das matrizes abaixo. Quando não for possível encontrar a matriz inversa, justifique.

a) A = \left[\begin{array}{cccc} 2& 1 & 1\\ 4 & -6 & 0\\ -2 & 7 & 2 \end{array} \right] ;

Solução:

b) B = \left[\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 2 \end{array} \right] ;

Solução:

c) C = \left[\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 6\\ 0 & 1 & 5\\ 2 & 3 & 7 \end{array} \right] ;

Solução:

d) D = \left[\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 1\\ 0 & 1 & 2\\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right] ;

Solução: 

e) E = \left[\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 2\\ 0 & 1 & 2\\ 1 & 3 & 4 \end{array} \right] ;

Solução:

f) F = \left[\begin{array}{cccc} 1 & 1 & -1\\ 2 & 1 & 1\\ 3 & -1 & 1 \end{array} \right] ;

Solução: 

2) Mostre que o determinante da matriz $$ A = \left[ \begin{array}{cccc} a & b \\ c & d \\ \end{array} \right] $$ é igual $$ \text{det}(A) = ad – \; bc.$$ Em seguida, usando a Matriz Adjunta de A mostre que se \text{det} (A) \neq 0 , então $$ A^{-1} = \left[ \begin{array}{cccc} a & b \\ c & d \\ \end{array} \right]^{-1} =  \frac{1}{ad-bc} \left[ \begin{array}{cccc} d & -b \\ -c & a \\ \end{array} \right].$$

Solução: Observe que os cofatores  de $$ A = \left[ \begin{array}{cccc} a & b \\ c & d \\ \end{array} \right] $$ são todos dados por $$ A_{11} = d, \qquad A_{12} = -c, \qquad A_{21} = -b, \qquad A_{22} = a.$$ Usando a fórmula do determinante da matriz de ordem 2, sabemos que $$ \text{det}(A) = ad – \; bc.$$ Assim, como a matriz inversa de A é dada pela fórmula $$ A^{-1} = \frac{1}{ \text{det}(A) } \left[ \text{cof}(A)  \right]^{T}$$ então, podemos ver que $$ A^{-1} = \left[ \begin{array}{cccc} a & b \\ c & d \\ \end{array} \right]^{-1} =  \frac{1}{ad-bc} \left[ \begin{array}{cccc} d & -b \\ -c & a \\ \end{array} \right].$$

3) Explique porque a matriz $$ A = \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ \end{array} \right] $$ não admite inversa.

Solução: 

4) Prove que dadas duas matrizes de mesma ordem, A e B , então \left( A.B \right)^{-1} = B^{-1} A^{-1}

Solução: 

5) Uma matriz quadrada se diz ortogonal se é inversível e sua inversa é igual à sua transposta. Matematicamente, A é ortogonal se A^{-1} = A^{T} . Determine, se possível, x,y \in \mathbb{R} tal que a matriz  $$ A = \left[ \begin{array}{cccc} \sqrt{2} & x \\ y & \sqrt{2} \\ \end{array} \right]$$ seja ortogonal . Por fim, prove que o produto de duas matrizes ortogonais é ortogonal.

Solução: 

6) Determine a \in \mathbb{R} para que a matriz real A = \left[\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1\\ 2 & 1 & 2\\ 1 & 2 & a \end{array} \right] seja inversível.

Solução: 

7) Mostre que, se uma matriz é inversível, então \text{det} (A) \neq 0 .

Solução: 

8) Usando a Matriz Adjunta, calcule a inversa da matriz A = \left[\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 4\\ 0 & 2 & 1\\ 3 & 1 & 2 \end{array} \right] .

Solução: 

9) Mostre que \left( A^{-1} \right)^{T} = \left( A^{T} \right)^{-1}

Solução: 

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