Curso Gratuito de Equações Diferenciais Ordinárias de 1ª Ordem

Neste curso gratuito, trazemos aulas, artigos e exercícios resolvidos sobre as equações diferenciais ordinárias de primeira ordem e seus principais métodos de solução.

Neste curso gratuito queremos desenvolver conceitos básicos e teóricos e das equações diferenciais de primeira ordem, desde a ideia de plano de fase e o Teorema de Existência de Unicidade de Soluções, até métodos de solução de equações separáveis, lineares e exatas, passando por técnicas sofisticadas de mudanças de variáveis, em especial para equações homogêneas, de Bernoulli e de Ricatti.

Em geral, uma equação diferencial ordinária de primeira ordem é representada por $$ \frac{dy}{dt}= f\left(t,y \right) $$ onde f é uma função nas variáveis t e y. Nosso problema consiste em: Dada f\left(t,y \right), encontre funções y(t) que satisfaçam essa equação.

Aula 01: O que são Equações Diferenciais Ordinárias (E.D.O.’s)?

Nesta aula queremos estabelecer as bases conceituais para o estudo das equações diferenciais, com vistas a uma análise abrangente, seja ela qualitativa ou quantitativa. Desta forma, esse artigo é essencial para quem quiser, ou precisar, mergulhar nas técnicas de solução das equações diferenciais.

Para esta aula sugiro a leitura do artigo abaixo:

• Introdução ao Conceito de Equações Diferenciais

Neste momento, sugiro o estudo desta lista de exercícios resolvidos abaixo.

Você pode partir do enunciado e não olhar a resposta até ter tentado resolver várias vezes, ou então só para conferir a sua solução:

• Introdução ao Conceito de Equações Diferenciais: 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Introdução ao Conceito de Equações Diferenciais: 2ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Introdução ao Conceito de Equações Diferenciais: 3ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Introdução ao Conceito de Equações Diferenciais: 4ª Lista de Exercícios Resolvidos
  

Aula 02: Os Princípios Básicos das E.D.O.’s de 1ª Ordem

Nesta aula queremos desenvolver conceitos básicos e teóricos e das equações diferenciais de primeira ordem, principalmente a ideia de plano de fase e o Teorema de Existência de Unicidade de Soluções.

Para esta aula sugiro a leitura do artigo abaixo:

• E.D.O. de 1ª Ordem – Teorema da Existência e Unicidade de Soluções e Plano de Fase

Aula 03: E.D.O.’s de 1ª Ordem Separáveis

Nesta aula explicamos como resolver E.D.O.’s de 1ª Ordem Separáveis.

Para esta aula sugiro a leitura do artigo abaixo:

• EDO’s Separáveis

Neste momento, sugiro o estudo desta lista de exercícios resolvidos abaixo.

Você pode partir do enunciado e não olhar a resposta até ter tentado resolver várias vezes, ou então só para conferir a sua solução:

• EDO’s de 1ª Ordem Separáveis | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
• EDO’s de 1ª Ordem Separáveis | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos
• EDO’s de 1ª Ordem Separáveis | 3ª Lista de Exercícios Resolvidos

Abaixo você tem aulas de exercícios resolvidos sobre E.D.O.’s Separáveis de 1ª Ordem:

Aula 04: E.D.O.’s de 1ª Ordem Homogêneas

Nesta aula explicamos como resolver E.D.O.’s de 1ª Ordem Homogêneas, onde usamos uma mudança de variáveis para transformá-la num equação separável.

Para esta aula sugiro a leitura do artigo abaixo:

• EDO’s Homogêneas de 1ª Ordem

Neste momento, sugiro o estudo desta lista de exercícios resolvidos abaixo.

Você pode partir do enunciado e não olhar a resposta até ter tentado resolver várias vezes, ou então só para conferir a sua solução:

• EDO’s Homogêneas de 1ª Ordem | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
• EDO’s Homogêneas de 1ª Ordem | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos

Abaixo você tem aulas de exercícios resolvidos sobre E.D.O.’s Homogêneas de 1ª Ordem:

Aula 05: E.D.O.’s de 1ª Ordem Exatas

Nesta aula, através de teoria e exemplos, apresentamos as E.D.O.’s de primeira ordem exatas e seu método de solução, assim como os fatores integrantes que podem transformar algumas equações que não são exatas em equações exatas.

Para esta aula sugiro a leitura do artigo abaixo:

• EDO’s Exatas de 1ª Ordem

Neste momento, sugiro o estudo desta lista de exercícios resolvidos abaixo.

Você pode partir do enunciado e não olhar a resposta até ter tentado resolver várias vezes, ou então só para conferir a sua solução:

• EDO’s Exatas | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
• EDO’s Exatas | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos
• EDO’s Exatas | 3ª Lista de Exercícios Resolvidos
• EDO’s Exatas | 4ª Lista de Exercícios Resolvidos
• EDO’s Exatas | 5ª Lista de Exercícios Resolvidos

Abaixo você tem aulas de exercícios resolvidos sobre E.D.O.’s Exatas de 1ª Ordem:

Aula 06: E.D.O.’s de 1ª Ordem Lineares

Nesta aula, através de teoria e exemplos, apresentamos as EDOs de primeira Lineares e seu método de solução, assim como três exercícios resolvidos. Uma E.D.O. linear tem forma geral dada por $$ \frac{dy}{dt}+a(t)y=b(t) $$ onde as funções a(t) e b(t) são funções contínuas em relação a variável t. Esta equação é dita linear, pois a variável dependente y aparece somente nesta forma, ou seja, não exitem funções não-lineares na variável y nestas equações.

Para esta aula sugiro a leitura do artigo abaixo:

• EDO’s Lineares de 1ª Ordem

Neste momento, sugiro o estudo desta lista de exercícios resolvidos abaixo.

Você pode partir do enunciado e não olhar a resposta até ter tentado resolver várias vezes, ou então só para conferir a sua solução:

• EDO’s Lineares – 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
• EDO’s Lineares – 2ª Lista de Exercícios Resolvidos

Abaixo você tem aulas de exercícios resolvidos sobre E.D.O.’s Lineares de 1ª Ordem:

Aula 07: Equações de Bernoulli e Ricatti

Nesta aula, através de teoria e exemplos, apresentamos as EDOs de primeira ordem de Bernoulli e de Ricatti que, após mudanças de variáveis, recaem em EDOs lineares de primeira ordem. A Equação diferencial de Bernoulli, cujo nome vem de Jakob Bernoulli, é uma equação diferencial ordinária não linear, de primeira ordem, da forma: esta equação diferencial não é linear. A Equação de Riccati, cujo nome é uma homenagem ao Conde Jacopo Francesco Riccati, é uma equação diferencial ordinária não linear, de primeira ordem.

Para esta aula sugiro a leitura do artigo abaixo:

• EDO’s de Bernoulli e Ricatti

Neste momento, sugiro o estudo desta lista de exercícios resolvidos abaixo.

Você pode partir do enunciado e não olhar a resposta até ter tentado resolver várias vezes, ou então só para conferir a sua solução:

• 1ª Lista de Exercícios Resolvidos de Bernoulli e Ricatti
• 1ª Lista de Exercícios Resolvidos de Bernoulli

Aula 08: Resolvendo E.D.O.’s de Primeira Ordem usando Substituições

Nesta aula, queremos estudar casos especiais de E.D.O.’s de primeira ordem que demandam substituições de variáveis. Como vimos nas aulas de equações homogêneas, de Bernoulli e de Ricatti, algumas substituições de variáveis podem nos ajudar a solucionar algumas equações diferenciais especiais. Embora para E.D.O.’s alheias aos formatos de Ricatti e Bernoulli não exista uma regra geral de mudança de variáveis, em diversos casos algo pode ser feita para que possamos solucionar tal equação.

Para esta aula sugiro a leitura do artigo abaixo:

• EDO’s de 1ª Ordem – Substituições

Abaixo você tem aulas de exercícios resolvidos sobre Substituições para E.D.O.’s Lineares de 1ª Ordem:

Listas de Exercícios Resolvidos sobre E.D.O.’s de 1ª Ordem:

Neste momento, sugiro o estudo destas listas de exercícios resolvidos abaixo, pois nelas não especificamos no enunciado qual o método de solução e com isso você pode ter um estudo mais dinâmico das aulas anteriores.

Você pode partir do enunciado e não olhar a resposta até ter tentado resolver várias vezes, ou então só para conferir a sua solução:

• 1ª Lista de Exercícios Resolvidos Sobre E.D.O.’s de 1ª Ordem
• 2ª Lista de Exercícios Resolvidos Sobre E.D.O.’s de 1ª Ordem
• 3ª Lista de Exercícios Resolvidos Sobre EDO’s de 1ª Ordem
• 4ª Lista de Exercícios Resolvidos Sobre EDO’s de 1ª Ordem
• 5ª Lista de Exercícios Resolvidos Sobre EDO’s de 1ª Ordem
• 6ª Lista de Exercícios Resolvidos Sobre EDO’s de 1ª Ordem

Referências Bibliográficas do Curso:

Os cursos gratuitos do site Matemática Simplificada foram criados com o intuito de auxiliar no estudo e no aprendizado da matemática, desde os tópicos mais básicos até os conteúdos das disciplinas usualmente tratadas nas graduações que envolvem ciências exatas. Grande parte do conteúdo aqui apresentado é retirado de livros usados como livros-texto nos cursos de graduação e selecionado à partir das ementas destes mesmos cursos. Abaixo seguem os títulos usados como base para os nossos artigos e aulas deste curso de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem.

• GUIDORIZZI, H.L. Um curso de cálculo: Vol 1, 2,3 e 4. Rio de Janeiro: LTC, 2001.
• BOYCE, W.; DIPRIMA R. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno, LTC, Rio de Janeiro,2002
• BRAUN, M. Equações Diferenciais e suas Aplicações, Editora Campus, Rio de Janeiro, 1979.
• EDWARDS, C. H.; PENNEY, D. E. Equações Diferenciais Elementares com Problemas de Contorno, LTC, Rio de Janeiro,1995.
• ZILL, D. G. Equações Diferenciais com Aplicações em Modelagem, Editora Pioneira
• KREYSZIG, E. Advanced Engineering Mathematics, John Wiley & Song, Inc., 8th Edition, 1999.

Mais cursos gratuitos de Matemática:

• Curso Gratuito de Funções de Várias Variáveis – Limite, Derivadas Parciais e Diferenciabilidade

Sobre o Professor:

Marcelo Lopes Vieira é mineiro, possui graduação em Licenciatura em Matemática (2008) e mestrado em matemática (2010) pela Universidade Federal de Uberlândia. Desde 2012 é professor assistente da Faculdade de Matemática da Universidade Federal de Uberlândia. Com interesse em Matemática Aplicada e Computacional principalmente nos temas relacionados a fenômenos não-lineares.

Atuou como professor orientador do Programa de Iniciação Científica Junior da OBMEP de 2013 à 2016. Também foi ministrante do Minicurso “A Matemática Financeira e o uso da HP-12C”, Grupo Ativa, Uberlândia (2008); Professor no Programa de perfeiçoamento para Professores de Matemática do Ensino Médio, dentro do Projeto FNDCT/FINEP-PAPMEM em julho de 2009 e Janeiro de 2010.