As funções complexas são relações entre dois subconjuntos de números complexos e aparecem da necessidade de trabalhar problemas práticos que demandam métodos que os números reais não bastam. Muitos problemas originados da modelagem de fenômenos naturais podem ser tratados e resolvidos por métodos de análise complexa.
Grosso modo, estes problemas podem ser subdivididos em duas grandes classe. A primeira classe consiste de “problemas elementares” para os quais o conhecimento básico dos números complexos são suficientes, como, por exemplo, muitas aplicações com ligações com circuitos elétricos e sistemas de vibrações mecânicas.
A segunda classe de problemas demandam um detalhado conhecimento da teoria das funções analíticas complexas e os poderoso e elegantes métodos usados neste campo da matemática. Problemas interessantes na teoria do calor, dinâmica dos fluidos e eletrostática pertencem a esta categoria. Algumas das principais aplicações das funções complexas podem ser enumeradas como:
1. Problemas bidimensionais envolvendo soluções da equação de Laplace;
2. Algumas integrais complicadas, reais ou complexas, que aparecem em algumas aplicações podem ser calculadas por métodos de integração complexa;
3. A maioria das funções não elementares aparecem em engenharia são funções analíticas, e a consideração destas funções para valores complexos das variáveis independentes precisa de um profundo e mais detalhado conhecimento destas propriedades.
Na história da matemática, o primeiro a utilizar os números complexos foi o matemático italiano Girolando Cardano por volta do século XVI para solucionar equações cúbicas. Porém, foi Gauss, o maior matemático de todos os tempos, quem apresentou uma teoria consistente para os números complexos inclusive dando a eles nome. Equações na forma x^2+1=0 e x^2 - 10 x +40 = 0 são observadas desde os primórdios da matemática e elas deram origem ao que hoje chamado de número complexo.
Nesta categoria, queremos trabalhar com os as funções complexas, em especial, as funções analíticas complexas, partindo dos conceitos básicos dos números complexos até conceitos mais sofisticados do cálculo diferencial e integral, como as Equações de Cauchy-Riemann e as funções trigonométricas e hiperbólicas complexas.
| Abaixo temos os tópicos sobre FUNÇÕES ANALÍTICAS COMPLEXAS, abordados em sequência. Basta clicar nos links em azul para ser redirecionado ao conteúdo |
1. Números Complexos
1.1 – Números Complexos | Primeiras Definições e Operações Elementares
1.1.1 – Números Complexos: 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
1.2 – Números Complexos | A Forma Polar e as Operações Elementares
1.2.1 – Números Complexos | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos
1.2.2 – Números Complexos | 3ª Lista de Exercícios Resolvidos
1.3 – A Topológia do Plano Complexo | Funções de Variáveis Complexas
1.4 – Introdução às Funções de Uma Variável Real a Valores Complexos
2. Funções de Variáveis Complexas
2.1 – Funções de Variáveis Complexas | Uma Introdução.
2.2 – Funções de Variáveis Complexas | Limite e Continuidade
2.3 – Diferenciabilidade e Funções Analíticas Complexas
2.4 – Polinômios Complexos
2.4.1 – Polinômios Complexos – Lista de Exercícios Resolvidos
2.5 –Funções Trigonométricas e Hiperbólicas Complexas
2.6 – A Função Exponencial Complexa
2.7 – A Função Logarítmica Complexa – Potenciação generalizada
Bibliografia
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KREYSZIG, E. Advanced Engineering Mathematics, John Wiley & Song, Inc., 8th Edition, 1999.
ÁVILA, Geraldo S. S. Variáveis Complexas e Aplicações. 3ª Edição. Rio de Janeiro: LTC, 2000.
GUIDORIZZI, H.L. Um curso de cálculo: Vol 1, 2,3 e 4. Rio de Janeiro: LTC, 2001.
LEITHOLD, L. O cálculo com geometria analítica, vol 1 e 2. São Paulo: Editora Harbra, 1994.
SIMMONS, G.F. Cálculo com Geometria Analítica, vol 1 e 2. Rio de Janeiro: Makron Books, 1987.
STEWART, J. Cálculo, vol 1 e 2. São Paulo: Editora Pioneira – Thomson Learning, 2001.
SWOKOWSKI, E.W. Cálculo com geometria analítica, vol 1 e 2. São Paulo: Makron Books, 1994.
Neste artigo oferecemos uma lista de exercícios resolvidos sobre a forma polar ou trigonométrica de um número complexo. Em alguns problemas, a forma cartesiana de um numero complexo não é tão prática e a forma polar de um número complexo se torna uma ótima opção. Desta forma, é chamada de forma trigonométrica ou polar de […]
Neste artigo quero apresentar uma 1ª lista de exercícios resolvidos sobre números complexos, operações elementares, módulo e conjugado.
Neste artigo queremos estabelecer as bases da função logarítmica complexa, as propriedades principais e sua derivada.
Neste artigo queremos definir as funções trigonométricas e hiperbólicas complexas, como funções analíticas.
Neste artigo queremos estabelecer as bases da função exponencial complexa, as suas propriedades principais e sua derivada.
Nesse artigo introduzimos o conceito de diferenciabilidade para as funções de variáveis complexas e estabelecemos as fórmulas de derivação, bem como as equações de Cauchy-Riemann
Nesse artigo introduzimos os conceitos de limite e continuidade para as funções de variáveis complexas e suas relações com funções reais de várias variáveis.
Nesse artigo introduzimos as funções de variáveis complexas, bem como suas características básicas para o estudo das funções analíticas.
Nesse artigo introduzimos a forma polar de um número complexo, estabelecendo as operações elementares entre complexos e a fórmula de Moivre.
Nesse artigo introduzimos o conceito de número complexo, estabelecendo as primeiras definições e as operações elementares entre complexos.
