Números Reais | Introdução à Topologia da Reta Real

Neste artigo queremos estudar uma parcela importante da topologia conjunto dos números reais: a limitação dos subconjuntos reais. A topologia da reta real tem como objetivo definir com clareza vários subconjuntos úteis de números reais, e explorar suas propriedades.

O termo topologia é usado para identificar uma área da matemática que estuda a continuidade e outros conceitos originados a partir dessa. Trata-se de uma especialização relacionada com as propriedades e as características que possuem os corpos geométricos e que se mantêm inalterados graças a mudanças contínuas, independentemente do seu tamanho ou do seu aspecto.

Outro conceito central da topologia é o espaço topológico, uma estrutura matemática que permite definir de maneira formal a continuidade, conectividade e convergência, entre outros conceitos.

CONJUNTOS LIMITADOS: Um conjunto A\sub \mathbb{R} será dito limitado, se existir L>0 tal que |x|\leq L, para todo x\in A. É possível mostrar que um conjunto A\sub \mathbb{R} será limitado se, e somente se, existir L>0 tal que A\subset [-L,L].

EXEMPLOS:

1. A=[0,1] é limitado;
2. \mathbb{N} não é limitado;
3. B=\left\{ \frac{2^n-1}{2^n}: n\in \mathbb{N} \right\} é limitado
4. C=\left\{ \frac{2n-1}{n}: n\in \mathbb{N}^*\right\} é limitado.

Um conjunto A\subset \mathbb{R} será dito ilimitado, se ele não for limitado. É possível mostrar que um conjunto A\subset \mathbb{R} será ilimitado se, e somente se, para todo L>0, existir x\in A tal que |x|>L.

Seja A\sub \mathbb{R}. Diremos que:

1) A será dito limitado superiormente, se existir L\in\mathbb{R}  tal que x\leq L, para todo x \in A. Neste caso, L será chamado limitante superior ou cota superior de A.

2) A será dito limitado inferiormente, se existir \ell tal que x\geq \ell, para todo x \in A. Neste caso, \ell será chamado limitante inferior ou cota inferior de A.

Segundo a definição acima, podemos notar que A\subset\mathbb{R} será limitado se, e somente se, A for limitado superiormente e inferiormente.

EXEMPLO:

1. Considere A=[0,1). Então -2 e 0 são limitantes inferiores de A; 1, \pi e 101 são limitantes superiores de A;
2. \mathbb{N} não é limitado mas é limitado inferiormente por 0, pois 0\leq x, para todo x\in \mathbb{N}.
3. B=\{x\in\mathbb{Q}:x\leq\sqrt{2}\} não é limitado, mas é limitado superiormente por L, onde L\geq\sqrt{2}.

Seja A\sub \mathbb{R} limitado superiormente (respectivamente limitado inferiormente), A\neq\emptyset:

1. Se L \in \mathbb{R} for cota superior (resp. cota inferior) de A e para toda cota superior (resp. cota inferior) \bar{L} de A, tivermos
   $$ L \leq \bar{L} \mbox{(resp.} \bar{L} \leq L\ ), $$ então L será chamado supremo (resp. ínfimo) de A. Neste caso, escreveremos $$ L = \sup A \mbox{(resp.} L = \inf A\ ). $$
2. Se L=\sup{A}\in A, então L será máximo (resp. mínimo de A). Neste caso, escreveremos $$L=\max A \;\;\mbox{(resp.} \ L = \min A).$$

Seja A\sub \mathbb{R} limitado superiormente A\neq\emptyset. Então, podemos mostrar que L=\sup A se, e somente se, valerem as propriedades seguintes:

1. L é cota superior de A.
2. Para todo \varepsilon >0, existe a\in A tal que a>L- \varepsilon.

Analogamente temos que, seja A\sub \mathbb{R} limitado inferiormente, A\neq\emptyset. Então L=\inf A se, e somente se, valem as seguintes propriedades:

1. L é cota inferior de A.
2. Para todo \varepsilon >0, existe a\in A tal que a<L+\varepsilon.

EXEMPLO:

1. Seja A=(0,1]. Então 0=\inf A e 1=\max A\,.
2. Seja B=\mathbb{N}. Então 0=\min \mathbb{N}.
3. Seja C=\{x\in\mathbb{Q}: x^2\leq 2\}. Então \sqrt{2} = \sup C e -\sqrt{2} = \inf C. Note que -\sqrt{2},\sqrt{2}\notin C.

AXIOMA DA COMPLETEZA (OU DO SUPREMO) Seja A\sub \mathbb{R}, A\neq \emptyset. Se A for limitado superiormente, então existirá L = \sup A.

Daí, podemos mostrar que:

1. A\subset \mathbb{R} for limitado inferiormente (superiormente), então o conjunto -A=\{-x: x\in A\} será limitado superiormente (inferiormente) e \inf{A}=-\sup(-A) (resp. \sup{A}=-\inf(-A)).
2. Seja A\sub \mathbb{R}, A\neq \emptyset. Se A for limitado inferiormente, então existirá L = \inf A.
3. Seja A\sub \mathbb{R} limitado, A\neq \emptyset. Então A admite ínfimo e supremo.

PROPRIEDADE ARQUIMEDIANA DE \mathbb{R}: Seja x\neq 0. Então o conjunto A=\{nx: n\in \mathbb{N}\} é ilimitado.

Daí, podemos mostrar que:

1. O conjunto dos números naturais não é limitado superiormente.
2. Para todo \varepsilon > 0, existe n\in\mathbb{N} tal que
   $$\frac{1}{n} < \varepsilon.$$
3. Se A=\left\{\dfrac{1}{n}: n\in \mathbb{N}\right\}, então \inf{A}=0.
4. Sejam x,y\in\mathbb{R}, x>0. Então \exists n\in\mathbb{N} tal que nx > y .

Pela propriedade arquimediana de \mathbb R, podemos provar que qualquer intervalo aberto não-vazio contém um número racional. Daí, segue que qualquer intervalo aberto não-vazio contém um número infinito de números racionais.

VIZINHANÇA: Uma vizinhança de a\in\mathbb{R} é qualquer intervalo aberto da reta contendo a.

EXEMPLO: O conjunto V_{\delta}(a):=(a-\delta\,,\,a+\delta), onde \delta>0, é uma vizinhança de a\in\mathbb{R}.

PONTO DE ACUMULAÇÃO: Sejam A\sub\mathbb{R}  e b\in\mathbb{R}. Se para toda vizinhança V_\delta(b) de b existir a \in V_\delta(b) \cap A, com a\neq b, então b será dito ponto de acumulação de A.

EXEMPLO: 

1) Seja A=(a,b). Então o conjunto dos pontos de acumulação de A é [a,b].

2) Seja B=\mathbb{Z}. Então B não tem pontos de acumulação.

3) Qualquer subconjunto finito de \mathbb{R} não admite pontos de acumulação.

4) Pode-se mostrar que o conjunto dos pontos de acumulação de \mathbb{Q} é \mathbb{R}.

PONTO ISOLADO: Seja B\subset \mathbb{R}. Um ponto b\in B será dito um ponto isolado de B, se existir \delta>0 tal que V_\delta(b) não contém pontos de B distintos de b.

EXEMPLO:

1. Seja B=\{1,1/2,1/3,\ldots\}. Então o conjunto dos pontos de acumulação de B é \{0\} e o conjunto dos pontos isolados de B é o próprio conjunto B.
2. O conjunto \mathbb{Z} possui apenas pontos isolados.

OBSERVAÇÃO: Podem haver conjuntos infinitos que não possuem pontos de acumulação (por exemplo \mathbb{Z}). No entanto, todo conjunto infinito e limitado possui pelo menos um ponto de acumulação.

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