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O conjunto base para o estudo do cálculo diferencial e integral é o conjunto dos Números Reais, que é aquele formado pelos números racionais e irracionais. Os números reais são representados na reta real \mathbb{R} , que tem um ponto fixado, denominado origem, que é onde se encontra o número real zero. A reta real é também denominada de eixo real.
Números Reais | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
1) Resolva a inequação \pi x+1729<4x+1.
SOLUÇÃO: Vamos começar adicionando o oposto de 1729+4x dos dois lados
da inequação. Assim $$\pi x+1729-1729-4x<4x+1-1729-4x$$ ou seja $$ \pi x-4x<1-1729 $$
que também pode ser escrita como $$ (\pi -4)x<-1728. $$ Agora multiplicaremos a última inequação pelo inverso de \pi -4, que é negativo. Obtemos, então, $$ x>-\frac{1728}{\pi -4} $$ ou seja $$ x>\frac{1728}{4-\pi}. $$
2) Qual é o sinal de \dfrac{x+1}{1-x} em função de x?
SOLUÇÃO: O numerador é positivo quando x>-1, negativo quando x<-1 e zero quando x=-1. O denominador é positivo quando x<1, negativo quando x>1 e zero quando x=1. Portanto a fração será positiva quando -1<x<1, negativa quando x<-1 ou x>1 e zero quando x=-1.
3) Resolva a equação |2x+1|=3.
SOLUÇÃO: Temos 2x+1=3 ou 2x+1=-3, o que nos leva à solução x=1 ou x=-2.
4) Para quaisquer x,y\in \mathbb{R}, vale |xy|=|\,x| |\,y|\,.
SOLUÇÃO: Temos que |\,xy|^2 = (xy)^2 = x^2 y^2 = |\,x|^2 |\,y|^2 =(|\,x||\,y|)^2. Como |\,xy|\geq 0 e |\,x||\,y|\geq 0
resulta |\,xy|=|\,x|\ |\,y|.
5) [Desigualdade triangular] Mostre que para quaisquer x,y\in \mathbb{R}\,, vale |\,x+y| \leq |\,x| + |\,y|\,.
SOLUÇÃO: Somando -|\,x| \leq x \leq |\,x| e -|\,y| \leq y \leq|\,y| obtemos -|\,x|-|\,y| \leq x+y \leq |\,x| + |\,y|. Logo, -(|x| + |y|) \leq x+y \leq |\,x| + |\,y|. Portanto, | x+y | \leq |\,x| + |\,y|.
6) Descreva o valor de |\,x+1|+|\,x-1| sem utilizar o módulo.
SOLUÇÃO: i) Se x\geq 1, então \left\{\begin{array}{l}|\,x+1|=x+1 \\|\,x-1|=x-1 \\\end{array}\right. e, portanto, |\,x+1|+|\,x-1|=x+1+x-1=2x.
ii) Se -1\leq x<1, então \left\{\begin{array}{l}|\,x+1|=x+1 \\|\,x-1|=-x+1 \\\end{array}\right. e, portanto, |\,x+1|+|\,x-1|=x+1-x+1=2.
iii) Se x<-1, então \left\{\begin{array}{l}|\,x+1|=-x-1 \\|\,x-1|=-x+1 \\\end{array}\right. e, portanto, |\,x+1|+|\,x-1|=-x-1-x+1=-2x.
Logo |\,x+1|+|\,x-1|=\left\{\begin{array}{ll}2x, & x\geq 1 \\2, & -1\leq x<1 \\-2x, & x<-1. \\\end{array}\right.
7) Desenvolva os produtos notáveis abaixo:
- (a+b)^2=
- (a-b)^2=
- (a-b)(a+b)=
SOLUÇÃO:
a) (a+b)^2= a^2 +2ab +b^2 (quadrado da soma)
Apoie Nosso Trabalho:
Apoie nosso trabalho fazendo um pix de qualquer valor: Chave Pix: 06713646697
b) (a-b)^2= a^2 - 2ab +b^2 (quadrado da diferença)
c) (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 (produto da soma pela diferença)
8) Simplifique: a(a+b)+ b(a-b)
SOLUÇÃO: a(a+b)+ b(a-b) = a^2 +ab +ba -b^2 = a^2 +2ab -b^2 .
9) Sejam x,y \in \mathbb{R}. Determine qual dos números reais a e b é maior, sendo a=\dfrac{x+y}{2} e b=\sqrt{x.y} .
SOLUÇÃO: Suponha que a < b . Assim, $$ \frac{x+y}{2} < \sqrt{x.y} $$ $$ (x+y)^2 < 4xy$$ $$x^2 + 2xy +y^2 < 4xy $$ $$ x^2 -2xy +y^2 <0 $$ $$ (x-y)^2 < 0 $$ o que é um absurdo, pois todo número real ao quadrado é sempre não-negativo. Portanto, a >b .