Números Racionais | Lista de Exercícios Resolvidos

Neste artigo queremos apresentar uma lista de exercícios sobre Números Racionais com vistas à aplicações no Cálculo Diferencial e Integral. Em matemática, um número racional é um tipo de número real, que está na forma de p/q,  onde q não é igual a zero. Qualquer fração com denominadores diferentes de zero é um número racional.

Indicamos por \mathbb{N}, \mathbb{Z} e \mathbb{Q} os conjuntos dos números naturais, inteiros e racionais respectivamente. Assim $$\begin{array}[t]{l}\mathbb{N} = \{ 0,1,2,3,\ldots\} ,\\
\mathbb{Z} = \{ \ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots\}, \\ \mathbb{Q} = \left\{
\frac{a}{b};a,b\in \mathbb{Z},b\neq 0\right\}.
\end{array}$$

Números Racionais | Lista de Exercícios Resolvidos (Pré-Cálculo)

1) Seja a\in \Z. Mostre que: 

a) Se a for ímpar, então a^2 é ímpar;

b) Se a^2 for par, então a é par.

SOLUÇÃO:

a) Se a for ímpar, então existe k\in \Z tal que a=2k+1. Daí segue que $$a^2=(2k+1)^2 = 4k^2+4k+1 = 2(\underbrace{2k^2+2k}_{\ell}) +1 = 2\ell +1$$ onde \ell =2k^2+2k, e portanto a^2, também será ímpar.

b) Suponha, por absurdo, que a não é par. Logo a é ímpar. Então, pelo item acima, a^2 também é ímpar. O que contradiz a hipótese. Portanto a é par necessariamente.

2) Mostre que a equação x^2=2 não admite solução em \mathbb{Q} .

SOLUÇÃO: Suponhamos, por absurdo, que x^2=2 tem solução em \mathbb{Q}.

Então podemos tomar x= \dfrac{a}{b} com a,b\in\mathbb{Z} e \dfrac{a}{b} irredutível. Logo \left( \frac{a}{b}\right)^2=2, ou seja, a^2 = 2b^2 e portanto a^2 é par. Segue do exercícios anterior que a também é par.

Portanto existe k\in \mathbb{Z} tal que a=2k. Mas $$\left. \begin{array}{l} a^2 = 2b^2\\ a = 2k\end{array} \right\} \Longrightarrow 2b^2 =4k^2 \Longrightarrow b^2 = 2k^2.$$ Portanto b^2 é par e, pelo exercício anterior, b também é par.

Mas isto implica que \frac{a}{b} é redutível (pois a e b são divisíveis por 2) o que é uma contradição. Portanto não existe \frac{a}{b} \in \mathbb{Q} tal que \left( \frac{a}{b}\right)^2 = 2.

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