Números Reais | Definição, Operações Elementares, Intervalos e Módulo

O conjunto base para o estudo do cálculo diferencial e integral é o conjunto dos Números Reais, que é aquele formado pelos números racionais e irracionais. Os números reais são representados na reta real \mathbb{R} , que tem um ponto fixado, denominado origem, que é onde se encontra o número real zero. A reta real é também denominada de eixo real.

Em \mathbb{R}, definimos uma adição (+), uma multiplicação (\cdot) e uma relação de ordem (\leq). Então a quádrupla (\,\mathbb{R},\,+,\,\cdot,\,\leq\,) satisfaz as condições abaixo e portanto é um corpo ordenado:

• (A1) (associativa) (x+y)+z=x+(y+z), para quaisquer x,y,z\in \mathbb{R};
• (A2) (comutativa) x+y = y+x, para quaisquer x,y\in\mathbb{R};
• (A3) (elemento neutro) existe 0\in \mathbb{R} tal que x+0=x, para todo x\in\mathbb{R};
• (A4) (elemento oposto) para todo x\in\mathbb{R}, existe y\in\mathbb{R}\;(y=-x), tal que x+y=0;
• (M1) (associativa) (xy)z=x(yz), para quaisquer x,y,z\in\mathbb{R};
• (M2) ( comutativa) xy=yx, para todo x,y\in\mathbb{R};
• (M3) (elemento neutro) existe 1\in\mathbb{R}, tal que x1=x, para todo x\in\mathbb{R};
• (M4) (elemento inverso) para todo x\in\mathbb{R}, \ x\neq 0, existe y\in R, \left( y = \frac{1}{x}\right), tal que x\cdot y=1;
• (D) (distributiva da multiplicação) x(y+z)=xy+xz, \ \forall \ x,y,z\in\mathbb{R} .

Com estas propriedades podemos estabelecer características especiais para os números reais como a existências do números opostos. Dois números reais são opostos um do outro quando apresentam soma zero. Com isso, na reta real, eles distam igualmente da origem.

Variáveis Reais

Um meio de denotar conjuntos de números reais é utilizando variáveis. Por exemplo:

1. O conjunto dos números reais maiores do que 5: \left\{x \in \mathbb{R};x>5\right\};
2. \left\{ -2,2 \right\}=\left\{x;x^2=4\right\};
3. \left\{ 1/x; x \in \mathbb{R}\right\}\cup{0}= \mathbb{R}.

Para resolver uma equação em x é necessário encontrar o conjunto dos números reais x que satisfazem a equação.

Desigualdades

Podemos definir uma relação de ordem entre os números reais. Dizemos que que x < y para dois números reais x e y quando existem um z \in \mathbb{R} ^{+} tal que y-x=z. Valem as seguintes propriedades da relação de ordem x<y:

1) Tricotomia: Dados x,y \in \mathbb{R} ocorre exatamente uma das três alternativas x<y ou x=y ou x>y.

2) Transitividade: se x<y e y<z então x<z.

3) Monoticidade da Adição: se x<y então, \forall z \in \mathbb{R} temos que x+z<y+z.

4) Monoticidade da Multiplicação: se x<y então, \forall z \in \mathbb{R} temos que x.z<y.z se z>0 e x.z>y.z se z<0 .

Da Lei da Tricotomia surgem as inequações. Para resolver uma inequação em x é necessário encontrar o conjunto dos números reais x que satisfazem a desigualdade.

Uma desigualdade importante entre os números reais é a chamada Desigualdade de Bernoulli: Para todo número real x \geq -1 e todo n \in \mathbb{N} , tem-se $$\left(1+x\right) ^n \geq 1 + n.x$$

EXEMPLO: A inequação x-2 < 4 resulta em x < 6.

EXEMPLO: Vamos resolver a inequação -3(4-x) \leq 12 . Multiplicando a ambos os lados da desigualdade por -\frac{1}{3}, temos 4-x \geq -4. Subtraindo 4 resulta em -x \geq - 8 e multiplicando por -1 obtemos x \leq 8.

Valor Absoluto

A relação de ordem permite definir o valor absoluto de um número real. Damos o nome de módulo, ou valor absoluto, de um número real à distância da origem ao ponto que representa o número na reta real.

Analiticamente, o módulo de um número real x, indicado pela notação |x|, é definido por
$$|x| = \left\{
\begin{array}{rll}
x; & x\geq 0\\
-x; & x<0
\end{array}
\right.$$
Uma outra interpretação geométrica para o módulo é que | x - y | é a distância entre dois números reais x e y na reta real. Além disso, podemos mostrar que a equação |x|=r, com r\geq 0, tem como soluções os
elementos do conjunto \{r,-r\}.

Segue da definição acima que |x|\geq 0 e -|x|\leq x \leq |x|, para todo x\in\mathbb{R}, e as propriedades abaixo:

1) -|x| \leq x \leq |x|

2) |x+y|\leq |x|+|y|

3) |x.y|=|x|.|y|

4) Sejam a,x, \delta \in \mathbb{R}. Tem se |x-a|< \delta se, e somente se, a- \delta < x < a + \delta .

EXEMPLO: Mostraremos que |x|^2=x^2, ou seja, o quadrado de um número real não muda quando se troca seu sinal. De fato, lembre que \sqrt{x} significa raiz quadrada positiva de x. Logo, segue que \sqrt{x^2} = |x| e com isso obtemos o resultado desejado elevando ambos os lado ao quadrado.

EXEMPLO:  A equação |ax-b|=r, com r\geq 0 e a \neq 0, tem como soluções os elementos do conjunto \left\{\dfrac{b+r}{a},\dfrac{b-r}{a}\right\}.

EXEMPLO: Resolveremos a inequação |ax-b|<r na variável x, com r>0 e a\neq 0. Observe que |ax-b|<r \leftrightarrow -r<ax-b<r. Somando b aos termos da inequação obtemos $$b-r<ax<b+r.$$ Logo, 1) a>0 \Longrightarrow \dfrac{b-r}{a}<x<\dfrac{b+r}{a}; e 2) a<0  \Longrightarrow \dfrac{b+r}{a}<x<\dfrac{b-r}{a}.

Intervalos:

Sejam a e b números reais com a\leq b, então temos os seguintes exemplos de intervalos:

• fechado
• fechado e aberto
• ilimitado à direita ou esquerda e limitado à direita ou esquerda

Um intervalos em \mathbb{R} é um subconjunto de \mathbb{R} que tem uma das seguintes formas:

1. Intervalo fechado: [a,b] = \bigl\{ x \in \mathbb{R} \,: \, a \leq x \leq b \bigr\} ;
2. Intervalo aberto: (a,b) = \bigl\{ x \in \mathbb{R} \,: \, a < x < b \bigr\} ;
3. [a,b) = \bigl\{ x \in \mathbb{R} \,: \, a \leq x < b\bigr\} ;
4. (a,b] = \bigl\{ x \in \mathbb{R} \,: \, a < x \leq b\bigr\} ;
5. (-\infty,b] = \bigl\{ x \in \mathbb{R} \,: \, x \leq b\bigr\} ;
6. (-\infty,b) = \bigl\{ x \in \mathbb{R} \,: \, x < b\bigr\} ;
7. [a,+\infty) = \bigl\{ x \in \mathbb{R} \,: \, a \leq x\bigr\} ;
8. (a,+\infty) = \bigl\{ x \in \mathbb{R} \,: \, a<x\bigr\} ;
9. (-\infty,+\infty) = \mathbb{R}.

EXEMPLO: \bigl\{ x \in \mathbb{R} \,: \, 2x-3<x+1\bigr\} = \bigl\{ x \in \mathbb{R} \,: \, x<4 \bigr\} = (-\infty,4)

OBSERVAÇÃO: \infty (infinito) não é um número real, é apenas notação para indicar um comportamento de não-limitação.

Leia Mais:

• O que são Conjuntos Numéricos?
• Números Racionais | Definição, Propriedades e Operações Elementares
• Números Racionais | Lista de Exercícios Resolvidos
• Os Espaços Euclidianos R² e R³ | Norma, Distância, Retas e Planos