O Espaço R²: Coordenadas no Plano Cartesiano

Indica-se como \mathbb{R} ^2 o conjunto formado pelos pares ordenados (x,y) , onde x e y são números reais. Entenda como este conjunto se relaciona com o plano cartesiano.

Dados (x,y) e (x' , y' ) em \mathbb{R} ^2 , tem-se que (x,y) = (x' , y' ) se, e somente se, x =  x' e y = y' . O número x se chama a primeira coordenada e o número y a segunda coordenada do para (x,y) .

Um sistema de eixos ortogonais num plano \pi é um par de eixos Ox e Oy , tomados em \pi , que são perpendiculares e têm a mesma origem O . Diz-se que o eixo Ox é horizontal e o eixo Oy é vertical.

Um plano \pi munido de um sistema de eixos ortogonais põe-se, de modo natural, em correspondência biunívoca com o conjunto \mathbb{R} ^2 . Dado o ponto P do plano, baixamos por ele paralelas aos eixos Ox e Oy . Estas retas paralelas cortam os eixos em pontos cijas coordenadas são x e y respectivamente.

Ao ponto P do plano \pi faz-se corresponder o par ordenado (x,y) \in \mathbb{R} ^2. Reciprocamente, a cada par ordenado (x,y) \in \mathbb{R} ^2 corresponde a um ponto P \in \pi . Os números x e y chama-se coordenadas cartesianas do ponto P relativamente ao sistema de eixos ortogonais fixado: x é a abcissa e y a ordenada de P .

Em todo o nosso estudo sobre geometria analítica, a menos que seja feita explicitamente uma menção em contrário, admitiremos que foi fixado um sistema de eixos ortogonais no plano, que assim se identifica a \mathbb{R} ^2. Cada ponto P(x,y) do plano passa a ser a mesma coisa que um par ordenado de números reais.

Os eixos ortogonais decompões o plano em quatro regiões, chamados quadrantes. Tem-se o primeiro quadrante, formado pelos pontos que têm ambas coordenadas positivas. No segundo quadrante, a abcissa é negatica e a ordenada é positiva. No terceiro quadrante, abcissa e ordenada são ambas negativas. No quarto quadrante, os pontos têm abcissa positiva e ordenada negativa.

Evidentemente, os pntos do eixo Ox das abcissas têm coordenadas (x,0) e no eixo das ordenadas Oy os pontos são da forma (0,y) . O ponto O , origem dos eixos, tem coordenadas (0,0) .

A Distância Entre Dois Pontos no Plano Cartesiano

Dados os pontos P_1 = \left( x_1 , y_1 \right) e P_2 = \left( x_2 , y_2 \right) , queremos obter a expressão da distância entre estes dois pontos, dada por d \left( P_1 , P_2 \right) em termos das coordenadas de P_1  e P_2 . Para isso, introduzimos o novo ponto Q = \left( x_2 , y_1 \right) .

Como P_1 e Q têm a mesma ordenada, o segmento P_1 Q é horizontal (paralelo ao eixo Ox ) e mede | x_1 - x_2 | . Analogamente, o segmento P_2 Q é vertical (paralelo ao eixo Oy ) e mede | y_1 - y_2 | . Portanto, P_1 P_2 é a hipotenusa do triângulo retângulo P_1 P_2 Q. Do teorema de Pitágoras, temos que $$ d \left( P_1 , P_2 \right) = \sqrt{\left( x_1 – x_2 \right)^2 + \left( y_1 – y_2 \right)^2 }.$$

EXEMPLO: Vamos calcular a distância entre os pontos A(2,-1) e B(-1,3) . Usando a fórmula apresentada anteriormente temos que $$ d \left( A , B \right) = \sqrt{\left( 2 – (-1) \right)^2 + \left(-1-3 \right)^2 } = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5.$$

Pode acontecer eventualmente que uma das pacelas do radicando (ou até mesmo duas) seja nula; de fato, para os pontos A(2,1) e B(2,5) , teremos x_A - x_B = 2-2 = 0. Note que o segmento \overline{AB} é vertical e que, portanto, a distância entre estes dois pontos é igual a 4. Em casos como este é conveniente escrever $$d(A,B) = |5-1| = 4 \qquad \text{ou} \qquad d(A,B) = |1-5| = 4.$$

De maneira análoga devemos tratar o segmento horizontal, que aparece quando os pontos possuem a mesma ordenada. É importante salientar que, embora tenhamos deduzido a nossa fórmula usando pontos do 1º quadrante, ela não perde o seu valor quando temos pontos de outros quadrantes, o que poderá ser observado durante a resolução dos exercícios.

O Ponto Médio de Um Segmento

Há muitos problemas em Geometria Analítica que envolvem mediatrizes de segmentos, medianas e mediatrizes de triângulos e outros assuntos relacionados com o ponto médio de um segmento.

Seja M o ponto médio do segmento com extremidades A \left( x_A , y_A \right) e B \left( x_B , y_B \right) . Notemos que os triângulos AMN e ABP são semelhantes, pois possuem os três ângulos respectivamente congruentes, como vemos na imagem abaixo:

Assim $$ \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AP}.$$ Mas AB = 2 \times (AM) , pois M é o ponto médio de AB . Logo, $$ \frac{AM}{2 \times AM} = \frac{AN}{AP} \Rightarrow \frac{AN}{AP} = \frac{1}{2},$$ donde AP=2 \times (AN). Assim, temos $$ x_P – x_A = 2 \left( x_N – x_A \right) \Rightarrow x_B – x_A = 2 \left( x_M – x_A \right) \Rightarrow  x_M = \frac{x_A + x_B}{2} .$$

De forma análoga, prova-se que $$y_M = \frac{y_A + y_B}{2} .$$ Portanto, sendo M o ponto médio do segmento \overline{AB} , temos $$M\left( \frac{x_A + x_B}{2} , \frac{y_A + y_B}{2} \right).$$

EXEMPLO: Sendo dados os pontos A(5,2) e B(1,-3) , temos que o ponto médio do segmento \overline{AB} é dado por $$M\left( \frac{5 + 1}{2} , \frac{2 + (-3) }{2} \right) = \left( 3, – \frac{1}{2}\right).$$

Condição de Alinhamento de Três Pontos

É possível verificarmos se três pontos do plano, distintos dois a dois, estão alinhados. Vamos supor que os pontos A \left( x_1 , y_1 \right) , B \left( x_2 , y_2 \right) e C \left( x_3 , y_3 \right) estejam alinhados como na imagem abaixo:

Prolonguemos a reta horizontal que passa por A , obtendo os pontos P e Q , os quais formam os triângulos retângulos ABP e ACQ , que são semelhantes. Decorre que a proporção $$ \frac{AQ}{AP} = \frac{CQ}{BP} ,$$ que pode ser escrita como $$ \frac{ x_{3} – x_{1} }{ x_{2} – x_{1} } = \frac{ y_{3} – y_{1} }{ y_{2} – y_{1} }.$$ Desenvolvendo essa expressão, obtemos: $$ \left( x_{3} – x_{1} \right) \left( y_{2} – y_{1} \right) – \left( x_{2} – x_{1} \right)\left( y_{3} – y_{1}  \right) = 0 $$ que pode ser escrita sob a forma $$ \left| \begin{array}{ccc} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{array} \right| = 0 .$$

Assim, para constatar a colinearidade de três pontos, basta calcularmos um detrminante de terceira ordem que contenha em cada linha a abcissa de um dos pontos dados, a respectiva ordenada e o número 1, mantida essa ordem. Se tal determinante for nulo, e só nesse caso, os pontos estarão alinhados

EXEMPLO: Para verificar se os pontos (6,5) , (3,4) e (-3,2) são colineares, construímos inicialmente o determinante $$ \left| \begin{array}{ccc} 6 & 5 & 1 \\ 3 & 4 & 1 \\ -3 & 2 & 1 \end{array} \right| = 24-15+6+12-12-15 = 0 .$$ Logo, estes pontos são colineares.

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