Adição de Matrizes | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos

Cinco exercícios resolvidos para você entender de vez o processo que envolve a adição, ou soma, de duas matrizes.

 $$ A = \left[ \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \ddots & \cdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\\ \end{array} \right] .$$

A soma de duas matrizes de mesmo tamanho A = \left[ a_{ij} \right]_{m×n} e B = \left[ b_{ij} \right] _{m×n} é definida como sendo a matriz m × n $$C_{m×n} = A_{m×n} + B_{m×n}$$ obtida somando-se os elementos correspondentes de A e B, ou seja, c_{ij} = a_{ij} + b_{ij} , para i = 1, . . . ,m e j = 1, . . . , n. Escrevemos também [A + B]_{ij} = a_{ij} + b_{ij}. A subtração é dada de forma análoga por [A - B]_{ij} = a_{ij} - b_{ij}.

Matricialmente, sendo $$ A = \left[\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \ddots & \cdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\\ \end{array} \right] \text{  e  } B = \left[ \begin{array}{cccc} b_{11} & b_{12} & \ldots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \ldots & b_{2n} \\ \vdots & \ddots & \cdots & \vdots \\ b_{m1} & b_{m2} & \cdots & b_{mn}\\ \end{array} \right]$$  então a soma C = A + B será dada por $$ C_{m×n} = A_{m×n} + B_{m×n} = \left[\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \ddots & \cdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\\ \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{cccc} b_{11} & b_{12} & \ldots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \ldots & b_{2n} \\ \vdots & \ddots & \cdots & \vdots \\ b_{m1} & b_{m2} & \cdots & b_{mn}\\ \end{array} \right]  = $$ $$ = \left[ \begin{array}{cccc} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12}& \ldots & a_{1n} + b_{1n}\\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22}& \ldots & a_{2n} + b_{2n} \\ \vdots & \ddots & \cdots & \vdots \\ a_{m1} + b_{m1} & a_{m2} + b_{m2} & \cdots & a_{mn} + b_{mn}\\ \end{array} \right] $$

Lista de Exercícios Resolvidos Sobre Adição de Matrizes

1) Mostre que para quaisquer matrizes A_{m \times n} e B_{m \times n} temos  (A+B)^{T} = A^{T}+B^{T} .

Solução: 

2) Sejam as matrizes $$ A = \left[ \begin{array}{ccc} 2 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & -3 \\ 1 & 0 & 4 \\ \end{array} \right], \qquad B = \left[ \begin{array}{ccc} 3 & 3 & 3 \\ 3 & 0 & 5 \\ 6 & 9 & -1 \\ \end{array} \right], \qquad C = \left[ \begin{array}{ccc} 4 & 4 & 4 \\ 5 & -1 & 0 \\ 7 & 8 & 1 \\ \end{array} \right].$$ Determine a matriz que resulta da soma A - 6B - 2C .

Solução:

3) Resolva a equação matricial $$ X_{2 \times 2} \; – \left[ \begin{array}{cc} 2 & -1 \\ -3 & 4 \\ \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} 1 & \frac{1}{2}\\ 3 & -5 \\ \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{cc} -2 & \frac{3}{2} \\ -4 & 3 \\ \end{array} \right].$$

Solução: 

4) Resolva o sistema matricial $$ \left\{ \begin{array}{cc} X_{3 \times 1} + Y_{3 \times 1} & = & \left[ \begin{array}{c} 3  \\ 4 \\ 5  \\ \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{c} 2  \\ -1 \\ 3  \\ \end{array} \right] \\ X_{3 \times 1} – Y_{3 \times 1} & = & \left[ \begin{array}{c} 0  \\ 1 \\ -3  \\ \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{c} 1  \\ 1 \\ -6  \\ \end{array} \right]  \end{array} \right.$$

Solução: 

5) Determine x,y e z de modo que se tenha $$\left[ \begin{array}{cc} x-2 & 4 \\ y+1 & 3 \\ \end{array} \right] +  \left[ \begin{array}{cc} 1 & 2z-3 \\ -3 & 1 \\ \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} 3 & z \\ 2 & 4 \\ \end{array} \right] $$

Solução: 

Mais Lista de Exercícios Sobre Matrizes:

• Introdução às Matrizes: 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Multiplicação de Matrizes | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Determinantes | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos

Leia Mais Sobre Matrizes:

• Matrizes – Definições Básicas e Primeiros Exemplos
• Estes são os 10 Principais Tipos de Matrizes na Matemática
• Como Somar Matrizes? Um guia passo a passo com exemplos
• Como multiplicar matrizes? Um guia passo a passo com exemplos
• Inversão de Matrizes | Como calcular inversa de uma matriz?