Vetores no Plano Cartesiano – 1ª Lista de Exercícios Resolvidos

Esta lista de exercícios resolvidos é perfeita para você que quer entender os vetores (norma e produto escalar) no plano cartesiano através de problemas que irão refinar seu raciocínio lógico em geometria analítica.

Fixada a base canônica \left\{ \vec{i} , \vec{j} \right\}, fica estabelecida uma correspondência biunívoca entre os vetores do plano e os pares ordenados (x,y) de números reais. Nestas condições definimos um vetor no plano como um par ordenado (x,y) de números reais representado por \vec{v} = (x,y) que é a expressão analítica de \vec{v} . A primeira componente x é chamada abscissa e a segunda, ordenada.

Desta forma, o plano cartesiano pode ser encarado como um conjunto de pontos ou um conjunto de vetores.

Dado um ponto P( x, y) , o comprimento do segmento de reta \overline{OP} é, como sabemos (por este artigo), igual a $$ \sqrt{x^2 + y^2} .$$ Diremos também que este é o comprimento do vetor \vec{OP} e escrevemos $$ | \vec{v} | = | \vec{OP} | = | (x,y)| = \sqrt{x^2 + y^2} .$$ Se | \vec{v} | = 1 então diremos que \vec{v} é um vetor unitário.

Chama-se produto escalar (ou produto interno usual) de dois vetores $$ \vec{u} = x_1 \vec{i} + y_1 \vec{j} \qquad \text{e} \qquad \vec{v} = x_2 \vec{i} + y_2 \vec{j} $$ e se representa por \vec{u} \cdot \vec{v} , ao número real $$  \vec{u} \cdot \vec{v} = x_1 x_2 + y_1 y_2 .$$ O produto escalar de \vec{u} por \vec{v} também é indicado por \langle \vec{u} , \vec{v} \rangle e se lê ” \vec{u} escalar \vec{v} “. Observando que $$ \vec{v} \cdot \vec{v} = x^2 + y^2 $$ então podemos escrever que $$ | \vec{v} |= \sqrt{ \vec{v} \cdot \vec{v} }.$$

 podemos concluir que o ângulo entre os vetores \vec{u} e \vec{v} é dado por $$ \theta = \text{arc cos}\left( \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{| \vec{u} | | \vec{v} |} \right).$$

1ª Lista de Exercícios Resolvidos sobre Vetores no Plano

1) Determinar a extremidade do segmento que representa o vetor \vec{v} = (2,-5) , sabendo que sua origem é o ponto A(-1,3) .

SOLUÇÃO: 

2) Determine \alpha para que o vetor \vec{v} = \left( \alpha, -\dfrac{1}{2} \right) seja unitário.

SOLUÇÃO:

3) Sabendo que o vetor \vec{v} = (2,1) forma um ângulo de 60º com o vetor \vec{AB} determinado pelos pontos A(3,1) e B(4,m) , determine, se possível, calcular m .

SOLUÇÃO: 

• \vec{AB} = B - A = (4,m) - (3,1) = (1, m-1) ;
• | \vec{u} | = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5} ;
• | \vec{AB} | = \sqrt{1^2 + (m-1)^2} = \sqrt{m^2 -2m+2} ;
• \vec{AB} \cdot \vec{v} = (1, m-1) \cdot (2,1) = 2+ (m-1) = m+1 .

4) Determine os ângulos internos ao triângulo ABC , sendo A(3,-3) , B(2,-1) e C(1,0) .

SOLUÇÃO: 

• | \vec{AB} | = \sqrt{(2-3)^2 + (-1+3)^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5};
• | \vec{AC} | = \sqrt{(1-3)^2 + (0+3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} ;
• \vec{AB} \cdot \vec{AC} = (-1,2) \cdot (-2,3) = 2+6 = 8 .

• | \vec{BA} | = | \vec{AB} | = \sqrt{5};
• | \vec{BC} | = \sqrt{(1-2)^2 + (0+1)^2} = \sqrt{1 +1} = \sqrt{2} ;
• \vec{BA} \cdot \vec{BC} = (1,-2) \cdot (-1,1) = -1-2 = -3 .

5) O centro de gravidade G de uma barra homogênea que pode ser representada pelo segmento AB presa pela extremidade A ao ponto A e tendo extremidade B sustentada por um apoio – situa-se sobre o ponto (5,3) . Retirado o apoio, a barra cai em direção ao solo, representado pelo eixo das abscissas e representado pela figura abaixo. Determine as coordenadas das duas posições da extremidade B (antes e depois da retirada do apoio).

SOLUÇÃO: 

6) Dentre os pontos que equidistam de A(1,2) e B(3,4) , qual o mais próximo de P(4,3) ?

SOLUÇÃO: 

7) Mostre que os vetores da base ortonormal do \mathbb{R} ^2 , dados por \vec{i} = (1,0) e \vec{j} = (0,1) , são, de fato, unitários e ortogonais.

SOLUÇÃO: 

• \left| \vec{i} \right| = \sqrt{1^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1 ;
• \left| \vec{j} \right| = \sqrt{0^2 + 1^2} = \sqrt{1} = 1 .

8) Calcule a área do quadrilátero ABCD da figura abaixo:

SOLUÇÃO: 

9) Sejam dados os pontos A(1,1) , B(2,3) , C(-4,1) e D(-2,1) . Determine a projeção ortogonal do vetor \vec{CD} sobre o vetor \vec{AB} .

SOLUÇÃO: 

Leia Mais

• Vetores no Plano R²: Norma e Produto Escalar
• Vetores no R² | Um guia ilustrado dos vetores no plano cartesiano
• O que é um Vetor? Um guia ilustrado dos vetores no espaço.
• O Espaço R²: Coordenadas no Plano Cartesiano