Produto Escalar e Norma de Vetores no R³: 1ª Lista de Exercícios Resolvidos

Exploraremos alguns exercícios sobre dois conceitos fundamentais: o Produto Escalar e a Norma de Vetores no espaço tridimensional.

Antes de mergulharmos nos exercícios resolvidos e explorarmos as aplicações do Produto Escalar e da Norma de Vetores no R³, é importante termos uma compreensão sólida desses conceitos fundamentais.

O Produto Escalar, também conhecido como produto interno, é uma operação matemática que mede a relação entre dois vetores. Ele nos fornece informações sobre o ângulo entre esses vetores e é útil em cálculos de projeções, trabalho realizado por forças, ortogonalidade, entre outros. No contexto tridimensional (R³), o Produto Escalar desempenha um papel crucial na geometria espacial.

A Norma de um vetor, por outro lado, representa o seu comprimento, ou seja, a distância entre a origem e o ponto representado pelo vetor. No R³, calcular a Norma de um vetor é fundamental para determinar magnitudes, distâncias e, por vezes, a normalização de vetores para facilitar cálculos posteriores.

Neste artigo, apresentaremos uma seleção de exercícios resolvidos relacionados ao Produto Escalar e à Norma de Vetores no R³, com explicações detalhadas e passo a passo para ajudar você a compreender plenamente esses conceitos e aplicá-los em suas próprias análises e resolução de problemas. Esperamos que este material seja valioso tanto para estudantes que buscam aprimorar seus conhecimentos quanto para profissionais que desejam reforçar suas habilidades em álgebra linear e geometria tridimensional. Vamos começar!

Exercícios Resolvidos Sobre o Produto Escalar e a Norma no R³

1) Dados os vetores \vec{u} = (4, \alpha, -1) e \vec{v} = (\alpha, 2,3) , e os pontos A (4,  -1, 2) e A (3,  2, -1) , determine o valor de \alpha tal que \vec{u} \cdot (\vec{v} - \vec{BA}) = 5.

2) Determine \alpha para que o vetor \vec{v} = \left( \alpha , - \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{4} \right) seja unitário;

3) Prove que | \vec{u} + \vec{v} |^2 = | \vec{u} |^2+ 2 \vec{u} \cdot \vec{v}+ | \vec{v} |^2 ;

4) Determine os ângulos internos ao triângulo ABC, sendo A(3,-3,3), B(2,-1,2) e C(1,0,2)..

5) Sabendo que a distância entre os pontos A(-1,2,3), B(1,-1,m) é 7, calcule m .

6)  Sabendo que o vetor \vec{v} = (2,1,-1) forma um ângulo de 60º com o vetor \vec{AB} determinado pelos pontos A(3,1,-2) e B(4,0,m) , calcule m .

7) Prove que o triângulo de vértices A(2,3,1), B(2,1,-1) e C(2,2,-2). é retângulo.

8) Determine um vetor ortogonal aos vetores \vec{v} = (1,-1,0) e \vec{v} = (1,0,1) .

9) Dados os pontos A(2,2,-3) e B(3,1,-3) , calcule os ângulos diretores do vetor \vec{AB} .

10) Os ângulos diretores de um vetor são \alpha , 45º e 60º. Determine o valor de \alpha .

11) Sejam os pontos A(1,2,-1), B(-1,0,-1) e C(2,1,2). Pede-se:

a) Mostre que o triângulo ABC é retângulo em A;

b) Calcule a medida da projeção do cateto AB sobre a hipotenusa BC;

c) Determine o ponto que é o pé da altura  do triângulo relativa ao vértice A (ou ao lado BC).

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