Lista de Exercícios Sobre Vetores no Plano

Esta lista de exercícios de vetores no plano irá ajudá-lo a praticar e aprofundar seus conhecimentos nesse tema.

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Nesta lista de exercícios, você encontrará uma variedade de problemas que envolvem vetores no plano. Esses exercícios irão ajudá-lo a aprofundar seus conhecimentos nesse tema. Esteja preparado para aplicar conceitos como soma de vetores, produto escalar e norma para resolver os problemas propostos. Pratique bastante e esteja preparado para enfrentar desafios cada vez mais complexos envolvendo vetores no plano.

5 Exercícios Sobre Vetores no Plano

1) Para os exercícios abaixo, considere os pontos P(-1,3) , Q(1,5) e R(-3,7) . Determine os vetores pedidos e escreva cada um deles como: i) como componentes; e ii) usando os vetores da base canônica do plano.

a) \vec{PQ} :

Solução:  \vec{PQ} = Q - P = (1,5) - (-1,3) = (2,2)

b) \vec{PR} :

Solução:  \vec{PR} = R - P = (-3,7) - (-1,3) = (-2,4)

c) \vec{QP} :

Solução:  \vec{QP} = - \vec{PQ} = (-2,-2)

d) \vec{RP} :

Solução: \vec{RP} = - \vec{PR} = (2,-4)

e) \vec{PQ} + \vec{PR} :

Solução:  \vec{PQ} + \vec{PR} = (2,2) + (-2,4) = (0,6) 

2) Um vetor \vec{v} tem ponto inicial (-1, -3) e extremidade (2, 1). Encontre o vetor unitário na direção de \vec{v} .

Solução: Queremos, neste exercício, encontrar o versor do vetor \vec{v} determinado por $$ \vec{v} = (2, 1) – (-1,-3) = (4, 5).$$ Este vetor tem norma dada por $$  \| \vec{v} \| = \| (4, 5) \| = \sqrt{4^2 + 5^2 } = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41}.$$ Assim, o vetor unitário na direção de \vec{v} é dado por $$ \vec{u} = \frac{1}{\sqrt{41} } (4, 5) = \left( \frac{4}{\sqrt{41} } , \frac{5}{\sqrt{41} } \right) .$$

3) Encontre o vetor \vec{v} com a norma igual a 7 e que tem a mesma direção do vetor \vec{u} = (3,4)  

Solução: Um vetor \vec{v} com a mesma direção de \vec{u} = (3,4) é um vetor paralelo a este. Ou seja, $$ \vec{v} = t \vec{u} = t (3,4) = (3t , 4t ).$$ Para encontrarmos qual destes vetores \vec{v} tem norma igual a 7, temos que $$ \| \vec{v} \| =  7 \Leftrightarrow \| \vec{v} \| ^2 =  49 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow 9 t^2 + 16 t^2 = 49 \Leftrightarrow 25 t^2 = 49 \Leftrightarrow t^2 = \frac{49}{25} \Leftrightarrow t = \frac{7}{5}.$$ Portanto, o vetor \vec{v} será aquele para o qual t = \dfrac{7}{5} : $$ \vec{v} = \left( \frac{21}{5}  , \frac{28}{5}\right).$$

4) Calcule as coordenadas  do ponto D tal que ABCD é um paralelogramo, onde A(1,1) , B(2,4) e C(7,4) . Calcule a área deste paralelogramo. Em seguida, calcule a medida do ângulo entre os vetores \vec{AB} e \vec{AC} .

Solução: Primeiramente, vamos calcular a área deste paralelogramo. Observando que $$ D = \left|\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1\\ 2 & 4 & 1\\ 7 & 4 & 1 \end{array} \right| = -15$$ então a área do paralelogramo é dada por $$ A_{P} = | – 15 | = 15.$$ Agora, vamos calcular o ângulo entre os vetores \vec{AB} e \vec{AC} : $$ \text{cos} ( \theta ) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC} }{\| \vec{AB} \| \| \vec{AC} \|} = \frac{15}{\sqrt{10} \sqrt{45}} = \frac{ \sqrt{2} }{2} .$$ Portanto, o ângulo entre os vetores é igual a \dfrac{ \pi }{4} .

Agora, vamos olhar para o ponto D tal que ABCD é um paralelogramo, onde A(1,1) , B(2,4) e C(7,4) .

Observe que a coordenada x do ponto D é a mesma do ponto A . Logo, D(1,t) e d(B,C) = d(A,D) . Portanto, $$ [d(B,C) ]^2 = [d(A,D)]^2 \Leftrightarrow 25 = (t-1)^2\Leftrightarrow t – 1 = 5 \Leftrightarrow t = 6.$$ Portanto, D(1,6) .

5) Considere o vetor \vec{v} (t) = (\text{cos}(t) , \text{sen}(t) ) com componentes que dependem de um número real t . Enquanto t varia, as componentes também variam.

a) Escreva os vetores \vec{v} (0) e \vec{v} ( \pi ) ;

Solução: $$ \vec{v} (0) = (\text{cos}(0) , \text{sen}(0) ) = (1,0)  $$ e $$ \vec{v} (\pi) = (\text{cos}(\pi) , \text{sen}(\pi) ) = (-1,0)  $$

b) Mostre que este vetor é unitário independente do valor de t ;

Solução: Vetor unitário é aquele tem norma igual a 1. Assim, vamos calcular a norma de \vec{v} (t) = (\text{cos}(t) , \text{sen}(t) ): $$ \| \vec{v} (t) \| = \|  (\text{cos}(t) , \text{sen}(t) ) \| = \sqrt{[\text{cos}(t)]^2 + [\text{sen}(t)]^2 } = \sqrt{1} = 1.$$ Portanto \| \vec{v} (t) \| = 1 para todo valor de t \in \mathbb{R} .

c) Enquanto t varia, mostre que a extremidade de cada vetor de \vec{v} (t) é um ponto de uma circunferência centrada na origem e de raio 1.

Solução: Como o vetor \vec{v} (t) = (\text{cos}(t) , \text{sen}(t) ) tem origem no ponto (0,0) , então as extremidades de cada um destes vetores é dado pelo ponto P (t) = (\text{cos}(t) , \text{sen}(t) ) . Queremos mostrar que este ponto P(t) está sobre a circunferência centrada na origem e de raio 1. Para isso, lembremos que a equação da circunferência centrada na origem e de raio 1 é dada por $$ x^2 + y^2 = 1 .$$ Substituindo as coordenadas de P(t) nesta equação temos que $$ x^2 + y^2 = [\text{cos}(t)]^2 + [\text{sen}(t)]^2 = 1.$$ Portanto, o ponto  P(t)

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