Números Complexos | 3ª Lista de Exercícios Resolvidos

Neste artigo oferecemos uma terceira lista de exercícios resolvidos sobre números complexos, agora envolvendo a forma polar ou trigonométrica de um número complexo em que um complexo z=x+iy é escrito na forma z = r\left( cos(\theta) + i sen(\theta) \right) , onde o números reais r e \theta são as coordenadas polares do ponto P(x,y) do plano.

forma trigonométrica ou polar de um número complexo  z valor absolutomóduloargumento de z

Podemos definir regras muito convenientes para operações entre números complexos usado suas formas polares. Sejam z_1 = r_1(\cos{\theta _1} + i \text{sen}{\theta _1}) e z_2 = r_2 (\cos{\theta _2} + i\text{sen}{\theta _2}) então:

1. z_1 . z_2 = r_1 r_2 \left[ \cos{(\theta _1 + \theta _2)} + i \text{sen}{(\theta _1 + \theta _2)} \right];
2. \frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{ r_2} \left[ \cos{(\theta _1 - \theta _2)} + i \text{sen}{(\theta _1 - \theta _2)} \right] ;
3. z^n = r^n \left( \cos{n \theta} + i \text{sen}{n \theta} \right);
4. Se z=w^n, sendo w um número complexo, daí, w = \sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r} \left( \cos{\left( \frac{\theta +2k \pi}{n} \right)} + i \text{sen}{\left( \frac{\theta +2k \pi}{n} \right)} \right).

Números Complexos | 3ªLista de Exercícios Resolvidos

1) Determine uma fórmula para calcular raízes quadradas de qualquer número complexo z \neq 0 .

SOLUÇÃO: Portanto, dado um complexo com forma trigonométrica z = r \left( \text{cos}( \theta)  + i  \text{sen}( \theta) \right) a fórmula para encontrar suas raízes quadradas é dada por $$\sqrt{z} =  \pm \sqrt{r} \left( \cos{\left( \frac{\theta }{2} \right)} + i \text{sen}{\left( \frac{\theta }{2} \right)} \right). $$

2) Usando a fórmula encontrada no exercício anterior calcule as raízes quadradas do número complexo z = 5-12i .

SOLUÇÃO: OBSERVAÇÃO: 

3) Determine o argumento do número complexo $$ w = (1- i )^7 \cdot (1 + i \sqrt{3}) ^9 .$$

SOLUÇÃO: 

4) Determine os números complexos z tais que z^3 = \overline{z} .

SOLUÇÃO: OBSERVAÇÃO: 

5) Considere as raízes de índice 13 da unidade: $$ \varepsilon _k = \cos{\left( \frac{2k \pi}{13} \right)} + i \text{sen}{\left( \frac{2k \pi}{13} \right)}; \qquad k=0,1,2,3,…, 12 .$$ Calcule o valor de n \in \mathbb{Z}, 0 \leq n \leq 12, em cada um dos seguintes casos: $$ a) \varepsilon _n = \varepsilon _8 \cdot \varepsilon _9 ; \qquad b) \varepsilon _n = \left( \varepsilon _7 \right)^{-9} .$$

SOLUÇÃO: 

6) Escreva o número z = -16 \sqrt{3} + 16 i  na forma trigonométrica e calcule as raízes quintas de z .

SOLUÇÃO: 

Listas de Exercícios Resolvidos:

• Números Complexos: Módulo e Conjugado | Exercícios Resolvidos
• A Forma Polar de Um Número Complexo | Lista de Exercícios Resolvidos

Referências Bibliográficas:

Abaixo seguem os títulos usados como base para este artigo. Para conferir os títulos específicos basta clicar nos links em azul.

1. KREYSZIG, E. Advanced Engineering Mathematics, John Wiley & Song, Inc., 8th Edition, 1999.
2. ÁVILA, Geraldo S. S. Variáveis Complexas e Aplicações. 3ª Edição. Rio de Janeiro: LTC, 2000.
3. ZILL, Dennis G. “Curso Introdutório à Análise Complexa com Aplicações”. 2ª edição, LTC, Rio de Janeiro, 2011 
4. LIMA, Elon Lages, CARVALHO, Paulo Cezar Pinto, WAGNER, Eduardo e MORGADO, Augusto César. “A Matemática do Ensino Médio, volume 3”.

Leia Mais:

• Números Complexos | A Forma Polar e as Operações Elementares
• Números Complexos | A Exponencial de um Número Complexo
• Funções de Variáveis Complexas | Uma Introdução.
• O que são Conjuntos Numéricos? Dos Naturais aos Complexos.