Integral Dupla | Teorema de Fubini, Exemplos e Exercícios Resolvidos

As Integrais Duplas ou integrais de funções de funções de várias variáveis, são uma extensão natural do conceito de integral de funções de uma variável. Lembre-se que campos Escalares, ou Funções de Várias Variáveis a Valores Vetoriais, em geral são funções na forma f: A \subset \mathbb{R} ^n\rightarrow \mathbb{R}, que associa a cada n-upla de \mathbb{R} ^n um escalar.

Nesse artigo queremos estabelecer o conceito de Integral Dupla para esse tipo de função com domínio no \mathbb{R} ^2, que pode ser condiserado por duas extensões distintas, porém, equivalentes: as integrais repetidas e as integrais múltiplas propriamente ditas.

Definindo a Integral Dupla

Vamos introduzir o conceito de integral dupla de maneira similar ao procedimento usado para definir a Integral de Riemann de uma função contínua de uma variável em um intervalo fechado.

Considere uma região R do plano limitada, ou seja, existe uma bola aberta no plano que contém toda a região R.

Agora vamos dividir a região R por retas paralelas aos eixos x e y como na figura abaixo.

Vamos numerar todos os retângulos que estão inteiramente contidos na região R de 1 a n.

Em cada retângulo considere um ponto (x_k, y_k) no k-ésimo retângulo, que tenha área denotada por \Delta A_k.

Então, temos a soma $$J_n = \sum^{n}_{k=1}{f(x_k, y_k)} \Delta A_k.$$

Desta forma, definimos a integral dupla de f(x,y) sob uma região R pelo limite $$\lim_{n \rightarrow \infty}\sum^{n}_{k=1}{f(x_k, y_k)} \Delta A_k = \int \int_{R}{f(x,y)}dxdy.$$

A integral dupla ainda pode ser denotada por $$\int \int_{R}{f(x,y)}dA.$$

O Teorema de Fubini e a Integração Repetida

Pela experiência que temos com funções de uma variável sabemos que a definição da integral como limites de somas de Riemann não é um meio prático para o cálculo efetivo de integrais.

Tanto que para estas funções escalares usamos o Teorema Fundamental do Cálculo para efetuar o cálculo das integrais definidas, que reduz as integrais ao cálculo de primitivas.

De forma análoga, o cálculo das integrais duplas se reduz ao cálculo de integrais simples, graças ao Teorema de Fubini que enunciaremos abaixo e cuja demonstração pode ser encontrada no livro “Um Curso de Análise, vol 2”, de Elon Lages Lima.

TEOREMA DE FUBINI

Seja f(x,y) integrável no retângulo R=\{ (x,y)\in \mathbb{R}^2 ; a \leq x \leq b, c\leq y \leq d \}. Suponhamos que as integrais $$\int_{a}^{b}{f(x,y)dx}, \forall y\in[c,d]$$ e $$\int_{c}^{d}{f(x,y)dy}, \forall x \in[a,b].$$ Então, $$\int_{c}^{d} \int_{a}^{b}{f(x,y)dx} dy = \int_{c}^{d}\left( \int_{a}^{b}{f(x,y)dx} \right) dy = \int_{a}^{b}\left( \int_{c}^{d}{f(x,y)dy} \right) dx.$$

EXEMPLO

Calcule $$\int \int_{R}{(x+y)}dxdy,$$ onde R é o retângulo 1 \leq x \leq 2, 0 \leq y \leq 1.

$$\int \int_{R}{(x+y)}dxdy = \int_{0}^{1} \int_{1}^{2}{(x+y)dx} dy = \int_{0}^{1} \left( \frac{x^2}{2}+yx \right)_{1}^{2} dy = \int_{0}^{1} \left( \frac{3}{2}+y \right)_{1}^{2} dy = 2$$

EXEMPLO

Calcular a integral $$\int \int_{R}{(x+y)}dxdy,$$ onde R é a região delimitada por y=x^2 e y=2x

A região R pode ser representada como abaixo:

$$R: \left\{ \begin{array}{l}
x^2 \leq y \leq 2x\\
0 \leq x \leq 2
\end{array} \right. \;\;\;\;ou\;\;\;\;R: \left\{ \begin{array}{l}
0 \leq y \leq x\\
\frac{y}{2} \leq x \leq \sqrt{y}
\end{array} \right. $$

Desta forma,

$$\int \int_{R}{(x+y)}dxdy = \int_{0}^{2} \left( \int_{x^2}^{2x}{(x+y)dy} \right)dx = \frac{52}{15}$$

ou

$$\int \int_{R}{(x+y)}dxdy = \int_{0}^{4} \left( \int_{\frac{y}{2}}^{\sqrt{x}}{(x+y)dx} \right)dx = \frac{52}{15}$$

EXEMPLO

Calcular $$\int \int_{R}{y\sin{(xy)}}dxdy$$ onde R é o retângulo de vértices \left( 0, \frac{\pi}{2} \right), \left( 1, \frac{\pi}{2} \right), (1, \pi) e (0, \pi).

A região R é dada por

$$R: \left\{ \begin{array}{l}
0 \leq x \leq 1\\
\frac{\pi}{2} \leq y \leq \pi
\end{array} \right.$$

Assim,

$$\int \int_{R}{y\sin{(xy)}}dxdy = \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\left( \int_{0}^{1} {y\sin{(xy)} }dx \right)dy$$
$$ = \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\left(-\cos{xy} \right)_{0}^{1}dy$$
$$ = 1+\frac{\pi}{2}$$

EXEMPLO

Calcular $$\int_{0}^{2}\left( \int_{4x}^{4} {e^{-(y^2)}} dy \right)dx.$$

Não é possível calcular a integral na ordem de integração dada, pois a função f(y) = e^{-y^2} não possui primitiva dentre as funções elementares do cálculo.

Assim, a região R é dada por

$$R: \left\{ \begin{array}{l}
0 \leq x \leq 1\\
4x\leq y \leq 4
\end{array} \right.$$

que é representado pela figura:

Assim, $$R: \left\{ \begin{array}{l}
0 \leq x \leq \frac{y}{4}\\
0 \leq y \leq 4
\end{array} \right.$$

Daí,

\begin{eqnarray*}
\int_{0}^{2}\left( \int_{4x}^{4} {e^{-(y^2)}} dy \right)dx & = & \int_{0}^{4}\left( \int_{0}^{\frac{1}{4}y} {e^{-(y^2)} }dx \right)dy\\
& = & \int_{0}^{4} \left( \frac{1}{4}ye^{-(y^2)} \right)dy\\
& = & \frac{1}{8}\left( 1 -e^{-16}\right)\\
\end{eqnarray*}

Propriedades da Integral Dupla

Vamos relacionar aqui várias propriedades das integrais duplas, que são comuns às integrais simples.

A linearidade da integral dupla se expressa através das equações:

$$\int \int_{R}{c f(x,y)}dxdy = c \int \int_{R}{f(x,y)}dxdy$$

$$\int \int_{R}{f(x,y)+g(x,y)}dxdy. = \int \int_{R}{f(x,y)}dxdy + \int \int_{R}{g(x,y)}dxdy,$$

onde c é uma constante e f e g são contínuas no dóminio fechado e limitado R. Se R = R_1 \cup R_2, então

$$\int \int_{R}{f(x,y)}dxdy. = \int \int_{R}{f(x,y)}dxdy + \int \int_{R_2}{f(x,y)}dxdy.$$ Se f(x,y) \geq g(x,y), \forall (x,y) \in R, então $$\int \int_{R}{f(x,y)}dxdy \geq \int \int_{R}{g(x,y)}dxdy,$$ por consequência, se f(x,y) \geq 0 teremos $$\int \int_{R}{f(x,y)}dxdy \geq 0.$$

Vamos considerar à seguir o chamado Teorema da Média para integrais duplas:

TEOREMA DA MÉDIA: Seja f (x,y) uma função contínua num domínio conexo e compacto D. Então existe ao menos um ponto \left( \xi, \eta \right) em D, tal que $$\int \int_{D}{f(x,y)}dxdy = f \left( \xi, \eta \right) \int \int_{D}{dxdy} = f \left( \xi, \eta \right) .A$$ onde A é a área de D.

Este teorema da média depende do Teorema do Valor Intermediário que afirma que uma função contínua num domínio conexo e compacto D, assume todos os valores compreendidos entre seu máximo e seu mínimo.

EXEMPLO

Calcular $$\int \int_{R}{xy}dxdy$$ onde R é o triângulo OAB da figura abaixo

Devemos conhecer as equações das retas que delimitam o triângulo OAB:

• A reta que passa por (0,0) e (2,1) é dada por y = \frac{1}{2}x.
• A reta que passa por (0,0) e (1,2) é dada por y = 2x.
• A reta que passa por (1,2) e (2,1) é dada por y = -x + 3.

Assim, a região R é delimitada por y = \frac{1}{2}x, y = 2x e y = -x + 3.

Agora teremos que particionar a região R em duas regiões R_1 e R_2 como mostra a figura acima.

Temos que

A região R_1 é delimitada por 0\leq x \leq 1, y=\frac{1}{2}x e y = 2x

A região R_2 é delimitada por 0\leq x \leq 1, y=\frac{1}{2}x e y = -x+3

Utilizando a propriedade $$\int \int_{R}{f(x,y)}dxdy. = \int \int_{R}{f(x,y)}dxdy + \int \int_{R_2}{f(x,y)}dxdy,$$ temos que

$$\int \int_{R}{xy}dxdy= \int \int_{R_1}{xy}dxdy + \int \int_{R_2}{xy}dxdy$$

$$\int \int_{R}{xy}dxdy= \frac{15}{32} + \frac{37}{32} = \frac{13}{8}$$

Listas de Exercícios Resolvidos Sobre Integrais Duplas

• Integrais Duplas | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Integrais Duplas | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Mudança de Variável na Integral Dupla | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos

Leia Mais:

• Mudança de Variável em Integrais Duplas | Funções de Várias Variáveis
• Maximos e Mínimos: O Método dos Multiplicadores de Lagrange
• Derivadas Parciais | Funções de Várias Variáveis a Valores Reais
• Limite e Continuidade de Funções de Várias Variáveis Reais

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