Hipérbole (Seções Cônicas) | 9 Exercícios Resolvidos com Soluções Detalhadas

Melhore sua compreensão de hipérboles como curvas planas geradas por seções cônicas com estes 9 exercícios resolvidos com soluções detalhadas. Perfeito para estudantes de graduação em ciências exatas e da terra.

O que é uma hipérbole como curva plana gerada por seção cônica?

uma hipérbole se \pi for paralelo ao eixo e ;

Construindo uma Hipérbole no Plano

A Hipérbole é o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja diferença das distâncias, em valor absoluto, a dois pontos fixos desse plano é constante. Consideremos no plano dois pontos distintos F_1 e F_2 tal que a distância d \left( F_1 , F_2 \right) = 2c . Seja um número real a tal que 2a < 2c . Ao conjunto de todos os pontos P do plano tais que: $$ \left| d \left(P , F_1 \right) – d \left( P , F_2 \right) \right| = 2a $$ ou $$ \left| |\vec{ P F_1 } | –  | \vec{P F_2}| \right| = 2a $$ dá se o nome de hipérbole e é representada pela curva abaixo:

Leia nosso artigo sobre hipérboles e sobre seções cônicas:

• A Hipérbole: Um estudo desta Curva como uma Seção Cônica
  
• Compreendendo as Seções Cônicas: Um Guia Introdutório

Seções Cônicas: Hipérboles – 9 Exercícios Resolvidos com Soluções Detalhadas

1) Nos problemas abaixo, para cada uma das hipérboles, determine:

• a medida dos semi-eixos;
• um esboço do gráfico;
• os vértices;
• os focos;
• a excentridade;
• as equações das assíntotas

a) 9x^2 -7y^2 = 63

SOLUÇÃO: 

b) x^2 -4y^2 +16 = 0

SOLUÇÃO: 

c) x^2 -y^2  = 4

SOLUÇÃO: 

2) Uma hipérbole tem focos em F_1 (-5,0) e F_2 (5,0) e a medida do eixo real é igual a 6. Determine sua equação.

SOLUÇÃO: 

3) Determinar a equação da hipérbole de vértices A_1 (1,-2) e A_2 (5,-2) , sabendo que F_1 (6,-2) é um de seus focos.

SOLUÇÃO: 

4) Determinar o centro, um esboço do gráfico, os vértices e os focos da hipérbole de equação $$9x^2-4y^2-54x+8y+113 = 0.$$

SOLUÇÃO: 

• Vértices: A_1(3,-2) e A_2 (3, 4) ;
• Focos: para determinar os focos precisamos conhecer o valor de c . $$ c^2 = a^2 +b^2 \Rightarrow c^2 = 9 + 4 = 13 \Rightarrow c = \sqrt{13}.$$ Logo, os focos são  F_1 (3,1 - \sqrt{13}) e F_2 (3, (3,1 + \sqrt{13})  ;

5) Obter a equação reduzida resultante de uma translação de eixos, classificar, dar os elementos e oesboçar o gráfico da equação $$7x^2-9y^2+28x+54y-116 = 0.$$

SOLUÇÃO: 

6) Ache as equações da hipérbole e das suas assíntotas, conhecendo:

a) os focos F_1 (-\sqrt{13},0) e F_2 (\sqrt{13},0) e a medida do eixo transverso, 6;

SOLUÇÃO: 

b) um foco F_1 (0, -\sqrt{11}) , a distância focal 2 \sqrt{11} , e a medida do eixo conjugado 2 \sqrt{7} , sabendo que o outro foco está sobre o eixo Oy.

SOLUÇÃO: 

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