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Se você está estudando hipébole como uma curva gerada por seções cônicas e tendo problemas, não se preocupe! Este artigo oferecerá explicações claras para ajudá-lo a compreender as propriedades e equações das hipérboles.
Se você está lutando para entender hipérboles como seções cônicas, você não está sozinho. Esse conceito matemático pode ser confuso, mas com a ajuda deste guia abrangente, você entenderá melhor o que são as hipérboles, como funcionam e como resolver problemas envolvendo-as.
O que são seções cônicas?
As seções cônicas são as curvas que resultam da interseção de um plano e um cone. O cone pode ser um cone circular reto ou um cone oblíquo. As curvas resultantes são classificadas em quatro tipos: círculos, elipses, parábolas e hipérboles. Cada tipo de curva tem suas próprias propriedades e aplicações únicas em matemática e física. As parábolas, em particular, têm uma propriedade foco-diretriz que as torna úteis em óptica e comunicação por satélite.
O que é uma hipérbole e como ela é definida?
Uma hipérbole é um tipo de seção cônica, que é uma curva que pode ser formada pela interseção de um plano com um cone. Especificamente, uma hipérbole é formada quando um plano intercepta as duas metades de um cone duplo em um ângulo que é mais acentuado que o ângulo dos lados do cone. Isso resulta em uma curva que tem duas ramificações que são imagens espelhadas uma da outra e que nunca se cruzam. A forma de uma hipérbole é semelhante à de uma parábola, mas com duas ramificações em vez de uma.
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Construindo uma Hipérbole
A Hipérbole é o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja diferença das distâncias, em valor absoluto, a dois pontos fixos desse plano é constante. Consideremos no plano dois pontos distintos F_1 e F_2 tal que a distância d \left( F_1 , F_2 \right) = 2c . Seja um número real a tal que 2a < 2c . Ao conjunto de todos os pontos P do plano tais que: $$ \left| d \left(P , F_1 \right) – d \left( P , F_2 \right) \right| = 2a $$ ou $$ \left| |\vec{ P F_1 } | – | \vec{P F_2}| \right| = 2a $$ dá se o nome de hipérbole e é representada pela curva abaixo:
Como se vê. a hipérbole é uma curva com dois ramos. Na verdade, pela equação $$ \left| d \left(P , F_1 \right) – d \left( P , F_2 \right) \right| = 2a $$ um ponto P esta na hipérbole se, e somente se: $$ d \left(P , F_1 \right) – d \left( P , F_2 \right) = \pm 2a .$$ Quando P estiver no ramo da direita, a diferença é + 2a e, em caso contrário, será -2a .
Consideremos a reta que passa por F_1 e F_2 e sejam A_1 e A_2 os pontos de interseção da hipérbole com esta reta. Consideremos outra reta perpendicular a esta passando pelo ponto médio C do segmento F_1 F_2 conforme a figura abaixo:
A hipérbole é uma curva simétrica em relação a estas duas retas como também em relação ao ponto C . Se P_1 é um ponto da hipérbole, existem os pontos P_2 , P_3 e P_4 tais que: P_2 é o simétrico de P_1 em relação à reta horizontal, P_3 é simétrico a P_1 em relação à reta vertical, P_4 é o simétrico de P_1 em relação ao ponto C .
Ainda, pela simetria, conclui-se que: $$ d \left(A_1 , F_1 \right) = d \left( A_2 , F_2 \right) $$ e da própria definição, vem $$ d \left(A_1 , A_2 \right)= 2a.$$
Como representar graficamente uma hipérbole?
A representação gráfica de uma hipérbole pode parecer assustadora no início, mas pode ser dividida em algumas etapas simples. Primeiro, determine o centro da hipérbole encontrando o ponto médio entre os dois focos. Em seguida, desenhe o eixo transversal, que é a linha que passa pelos dois vértices da hipérbole. Em seguida, desenhe o eixo conjugado, que é perpendicular ao eixo transversal e passa pelo centro da hipérbole. Finalmente, use a distância entre os focos e os vértices para desenhar os dois ramos da hipérbole. Com a prática, a representação gráfica de hipérboles se tornará uma segunda natureza.
Os Elementos de Uma Hipérbole
Considerando a figura da hipérbole abaixo, temos:
- Focos: são os pontos F_1 e F_2 ;
- Distância Focal: é a distância entre os focos;
- Centro: é o ponto médio C do segmento F_1 F_2 .
- Vértices: são os pontos A_1 e A_2 ;
- Eixo real ou transverso: é o segmento A_1 A_2 de comprimento 2a ;
- Eixo imaginário ou conjugado: é o segmento B_1 B_2 de comprimento 2b .
O valor de b é definido através da relação c^2 = a^2 + b^2 , onde a, b e c são as medidas dos lados do triângulo retângulo B_2 C A_2 . O retângulo construído pelos pontos M, N , P e Q tem dimensões 2a e 2 b (conforme a figura abaixo). As retas r e s , que contém as diagonais do referido retângulo, chama-se assíntotas da hipérbole.
As asíntotas são retas das quais a hipérbole se aproxima cada vez mais à medida que os pontos se afastam dos focos. Esta aproximação é “contínua” e “lenta” de forma que a tendência da hipérbole é tangenciar suas assíntotas no infinito. Naturalmente esta particularidade das assíntotas constitui um excelente guia para traçar o esboço do gráfico conforme podemos ver na figura abaixo. O ângulo \theta assinalado na figura é chamado abertura da hipérbole. Chama-se excentricidade da hipérbole ao número e dado por $$ e = \frac{c}{a}.$$ Mas c>a , portanto, e > 1 . A excentridade da hipérbole está intimamente relacionada com sua abertura.
A Equação da Hipérbole – O Caso mais Simples: origem na origem do sistema
Um hipérbole com focos F_1 e F_2 é o conjunto dos pontos P do plano cuja diferença das distâncias a F_1 e F_2 , em módulo, é igual uma constante denotada por 2a .
1º Caso: O eixo real está sobre o eixo dos x:
Seja P(x,y) um ponto qualquer da hipérbole abaixo de focos F_1(-c,0) e F_2(c,0) . Por definição, tem-se $$ \left| d \left(P , F_1 \right) – d \left( P , F_2 \right) \right| = 2a $$ ou, em coordenadas, $$ \left| \sqrt{(x+c)^2 + y^2} – \sqrt{(x-c)^2 + y^2} \right| = 2a.$$
Com procedimento de simplificação análogo ao que foi usado na dedução da equação da elipse, e lembrando que c^2 = a^2 + b^2 , chegaremos à equação: $$ \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1 $$ que é a equação reduzida da hipérbole de centro na origem e eixo real sobre o eixo dos x .
2º Caso: O eixo real está sobre o eixo dos y:
Como já ocorreu com a parábola e a elipse, a equação desta hipérbole somente difere da anterior pela troca de posição das variáveis: $$ \frac{y^2}{a^2} – \frac{x^2}{b^2} = 1 $$
Equação da Hipérbole: A Translação de Eixos
Consideremos no plano cartesiano xOy num ponto O'(h,k) , arbitrário. Vamos introduzir um novo sistema x'Oy' tal que os eixos Ox' e Oy' tenham a mesma unidade de medida, a mesma direção e o mesmo sentido dos eixos Ox e Oy . Nesta condições, um sistema pode ser obtido do outro, através de uma translação de eixos.
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Seja P um ponto qualquer do plano tal que suas coordenadas são:
- x e y em relação ao sistema xOy ;
- x' e y' em relação ao sistema x'Oy' ;
Pela figura acima, obtem-se $$ x = x’ + h \qquad y = y’+k$$ ou $$ x’ = x-h \qquad y’ = y – k $$ que são as formas de translação e que permitem transformar coordenadas de uma siste ma para outro, sendo que, a principal finalidade da transformação de coordenadas é modificar a forma de equações.
A Equação da Hipérbole deCentro Fora da Origem do Sistema
1º Caso: O eixo real da hipérbole é paralelo ao eixo dos x: Consideremos a hipérbole com centro C(h,k) e eixo maior paralelo ao eixo dos x e seja P(x,y) um ponto qualquer da mesma.
Assim, podemos concluir como fizemos para a equação da elipse, que $$ \frac{(x-h)^2}{a^2} – \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1 $$ que é a equação reduzida da hipérbole de centro no ponto C(h,k) e eixo real paralelo ao eixo dos x .
2º Caso: O eixo real da hipérbole é paralelo ao eixo dos y: Consideremos a hipérbole com centro C(h,k) e eixo maior paralelo ao eixo dos y e seja P(x,y) um ponto qualquer da mesma, de forma análoga, temos $$ \frac{(y-k)^2}{a^2} – \frac{(x-h)^2}{b^2} = 1 $$ que é a equação reduzida da hipérbole de centro no ponto C(h,k) e eixo real paralelo ao eixo dos x .
Aplicações reais das hipérboles.
As hipérboles têm muitas aplicações no mundo real, particularmente em física e engenharia. Por exemplo, espelhos hiperbólicos são usados em telescópios e antenas parabólicas para refletir e focalizar a luz. As torres de resfriamento hiperbólicas são usadas em usinas de energia para resfriar a água quente antes de ser reutilizada. Os parabolóides hiperbólicos são usados na arquitetura para criar estruturas únicas e visualmente impressionantes. Entender as hipérboles é essencial para quem trabalha nessas áreas.