Introdução às Superfícies: Parametrização, Suavidade e Cálculo de Área.

integrais de superfícies.

Uma superfície \mathbb{S} no \mathbb{R} ^3 pode ser representada implicitamente na forma f(x,y,z) = 0.

Esse tipo de função f(x,y,z) é chamada de Campo Escalar, ou Função de Várias Variáveis a Valores Reais, em geral são funções na forma f: A \subset \mathbb{R} ^n\rightarrow \mathbb{R}, que associa a cada n-upla de \mathbb{R} ^n um escalar.

De modo explícito, a mesma superfície \mathbb{S} pode ser dada por uma função vetorial dada por z=g(x,y), ou seja, uma função de duas variáveis reais a valores reais.

Vamos entender como.

REPRESENTAÇÃO EXPLÍCITA E IMPLÍCITA DE SUPERFÍCIES

Uma superfície \mathbb{S} no \mathbb{R} ^3 pode ser representada implicitamente na forma f(x,y,z) = 0, onde \nabla f(x,y,z) é o vetor normal à superfície e, se \nabla f \neq 0, então o vetor $$\vec{n} = \frac{\nabla f}{\left\| \nabla f \right\|}$$ é o vetor normal unitário de \mathbb{S}.

De modo explícito, a mesma superfície \mathbb{S} pode ser dada por uma função vetorial dada por z=g(x,y).

Para encontrarmos esta forma explícita basta isolar a variável z na forma implícita da superfície \mathbb{S}.

REPRESENTAÇÃO PARAMÉTRICA DE UMA SUPERFÍCIE

Uma superfície \mathbb{S} pode ser representada de modo paramétrico na forma $$r(u,v) = x(u,v)\vec{i} + y(u,v)\vec{j} + z(u,v)\vec{k}.$$

R

PLANO TANGENTE E SUPERFÍCIE NORMAL

que você confere aquiPlano tangente à superfície

O QUE SÃO SUPERFÍCIES SUAVES?

DEFINIÇÃO (SUPERFÍCIE SUAVE): Uma superfície \mathbb{S} é chamada de superfície suave se sua superfície normal depende continuamente dos pontos de \mathbb{S}, ou seja, em cada ponto de uma superfície suave existe um único plano tangente à ela ligada a esse ponto.

Essa condição, é conhecida como condição de suavidade ou regularidade da superfície.pontos singulares. pontos singulares falsos.Exemplos de Superfícies Suaves

DEFINIÇÃO (SUPERFÍCIE SUAVE POR PARTES): Uma superfície \mathbb{S} é chamada de superfície suave por partes se é constituída de uma quantidade finita de porções de superfícies suaves.

Exemplos de Superfícies Suaves por Partes

O QUE SÃO SUPERFÍCIES ORIENTÁVEIS?

superfície é orientável.Exemplo de uma Superfície OrientávelOrientação de um cubo: superfície externa

EXEMPLO (PARAMETRIZAÇÃO DO PLANO):

EXEMPLO (PARAMETRIZAÇÃO DA ESFERA):

Uma esfera com centro na origem e raio a pode ser representada pela função $$f(x,y,z,) = x^2+y^2+z^2-a^2=0.$$

xy 

Já a parametrização da esfera é dada por:

$$r(u,v) = (a\cos{u}\cos{v})\vec{i} + (a\sin{u}\cos{v})\vec{j} + (a\sin{v})\vec{k},$$
onde 0\leq u \leq 2\pi e 0 \leq v \leq \pi.

Campo de Vetores normais à esfera

EXEMPLO (PARAMETRIZAÇÃO DO CILINDRO):

a, 2z 

$$r(u,v) = (a\cos{u})\vec{i} + (a\sin{u})\vec{j} + (v\vec{k}),$$
onde 0\leq u \leq 2\pi e v \in [-1,1].

EXEMPLO (PARAMETRIZAÇÃO DO CONE):

EXEMPLO (A FAIXA DE MOBIUS):

A Faixa de Mobius

1. É uma superfície com uma componente de fronteira;
2. Não é orientável.
3. Possui apenas um lado.
4. Possui apenas uma borda.
5. Representa um caminho sem fim nem início, infinito, onde se pode percorrer toda a superfície da fita que aparenta ter dois lados, mas só tem um.

Área da Superfície

1. dA = \left\| \frac{\partial r}{\partial u} \wedge \frac{\partial r}{\partial v} \right\| dudv, se \mathbb{S} é denotada em sua forma paramétrica r(u,v);
2.  dA = \sqrt{1+\left( \frac{\partial g}{\partial x}\right)^2 + \left( \frac{\partial g}{\partial y}\right)^2}dxdy se \mathbb{S} é denotada em sua forma explícita z=g(x,y)

EXEMPLO R a.EXEMPLO

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