Números Complexos | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos

Neste artigo oferecemos uma lista de exercícios resolvidos sobre a forma polar ou trigonométrica de um número complexo. Em alguns problemas, a forma cartesiana de um numero complexo não é tão prática e a forma polar de um número complexo se torna uma ótima opção. Desta forma, z=x+iy = r\left( cos(\theta) + i sen(\theta) \right) é chamada de forma trigonométrica ou polar de um número complexo  z , onde o números reais r e \theta são as coordenadas polares do ponto P(x,y) do plano.

valor absolutomóduloargumento de z

Podemos definir regras muito convenientes para operações entre números complexos usado suas formas polares. Sejam z_1 = r_1(\cos{\theta _1} + i \sin{\theta _1}) e z_2 = r_2 (\cos{\theta _2} + i\sin{\theta _2}) então:

1. z_1 . z_2 = r_1 r_2 \left[ \cos{(\theta _1 + \theta _2)} + i \sin{(\theta _1 + \theta _2)} \right];
2. \frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{ r_2} \left[ \cos{(\theta _1 - \theta _2)} + i \sin{(\theta _1 - \theta _2)} \right] ;
3. z^n = r^n \left( \cos{n \theta} + i \sin{n \theta} \right);
4. Se z=w^n, sendo w um número complexo, daí, w = \sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r} \left( \cos{\left( \frac{\theta +2k \pi}{n} \right)} + i \sin{\left( \frac{\theta +2k \pi}{n} \right)} \right).

A Forma Polar de Um Número Complexo | Lista de Exercícios Resolvidos

1) Encontre a forma trigonométrica do número complexo z = -1 + \sqrt{3} i .

SOLUÇÃO: 

2) Qual é o lugar geométrico das imagens dos complexos z tais que $$| 1- z | = | 3 +z | ?$$

SOLUÇÃO: 

3) Prove que se z_1 = r_1(\cos{\theta _1} + i \sin{\theta _1}) e z_2 = r_2 (\cos{\theta _2} + i\sin{\theta _2}) então  z_1 . z_2 = r_1 r_2 \left[ \cos{(\theta _1 + \theta _2)} + i \sin{(\theta _1 + \theta _2)} \right].

SOLUÇÃO: 

4) Prove que se z_1 = r_1(\cos{\theta _1} + i \sin{\theta _1}) e z_2 = r_2 (\cos{\theta _2} + i\sin{\theta _2}) então \frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{ r_2} \left[ \cos{(\theta _1 - \theta _2)} + i \sin{(\theta _1 - \theta _2)} \right] .

SOLUÇÃO: 

5) Prove a Formula de De Moivre: Se n é inteiro, então $$ \left[ r (\cos{\theta} + i \sin{\theta}) \right]^n  = r^n (\cos{n \theta} + i \sin{ n \theta}) .$$

SOLUÇÃO: 

6) Calcule \left(1 + \sqrt{3} i \right) ^{20}

SOLUÇÃO: 

7) Determine as raízes cúbicas de 8.

SOLUÇÃO: 

Listas de Exercícios Resolvidos:

• Números Complexos: Módulo e Conjugado | Exercícios Resolvidos

Referências Bibliográficas:

Abaixo seguem os títulos usados como base para este artigo. Para conferir os títulos específicos basta clicar nos links em azul.

1. KREYSZIG, E. Advanced Engineering Mathematics, John Wiley & Song, Inc., 8th Edition, 1999.
2. ÁVILA, Geraldo S. S. Variáveis Complexas e Aplicações. 3ª Edição. Rio de Janeiro: LTC, 2000.
3. ZILL, Dennis G. “Curso Introdutório à Análise Complexa com Aplicações”. 2ª edição, LTC, Rio de Janeiro, 2011 
4. LIMA, Elon Lages, CARVALHO, Paulo Cezar Pinto, WAGNER, Eduardo e MORGADO, Augusto César. “A Matemática do Ensino Médio, volume 3”.

Leia Mais:

• Números Complexos | A Forma Polar e as Operações Elementares
• Números Complexos | A Exponencial de um Número Complexo
• Funções de Variáveis Complexas | Uma Introdução.
• O que são Conjuntos Numéricos? Dos Naturais aos Complexos.