O que é um Vetor? Um guia ilustrado dos vetores no espaço.

Você está tendo dificuldade para entender a lógica geométrica dos vetores? Este guia ilustrado detalha tudo o que você precisa saber sobre matemática vetorial.

Os vetores podem ser difíceis de entender. No entanto, com a abordagem correta e as técnicas de visualização, qualquer pessoa pode se sentir confortável com esse conceito matemático.

Neste guia, detalharemos os vetores no espaço e exploraremos suas propriedades por meio de ilustrações úteis, pois queremos apenas te apresentar a noção geométrica de vetor. Os vetores constituem uma importante ferramenta para o estudo da geometria analítica, da Físca, do Cálculo, etc. Você encontrará aqui as resposta para as perguntas:

O que é um vetor?
Como funciona um vetor?
Pra que serve um vetor?

Livro referência deste artigo sobre os Vetores: “Geometria Analítica”, de Steinbruch e Winterle.

Relembrando as notações de geometria clássica

Os nossos ambientes de estudo na geometria analítica serão o plano $\mathbb{R} ^2$ e o espaço $\mathbb{R} ^3$ , que de forma intuitiva devem ser enxergados como os espaços físicos que nos cercam.

Os pontos nestes ambientes serão indicados por letras latinas maiúsculas ( $A , B, C, D, ...$ ); as retas por letras latinas minúsculas ( $r, s, t, ...$ ) e os planos por letras gregas minúsculas ( $\alpha , \beta, \gamma, \pi, ...$ ).

Se uma reta $r$ contem os pontos $P$ e $Q$ , falaremos em “reta $PQ$ “; o segmento geométrico de extremidades $P$ e $Q$ será indicado por $PQ$ . Quando um plano contém o pontos $P$ , $Q$ e $R$ não colineares, falaremos em “plano $PQR$ .”

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Definições importantes para entender o que é um vetor

Vetores são objetos matemáticos que possuem magnitude e direção. Eles são comumente usados em física, engenharia e outros campos para descrever quantidades físicas como força e velocidade. Na geometria, eles são usados para representar linhas e planos no espaço.

Compreender os vetores é essencial para muitos conceitos matemáticos avançados. Mas até definirmos o que é um vetor com o rigor matemático precisamos estabelecer conceitos necessários.

DEFINIÇÃO (reta orientada – eixo): Uma reta $r$ é orientada quando se fixa nela um sentido de percurso, considerado positivo e indicado por uma seta como na figura abaixo. O sentido oposto é negativo. Uma reta orientada é denominada eixo.

Uma reta r é orientada quando se fixa nela um sentido de percurso, considerado positivo e indicado por uma seta como na figura abaixo. O sentido oposto é negativo. Uma reta orientada é denominada eixo. — **Reta Orientada – Eixo**

DEFINIÇÃO (segmento orientado): Um segmento orientado é um par odenado de pontos, o primeiro denominado origem e o segundo denominado extremidade. Um segmento orientado de origem $A$ e extremidade $B$ , será representado por AB e geometricamente será indicado por uma reta que caracteriza visualmente o sentido do segmento como na figura abaixo.

Um segmento orientado é um par odenado de pontos, o primeiro denominado origem e o segundo denominado extremidade. Um segmento orientado de origem <span class="katex-eq" data-katex-display="false"> A </span> e extremidade <span class="katex-eq" data-katex-display="false"> B </span>, será representado por AB e geometricamente será indicado por uma reta que caracteriza visualmente o sentido do segmento como na figura abaixo. — **O segmento orientado AB**

DEFINIÇÃO (Medida de um Segmento) Fixada uma unidade de comprimento, a cada segmento orientado pode-se associar um número real, não-negativo, que é a medida do segmento em relação àquela unidade. A medida do segmento orientado é seu comprimento ou seu módulo. O comprimento do segmento $AB$ é indicado por $\overline{PQ}$ .

Fixada uma unidade de comprimento, a cada segmento orientado pode-se associar um número real, não-negativo, que é a medida do segmento em relação àquela unidade. A medida do segmento orientado é seu comprimento ou seu módulo. — **O comprimento do segmento AB neste caso é de 5 unidades de comprimento.**

OBSERVAÇÕES

Um segmento nulo é aquele cuja extremidade coincide com a origem. Os segmentos nulos têm comprimento igual a zero;
Se $AB$ é um segmento orientado, o segmento orientado $BA$ é oposto de $AB$ . O comprimento de segmentos opostos é igual.

DEFINIÇÃO (Direção e Sentido): Dois segmentos não nulos $AB$ e $CD$ tem mesma direção se as retas suportes desses segmentos são paralelas ou coincidentes.

Dois segmentos não nulos <span class="katex-eq" data-katex-display="false"> AB </span> e <span class="katex-eq" data-katex-display="false"> CD </span> tem mesma direção se as retas suportes desses segmentos são paralelas. — **Dois pares de segmentos orientados com mesma direção.**

OBERVAÇÕES:

Só se pode comparar os sentidos de dois segmentos orientados se eles têm a mesma direção;
Dois segmentos orientados opostos têm sentidos contrários.

DEFINIÇÃO (Segmentos Equipolentes): Dois segmentos orientados $AB$ e $CD$ são equipolentes quando têm mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento.

OBSERVAÇÕES:

Dois segmentos nulos são sempre equipolentes;
A equipolência dos segmentos $AB$ e $CD$ é representada por $$ AB \sim CD.$$
Dado um segmento orientado $AB$ e um ponto $C$ , existe um único ponto $D$ tal que $AB \sim CD$ .

Enfim vamos definir o que é um vetor

Um vetor determinado por um segmento orientado $AB$ é o conjunto de todos os segmentos orientados equipolentes a $AB$ , como representado na figura abaixo.

Um vetor determinado por um segmento orientado <span class="katex-eq" data-katex-display="false"> AB </span> é o conjunto de todos os segmentos orientados equipolentes a <span class="katex-eq" data-katex-display="false"> AB </span> — **Vetor**

Se indicarmos como $\vec{v}$ este conjunto, simbolicamente poderemos escrever: $$ \vec{v} = \left\{ XY; XY \sim AB \right\}$$ onde $XY$ é um segmento qualquer do conjunto. O vetor determinado por $AB$ é indicado por $\vec{AB}$ ou $B - A$ ou $\vec{v}$ .

Portanto, um mesmo vetor $\vec{AB}$ é determinado por uma infinidade de segmentos orientados, chamados representantes desse vetor, e todos equipolentes entre si. Ou seja, todos com mesma direção, sentido e comprimento. O módulo de $\vec{v}$ se indica por $| \vec{v} |$ .

Os Principais Tipos de Vetores

Vetores Iguais: Dois vetores $\vec{AB}$ e $\vec{CD}$ são iguais se, e somente se, $AB \sim CD$ ;
Vetor Nulo: Os segmentos nulos, por serem equipolentes entre si, determinam um único vetor, chamado vetor nulo ou vetor zero, que é indicado por $\vec{0}$ ;
Vetores Opostos: Dado um vetor $\vec{v} = \vec{AB}$ , o vetor $\vec{AB}$ , o vetor $\vec{BA}$ é o posto de $\vec{AB}$ e se indica por $- \vec{AB}$ ou por $- \vec{v}$ .
Vetor Unitário: Um vetor $\vec{v}$ é unitário se $| \vec{v} | = 1$ .
Versor: Dado um vetor não nulo $\vec{v}$ , o versor é o vetor unitário de mesma direção e mesmo sentido de $\vec{v}$ . Na figura abaixo, o vetor $\vec{ u_{1}}$ é o versor de $\vec{v}$ , pois mesmo $\vec{ u_{2}}$ sendo unitário e tendo a mesma direção de $\vec{v}$ , ele não tem seu sentido.
$Dado um vetor não nulo \vec{v} , o versor é o vetor unitário de mesma direção e mesmo sentido de \vec{v} $
O versor de um vetor.
Vetores Colineares: Dois vetores $\vec{u}$ e $\vec{v}$ são colineares se tiverem a mesma direção, ou seja, se tiverem representantes pertencentes a uma mesma reta ou a retas paralelas.
$Vetores Colineares: Dois vetores \vec{u} e \vec{v} são colineares se tiverem a mesma direção, ou seja, se tiverem representantes pertencentes a uma mesma reta ou a retas paralelas.$
Vetores Colineares
Vetores Coplanares: Se os vetores não nulos $\vec{u}$ , $\vec{v}$ e $\vec{w}$ possuem representantes pertencentes a um mesmo plano são ditos complanares. Dois vetores são sempre coplanares, mas três vetores poderão ou não ser coplanares.

$Se os vetores não nulos \vec{u} , \vec{v} e \vec{w} possuem representantes pertencentes a um mesmo plano são ditos complanares. Dois vetores são sempre coplanares, mas três vetores poderão ou não ser coplanares.$ Vetores coplanares e não-coplanares

A Soma de Vetores

Sejam os vetores $\vec{u}$ e $\vec{v}$ representados pelos segmentos orientados $\vec{AB}$ e $\vec{BC}$ como na figura abaixo.

Os pontos $A$ e $C$ determinam um vetor $\vec{s}$ uqe é, por definição, a soma dos vetores $\vec{u}$ e $\vec{v}$ , isto é, $\vec{s} = \vec{u} + \vec{v}$ .

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PROPRIEDADES DA ADIÇÃO DOS VETORES:

Comutativa: $\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}$ ;
Associatica: $\left( \vec{u} + \vec{v} \right) + \vec{w} = \vec{u} + \left( \vec{v} + \vec{w} \right)$ ;
O vetor $\vec{0}$ é o vetor nulo da operação de adição, ou seja, $\vec{v} + \vec{0} = \vec{v}$ ;
O vetor $- \vec{v}$ é o vetor oposto de $\vec{v}$ , ou seja, $\vec{v} + (- \vec{v} ) = \vec{0}$ .

A Diferença de Dois Vetores

Chama-se diferença de dois vetores $\vec{u}$ e $\vec{v}$ , e se representa por $\vec{d} = \vec{u} - \vec{v}$ , ao vetor $\vec{u} + \left( - \vec{v} \right) .$

A Regra do Paralelogramo

Dados dois vetores $\vec{u}$ e $\vec{v}$ representados pelos segmentos orientados $AB$ e $AC$ , respectivamente, e construído o paralelogramo $ABCD$ verifica-se que a soma $\vec{s} = \vec{u} + \vec{v}$ é representada pelo segmento orientado $AD$ (uma das diagonais) e que a diferença $\vec{d} = \vec{u} - \vec{v}$ é representada pelo segmento orientado $CB$ (a outra diagonal).

Multiplicação de Vetor por um Número Real

Dado um vetor $\vec{v} \neq \vec{0}$ é um número real $k \neq 0$ , chama-se produto do número real $k$ pelo vetor $\vec{v}$ o vetor $\vec{p} = k \vec{v}$ , tal que:

módulo: $| \vec{p} | = | k | | \vec{v} |$ ;
direção: a mesma de $\vec{v}$ ;
sentido: o mesmo de $\vec{v}$ se $k > 0$ e oposta a de $\vec{v}$ se $k < 0$ .

PROPRIEDADES DO PRODUTO DE VETORES POR NÚMERO REAL:

Dados dois vetores $\vec{u}$ e $\vec{v}$ e $a$ e $b$ dois números reais, temos:

$a ( b \vec{v} ) = (ab) \vec{v}$ ;
$(a + b) \vec{v} ) = a \vec{v} + b \vec{v}$ ;
$a ( \vec{u} + \vec{v} ) = a \vec{u} + a \vec{v}$ ;
$1 \vec{v} = \vec{v}$ .

O Ângulo de Dois Vetores

O ângulo de dois vetores $\vec{u}$ e $\vec{v}$ não nulos é o ângulo $\theta$ formado pelas semi-retas $OA$ e $OB$ , tal que $0 \leq \theta \leq \pi$ , como na figura abaixo:

OBSERVAÇÕES:

Se $\theta = \pi$ , então $\vec{u}$ e $\vec{v}$ têm a mesma direção e sentidos opostos;
Se $\theta = 0$ , então $\vec{u}$ e $\vec{v}$ têm a mesma direção e o mesmo sentido;
Se $\theta = \dfrac{\pi}{2}$ , então $\vec{u}$ e $\vec{v}$ são ortogonais e indica-se $\vec{u} \bot \vec{v}$ ; Neste caso, o triângulo retângulo OBC permite escrever $$ | \vec{u} + \vec{v} | ^2 = | \vec{u} | ^2 + | \vec{v} |^2 .$$
O vetor nulo é ortogonal a qualquer vetor;
Se $\vec{u}$ é ortogonal a $\vec{v}$ e $m$ é um número real qualquer, $\vec{u}$ é ortogonal a $m \vec{v}$ .
O ângulo formado pelos vetores $\vec{u}$ e $- \vec{v}$ é o sulemento do ângulo de $\vec{u}$ e $\vec{v}$ , como na figura abaixo:

O que é um Vetor? Um guia ilustrado dos vetores no espaço.

Você está tendo dificuldade para entender a lógica geométrica dos vetores? Este guia ilustrado detalha tudo o que você precisa saber sobre matemática vetorial.

Relembrando as notações de geometria clássica