Método da Variação dos Parâmetros | 3ª Lista de Exercícios Resolvidos

Neste artigo queremos apresentar uma terceira lista de exercícios resolvidos sobre o Método da Variação dos parâmetros para E.D.O.’s Lineares de 2ª Ordem. O método da variação dos parâmetros foi idealizado pelo matemático francês Lagrange e pode ser visto como uma continuidade do método dos coeficientes indeterminados. Este método nos dá uma solução particular da equação y''+ p(t)y'+q(t)y=g(t), uma vez que são conhecidas soluções da equação homogênea y''+ p(t)y'+q(t)y=0.

A idéia crucial é substituir as constantes c_1 e c_2 na equação y(t) = c_1 y_1(t) + c_2 y_2(t) por funções u_1 (t) e u_2 (t). Assim, y(t) = u_1 (t) y_1(t) +u_2 (t) y_2(t). Agora, determinamos y' e y'' e substituímos ambos na equação não homogênea.

Assim, chegaremos a uma solução particular da EDO não-homogênea é dada por \psi(t) = -y_1(t) \int{\dfrac{y_2(t)g(t)}{W(y_1,y_2)(t)}}dt + y_2(t) \int{\dfrac{y_1(t)g(t)}{W(y_1,y_2)(t)}}dt, e a solução geral será dada por y=c_1y_1(t) + c_2 y_2 (t)+\psi (t).

3ª Lista de Exercícios Resolvidos Sobre o Método da Variação dos Parâmetros:

1) Resolva as EDOs abaixo:

a) y'' -3 y' + 2y = \dfrac{e^{3x}}{1 + e^x}

SOLUÇÃO: A equação característica, dada por $$ \lambda^2 -3 \lambda + 2= 0$$, tem raízes iguais a $$\lambda_ {1} =1, \lambda_ {2} = 2 ,$$ ou seja, raízes reais diferentes, logo $$y(x) =c_1 e^{2x}  + c_2 e^{x}.$$

Desta fora, temos um C.F.S. dado por \{ e^{2x} ,  e^{x} \} onde W( e^{2x} ,  e^{x} ) = - e^{3x}  .

Assim, $$y_p(x) = – e^{2x} \int{\frac{e^{x}}{- e^{3x} } \frac{e^{3x}}{1 + e^x}dx} +  e^{x} \int{\frac{e^{2x}}{- e^{3x} } \frac{e^{3x}}{1 + e^x}dx} $$ $$y_p(x) = e^{2x} \int{\frac{e^{x}}{1 + e^x}dx} \; –  e^{x} \int{\frac{e^{2x}}{1 + e^x}dx} $$ $$y_p(x) = e^{2x} \ln(e^x +1) \; –  e^{x} \left[ e^{x} \; – \ln(e^x +1)  \right] .$$

Portanto, $$y(x) = c_1 e^{2x}  + c_2 e^{x} + e^{2x} \ln(e^x +1) \; –  e^{x} \left[ e^{x} \; – \ln(e^x +1)  \right] .$$

b) y'' +3 y' + 2 y = sen(e^x)

SOLUÇÃO: A equação característica, dada por $$ \lambda^2 +3 \lambda + 2= 0$$, tem raízes iguais a $$\lambda_ {1} =-1, \lambda_ {2} = -2 ,$$ ou seja, raízes reais diferentes, logo $$y(x) =c_1 e^{-2x}  + c_2 e^{-x}.$$

Desta fora, temos um C.F.S. dado por \{ e^{-2x} ,  e^{-x} \} onde W( e^{-2x} ,  e^{-x} ) = e^{-3x}  .

Assim, $$y_p(x) = – e^{-2x} \int{\frac{e^{-x} sen(e^x)}{ e^{-3x} } dx} + e^{-x} \int{\frac{e^{-2x} sen(e^x)}{ e^{-3x} } dx} $$ $$y_p(x) = – e^{-2x} \int{e^{-4x} sen(e^x) dx} + e^{-x} \int{e^{-5x} sen(e^x)dx} $$ $$y_p(x) = – e^{-2x}sen(e^x).$$

Portanto, a solução neste caso é dada por $$y(x) = c_1 e^{-2x}  + c_2 e^{-x}\; – e^{-2x}sen(e^x).$$

c) 4 y'' -4 y' + y = e^{x/2}\sqrt{1 - x^2}

Facilmente encontramos $$y_h(t) = c_1 e^{x/2} + c_2 x e^{x/2} $$ nos dando um  C.F.S. igual a \{ e^{x/2} , x e^{x/2} \} onde W( e^{x/2} , x e^{x/2} ) = e^{x}  .

Desta forma, $$y_p(x) = – e^{x/2} \int{\frac{(e^{x/2}\sqrt{1 – x^2}) (x e^{x/2})}{4e^{x}}dx} +  x e^{x/2} \int{\frac{(e^{x/2}\sqrt{1 – x^2}) (e^{x/2})}{4e^{x}}dx} $$

$$y_p(x) = \frac{1}{4} \left[  – e^{x/2} \int{ x \sqrt{1 – x^2}dx} +  x e^{x/2} \int{\sqrt{1 – x^2}dx} \right]$$

$$y_p(x) = \frac{1}{4} \left[  – e^{x/2} \left[ -\frac{\left(1-x^2 \right)^{3/2}}{3}\right]+  x e^{x/2} \left[ \frac{\mathrm{arcsen}\left( x\right) }{2}+\frac{x\,\sqrt{1-{x}^{2}}}{2} \right]  \right]$$

$$y_p(x) = \frac{1}{4} \left[  x\,{e}^{\frac{x}{2}}\,\left( \frac{\mathrm{arcsen}\left( x\right) }{2}+\frac{x\,\sqrt{1-{x}^{2}}}{2}\right) +\frac{{\left( {x}^{2}-1\right) }^{\frac{3}{2}}\,{e}^{\frac{x}{2}}}{3} \right].$$

$$ y_p(x) = \frac{1}{4} \left[  x\,{e}^{\frac{x}{2}}\,\left( \frac{\mathrm{arcsen}\left( x\right) }{2}+\frac{x\,\sqrt{1-{x}^{2}}}{2}\right) +\frac{{\left( {x}^{2}-1\right) }^{\frac{3}{2}}\,{e}^{\frac{x}{2}}}{3} \right].$$

Portanto, $$y(x) = c_1 e^{\frac{x}{2}} + c_2 x e^{\frac{x}{2}} + \frac{1}{4} \left[  x\,{e}^{\frac{x}{2}}\,\left( \frac{\mathrm{arcsen}\left( x\right) }{2}+\frac{x\,\sqrt{1-{x}^{2}}}{2}\right) +\frac{{\left( {x}^{2}-1\right) }^{\frac{3}{2}}\,{e}^{\frac{x}{2}}}{3} \right] $$

d) xy''-(2x+1)y' + (x+1)y = (x^2 + x-1) e^{2x}

SOLUÇÃO: Esta equação não possui coeficientes constantes, lno precisamos encontrar uma solução particular y_1(x) da equação homogênea associada xy''-(2x+1)y' + (x+1)y = 0 .

Observe que a soma dos coeficientes desta equação é igual a zero. De fato, x - 2x-1 + x+1 = 0 . Motivado por isso, queremos uma solução y_1(x) cujas derivadas de primeira e segunda ordem sejam iguais a ela mesma. Desta forma, podemos tomar y_1(x) = e^x .

Usando o Método da Redução de Ordem, encontramos y_2(x) =e^x \int{u(x)}dx com u(x) = \frac{e^{-\int{ -\frac{2x+1}{x}}dx}}{e^{2x}}= \frac{e^{\int{\frac{2x+1}{x}}dx}}{e^{2x}} = x .

Ou seja, y_2(x) =e^x \int{x}dx = \dfrac{x^2 e^x}{2} .

Logo, a solução da equação homogênea associada xy''-(2x+1)y' + (x+1)y = 0, é dada por $$y_h (x) = c_1 e^x +c_2 x^2 e^x.$$ Iremos usar o Método da Variação dos Parâmetros para encontrar y_p (x) . Observando que um C.F.S. da equação homogênea associada é \{ e^x , x^2 e^x \} , calculamos W \left( e^x , x^2 e^x \right) = 2\,x\,{e}^{2\,x}  . Assim:

$$y_p (x) = -e^x \int{ \frac{x e^x (x^2 + x-1) e^{2x} }{2\,x\,{e}^{2\,x}} dx}+ x^2 e^x \int{ \frac{e^x (x^2 + x-1) e^{2x} }{2\,x^2\,{e}^{2\,x}} dx}$$

$$y_p (x) = -e^x \int{\frac{{e}^{x}\,\left( {x}^{2}+x-1\right) }{2}dx}+ x^2 e^x \int{ \frac{{e}^{x}\,\left( {x}^{2}+x-1\right) }{2\,x^2} dx}$$

$$ y_p (x) = xe^{2x}$$

Portanto, $$y(x) = c_1 e^x +c_2 x^2 e^x + xe^{2x}.$$

Mais Listas de Exercícios Resolvidos Sobre a Variação dos Parâmetros:

• Método da Variação dos Parâmetros | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Método da Variação dos Parâmetros | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos
  
• Método da Variação dos Parâmetros | 4ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Método da Variação dos Parâmetros | 5ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Método da Variação dos Parâmetros | 6ª Lista de Exercícios Resolvidos

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