Método da Variação dos Parâmetros: EDOs de 2ª Ordem Lineares

Nesse artigo queremos apresentar o Método da Variação dos Parâmetros para solucionar EDO’s de segunda ordem da forma $$y” +b(t)y’+c(t)y = f(t),$$ que são EDO’s lineares, não-homogêneas com coeficientes não necessariamente constantes.

Se f for identicamente nula então teremos um EDO homogênea de segunda ordem, cuja forma de solução foi apresentada nesse outro artigo. Ou seja, voltamos nossa atenção para as equações lineares não homogêneas $$y” + p(t) y’ + q(t) y = g(t),$$ onde p(t) e q(t) são funções contínuas em um intervalo aberto a < t < b.

TEOREMA: Sejam y_1(t) e y_2(t) um conjunto fundamental de soluções da equação homogênea $$y” + p(t) y’ + q(t) y = 0$$ e \psi (t) uma solução particular da equação não-homogênea $$y” + p(t) y’ + q(t) y = g(t)$$. Então, qualquer solução da equação não homogênea é dada na forma $$y(t) = c_1 y_1 (t) + c_2 y_2 (t) + \psi (t)$$ para constantes c_1 e c_2.

O MÉTODO DA VARIAÇÃO DOS PARÂMETROS

O método da variação dos parâmetros foi idealizado pelo matemático francês Lagrange e pode ser visto como uma continuidade do método dos coeficientes indeterminados.

Este método nos dá uma solução particular da equação $$y”+ p(t)y’+q(t)y=g(t),$$ uma vez que são conhecidas soluções da equação homogênea $$y”+ p(t)y’+q(t)y=0$$.

A ideia crucial é substituir as constantes c_1 e c_2 na equação $$y(t) = c_1 y_1(t) + c_2 y_2(t)$$ por funções u_1 (t) e u_2 (t).

Assim, $$y(t) = u_1 (t) y_1(t) +u_2 (t) y_2(t).$$ Agora, determinamos y' e y'' e substituímos ambos na equação não homogênea.

Uma vez determinada esta solução particular, basta utilizar o método da redução de ordem para encontrar uma solução geral da E.D.O. original.

TEOREMA: Se as funções p,q e g são contínuas em um intervalo aberto I, e as funções y_1 e y_2 formam um conjunto fundamental de soluções da equação homogênea associada à equação $$y”+ p(t)y’+q(t)y=g(t),$$ então uma solução particular da EDO não-homogênea é dada por $$\psi(t) = -y_1(t) \int{\frac{y_2(t)g(t)}{W(y_1,y_2)(t)}}dt + y_2(t) \int{\frac{y_1(t)g(t)}{W(y_1,y_2)(t)}}dt,$$ e a solução geral será dada por $$y=c_1y_1(t) + c_2 y_2 (t)+\psi (t).$$

EXEMPLO: Encontre a solução geral de $$y” + y = tg{(t)}$$

Primeiramente, vamos encontrar as soluções particulares da equação homogênea associada $$y” + y = 0 .$$

Para tal, fazemos y(0) = 1 e y'(0)=0. Daí, $$y” + y = 0 \Rightarrow r^2 + 1 = 0 \Rightarrow r = \pm i \Rightarrow y_H (t) = c_1 \cos{t} + c_2 \sin{t}. $$ pelas condições iniciais impostas, y_1(t) = \cos{t} e y_2(t) = \sin{t}.

Agora, verificamos se estas duas soluções formam um conjunto fundamental de soluções da equação $$y” + y = 0.$$ Assim,

Portanto, \left\{ \cos{t} , \sin{t} \right\} é conjunto fundamental de soluções.

Vamos utilizar o método da variação dos parâmetros para determinar uma solução particular de equação y'' + y = tg{(t)}.

$$ \psi(t) = -y_1(t) \int{\frac{y_2(t)g(t)}{W(y_1,y_2)(t)}}dt + y_2(t) \int{\frac{y_1(t)g(t)}{W(y_1,y_2)(t)}}dt $$

$$ \psi(t) = -\cos{t} \int{\frac{\sin{t}. \tan{t}}{1}}dt + \sin{t} \int{\frac{\cos{t}. \tan{t}}{1}}dt$$

$$ \psi(t) = -\cos{t} \int{\frac{\sin^2{t}}{\cos{t}}}dt + \sin{t} \int{\sin{t}}dt$$

$$ \psi(t) = -\cos{t} \int{\frac{1 – \cos^2{t}}{\cos{t}}}dt + \sin{t} \int{\sin{t}}dt$$

$$ \psi(t) = \cos{t} \left( \sin{t} – \ln{|\sec{t} + \tan{t} |} \right) – \sin{t}\cos{t}$$

$$ \psi(t) = – \cos{t} \ln{|\sec{t} + \tan{t} |} $$

Portanto, a solução geral da equação y'' + y = tg{(t)} é:

$$ y(t) = c_1 \cos{t} + c_2 \sin{t} – \cos{t} \ln{|\sec{t} + \tan{t} |}. $$

EXEMPLO:Encontre a solução geral da equação $$t^2 y” – 2y=3t^2 -1,\;\;\;t>0,$$ sabendo que $$y_1(t) = t^2$$ e $$y_2(t) = t^{-1}$$ são soluções da equação homogênea associada. Estas duas soluções podem ser encontradas facilmente se percebermos que a EDO original é uma EDO de Euler-Cauchy.

Assim, uma solução particular de $$t^2 y” – 2y=3t^2 -1,\;\;\;t>0,$$ pode ser encontrada por

$$ \psi(t) = -t^2 \int{\frac{t^{-1} (3t^2-1)}{-3}}dt + t^{-1} \int{\frac{t^2 (3t^2-1)}{-3}}dt$$

$$ \psi(t) = t^2 \int{\frac{t^{-1} (3t^2-1)}{3}}dt – t^{-1} \int{\frac{t^2 (3t^2-1)}{-3}}dt$$

$$ \psi(t) = \frac{t^2}{3}\left( \frac{3t^2}{2} – \ln{t} \right) – \frac{t^{-1}}{3} \left( \frac{3t^5}{5} – \frac{t^3}{3} \right)$$

Listas de Exercícios Resolvidos Sobre a Variação dos Parâmetros:

• Método da Variação dos Parâmetros | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Método da Variação dos Parâmetros | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Método da Variação dos Parâmetros | 3ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Método da Variação dos Parâmetros | 4ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Método da Variação dos Parâmetros | 5ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Método da Variação dos Parâmetros | 6ª Lista de Exercícios Resolvidos

Leia Mais:

• Equações Diferencias Ordinárias de 2ª Ordem: Equações Homogêneas
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